Полиномы Чебышева. Почему не ортогональны?

Среди ортогональных многочленов очень часто упоминаются полиномы Чебышева (первого рода). Везде пишут примерно следующее:


Готовых функций, которые генеруют эти полиномы, всюду завались, и по сути все они делают одно и тоже. Короче говоря, сгенерила я эти полиномы от n=0 до n=5 включительно, представляя отрезок [-1,1] в виде массива дискретных элементов, достаточно длинного, чтобы эффект дескретизации сказывался слабо. Например, массив из gap=101 элемента (нечетное количество элементов выбирала для того, чтобы иметь среднюю точку). Номер элемента (i) пересчитывается в значение x из отрезка [-1,1] по формуле:
x = (double)(2*i)/(gap-1) - 1.0;
где: gap - длина массива.
Т.е. 0-й элемент массива соответствует (x=-1.0), а последний 100-й соответствует (x=+1.0). Серединка (50-й элемент) соответствует x=0.

Получилась матрица F, размером gap x 6. Если построить графики по столбцам той матрицы, то получим картинку, индентичную той, что нарисована а Википедии:
(форум не хочет эту картинку показывать)
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%...0%B0_%D0%A2.gif

Вроде бы теперь мне только жить, да радоваться . Только дернуло меня проверить эти вектора на ортогональность - вычислив продукт F*F' (размерность 6 x 6):

Тут я этот продукт еще на число gap поделила, чтобы длина вектора не сказывалась.

И что вижу? Фигня какая-то... Ортогональны между собой лишь полиномы четных степеней с нечетными, а в остальных случах внедиагональные элементы слишком велики, чтобы их можно было списать на погрешность дискретизации. Впрочем, погрешность дискретизации можно еще понизить, увеличив длину вектора - тогда дискрета станет меньше. Проверила. При длине вектора gap=1001 имею:

А при gap=10001:

Куда еще дальше? Если отрезок [-1,1] представлен вектором, длиной в 10 тыс. элементов, то дискретизация становится исчезающе малой. А у меня корреляции от длины вектора практически не зависят. А корреляция между T0 и Т2 вообще ни в какие ворота не лезет -0.3332. Тем более что, если взять вместо полиномов Чебышева ряды Фурье, то даже на коротеньких массивах в 15-25 элементов ортогональность векторов очень хорошая.

Значит, это не погрешность дискретизации. Тогда что?
Где эта хваленая ортогональность, если я ее не вижу?
Не исключаю, что я здесь что-то важное недопонимаю, а потому и обращаюсь за консультацией. Что происходит? Должны ли полиномы Чебышева (первого рода) так себя вести, или мне надо продолжать искать ошибку у себя?

Глупый вопрос навскидку - вы учли

сразу при генерации матрицы?

Нет, не делила и не учитывала. Нормировкой заниматься не вижу смысла - если вектора ортогональны, то они при любой нормировке таковы. В лучшем случае, этим можно было бы достигнуть, чтобы по диагонали были точные единицы. Но тогда внедиагональное "гадости" становятся только больше, а не меньше! Да и искать ошибку было бы только труднее, если бы туда еще каких-то расчетов насовала.

Тут и без расчетов видны несуразности. Скажем, так бяка, что T0 и Т2 дают корреляцию = -0.3332.
Взглянем еще раз на картиночку: http://electronix.ru/redirect.php?http://r...0%B0_%D0%A2.gif
T0 - это красная прямая линия, уровень 1. А T2 - это желтенький, на параболу похожий. Их корреляция в уме вычисляется, т.к. умножение на 1 тривиально. В результате чего должен получиться интеграл желтого. А вы видите как широко он своим языком ниже нуля погрузился? А выше оси только по крашки чуть-чуть выпирают. Ежу ясно, что инетеграл будут не нулевой, а сильно отрицательный. Что и имеет место в расчетах.



На этой картинке (ее формум показывать не отказывается) T2 - зелененький.
Т.е. это я к тому, что сумма почленных произведений красного T0 и зеленого T2 никак не может быть равна нулю - это даже на глаз видно. А значит, они не ортогональны, как их не масштабируй по высоте.

Ксения, ортогональность этих полиномов надо понимать не в обычном смысле, а после домножения на корректирующую функцию:

В дискретном же случае они ортогональны на специальной "кривой" сетке, но не на равномерной сетке.

А вы мне можете этим способом показать, что T0 и T2 ортогональны друг другу? Тем более для такого простого случая, когда T0 единичен в любой своей точке, а T2 = 2x²-1.

Те полиномы, которые нечетны, автоматически ортогональны с Т0 даже без веса (Т0 и Т1, Т0 и Т3 и т.д.) - домножение на четную функцию не изменит общий ноль интерграла - как у Вас и получилось. А другим требуется все-таки домножение на весовую функцию, как и написано выше.

А есть ли какие-нибудь "разумные" полиномы, у которых ортогональность понимается в обычном смысле? Т.е. в виде простого скалярного произведения обоих векторов, содержащих в себе расписанные по дискретам полиномы? Чтобы FF' была диагональной без всяких оговорок?
А то я такие большие планы с полиномами Чебышева связывала, и всё коту под хвост...

На Лагранжа не хотите возложить надежды и проверить его на обычную ортогональность?

Про полиномы Лагранжа я знаю только то, что их для интерполяции используют (даже когда-то их для этой цели использовала сама). Но мне сейчас не интерполировать надо, а нужен подходящий ортогональный базис из гладких функций. Поближе к обычным степенным полиномам, но только, а отличие от них, ортогональный. И чтобы его на МК можно было вычислить, а не через Гамму-фунцию или что-то еще более уродливое. Поэтому на полиномы Чебышева и запала.

Если из полиномов Лагранжа можно сотворить ортогональный базис, то меня это возможно заинтересовало бы. Что-то посоветуете конкретнее?

Насчет базиса из Лагранжа не знаю. Простите если напрасно обнадежил. Но у Лежандра вроде единичная весовая функция http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%80%...%B5%D0%BD%D1%8B

Слава вам! Похоже на то, что полиномы Лежандра первого рода (Legendre Polynomial of the First Kind) мне бы сгодились.
Смотрим на картинку, которую я надыбала среди картинок с помощью Google:


Это отсюда - http://www.efunda.com/math/legendre/legendre.cfm

Тут зелененький T2 торчит много выше - здесь я уже поверю, что его интеграл на отрезке нулевой.

Сильно похоже на полиномы Чебышева! Только формулы там какие-то страшные, чтобы их построить.

С той же ссылки Вики первые несколько многочленов

Не такие уж и страшные. А дальше вроде рекуррентная формула последующих дает надежду что и там страх нарастает не сильно.
ЗЫ картинки у меня тоже красиво не загружаются или я не умею - в общем, посмотрите сами по ссылке - очень милые полиномы.

Сообщение отредактировал _Ivana - Jul 24 2012, 21:14

Есть небольшая разница между функциональным (например L_2) бесконечномерным пространством и векторным конечномерным пространством. Отличие в определении метрики и нормы. То, что годится для векторного пространства (сумма произведений компонент векторов) не годится для бесконечномерного пространства, где скалярное произведение определяется как интеграл произведения комплексно сопряжённой функции на функцию (возможно, с весом).

А уж в численных методах считать интегралы методом прямоугольника (фактически - скалярное произведение конечномерных векторов) - дело плохое, из-за большой погрешности формулы. Для численного интегрирования стараются применять более точные формулы (ДФП - исключение, от плохой жизни и лёгкости факторизации матрицы, что служит основой всех быстрых алгоритмов).

Кстати, интересный факт: система обычных полиномов {1, x, x^2, ...} - оказывается, линейно независима. Следовательно к ней можно применить процесс Грама-Шмидта. Вот сюрприз-то...

Конечно: Подставляем -1 и +1 и получаем 0.

Точнее, надо подставлять -1+eps и 1-eps, т.к. ортогональность берётся на интервале (-1, +1), а не на отрезке.

А что, уже опять поменяли определение определённого интеграла?????