1) Если в самом сигнале шумов нет и все проблемы связаны только с квантованием, то прореживание, как мне кажется, даст эффект, близкий к сглаживанию фнч, но без смещения. А потом по сглаженному сигналу оценить производную - такая была исходная идея.

2) Да, действительно, на моих модельных данных filtfilt БИХ ФНЧ + первая разность дают приличный результат. Но, все же, чуть хуже и менее гладкий, чем сглаживающий сплайн с последующим дифференцированием. Возможно, дело в том, что хорошо подобрать один сглаживающий параметр проще, чем ФНЧ. Могу выложить исходные данные.

2) Если бы речь шла про онлайн, то есть эффективные методы, практически не уступающие по фильтрации фнч+дифференциатор, но почти не дающие задержки - тот же slliding differentiator. Задача в том, что оффлайн обработка должна дать лучше результат, чем то, что можно получить онлайн.

Вот скрипт иллюстрирующий оценку производной при помощи fir-дифферециатора.


Точность оценки может быть 10^-6 и круче...

Спасибо за код.

Смотрите, убираем вашу строчку

а после вычисления ds добавляем:


И результаты заметно ухудшаются. Как повысить точность оценки?
Я, кстати, возможно погорячился на счет 50 Гц. Можно, наверное, 15 Гц ограничить.

Это была иллюстрация. Ваши поправки требуют изменений:

Но Вы же не можете знать, как на самом деле ведет себя система. Может, скорость не постоянная, и там, где Вы видите ступеньку, а думаете, что там прямая, там ступенька и есть на самом деле.

Спасибо!
У меня пара вопросов осталось, если не трудно:
1) Из каких соображений L=300 заменили на L=200? И отсечение с 1.6*Fmax на 1.5*Fmax?
2) Почему

а не, например,

Мне упраженения показывают, что второй лучше дает результаты, нет колебаний в начале и конце отрезка, но я от ЦОС далек и не знаю.

UPD: Есть, правда, один недостаток. Если теперь в примере убрать синусоидальные компоненты и оставить только ускоренное движение (s=pos'+0*s;
ds=vel'+0*ds), то результрующая оценка скорости будет сильно колебаться вокруг истинного знаечния. Предполагаю, что это как раз из-за квантования. Как быть в этом случае?



В общем случае это совершенно справедливое замечание.
В тех конкретных примерах, которые я держу в голове и моделирую, речь идет именно о невыскоих скоростях. Это можно косвенно оценить, например, по физическому смыслу эксперимента и по другим наблюдаемым состояниям. При оценке скорости я хотел задать это как ограничение на ускорение, что, в принципе, срабатывает при использовании сглаживающего сплайна. При использовании фильтров такое ограничение, видимо, должно регулироваться через настройку полосы пропускания.

Если сделать ограничения на ускорение и скорость, то такой алгоритм будет нелинейным... А все Ваши фильтры...
И мелкие ступеньки могут скрывать все, что угодно. Их никаким образом невозможно "правильно приукрасить"

Tanya, простите, а в чем смысл вашего коментария?
Вы считаете, что методы (сглаживающий сплайн, фильтр) не позволяют ограничить ускорение и/или высокочастотные компоненты аппроксимирующей кривой? Или считаете, что неправильно их ограничивать основываясь на физическом смысле процесса?

Можно чуть повысить точность меняя х-ки дифференциатора. Но вообще-то - ловля блох...



Непринципиально. В любом случае в начале и в конце отсчеты числом равным половине длины дифференциатора будут кривыми.



ФНЧ, ограничивающий полосу полезного сигнала

например

Но если взять такой фнч, то при наличии синусоидальных компонент, он их съест.

На данный момент я пришел к выводу, что при налчии среднечастотных колебаний стоит использовать один метод (дифференциатор со сдвигом), а если таких колебаний нет и появляются ступеньки из-за квантования, то другой метод (предварительный фнч или сгл. сплайны). К сожалению, пока у меня не получилось сформирвать метод, который хорошо работал бы и в том случае, и в другом. Жаль.
Большое спасибо за помощь!


Да, но степень кривизны получается разная. Возможно, еще лучше поставить x(1)*ones(1,L) - тогда хотя бы разрыва фильтруемого сигнала не будет. А вообще, конечно, к недостаткам метода надо отнести, что L точек теряется. На больших данных это фигня, конечно, но все же.

Это я к тому, что вот, допустим, имеется длинная ступенька в один квант расстояния. Никакими сглаживаниями нельзя восстановить "правильную скорость". Ограничение на скорость даст только небольшое уменьшение пространства.
У Вас ведь реальная система подчиняется "правилам", поэтому все ступеньки уже должны быть "правильными".
Вы же, насколько я понимаю Вас, не считаете измерения зашумленными, когда всякие там методы фильтрации были бы уместны... Через Ваши ступеньки можно провести сколько угодно сколь угодно гладких кривых, удовлетворяющих "правилам" - с ограниченной первой и второй производными. Почти всегда.

Я не пойму, к чему вы ведете. Вы считаете, что рассмотренные методы по каким-то причинам нельзя использовать? Или хотите предложить более удачные решения?

Да, существует множество кривых с ограниченными производными, которые после квантования дадут одинаковый набор измерений, это очевидно.
Если я вижу набор ступенек, то буду искать движение с малым интегралом квадрата ускорения (ну или с отстутсвующими среднечастотными составляющими). Логика простая - проще предположить отсутствие колебаний, чем такие специальные колебания переменной частоты, что их не видно в измерениях. В зависимости от штрафа за ускорение или полосы пропускания я, естественно, буду получать разные кривые, но они будут близки друг к другу. Если же я увижу осцилляции в измерениях, то буду искать движение, в котором есть среднечастотные компоненты.


Придумалась такая возможная идея.
Параметризуем алгоритм аппроксимации некоторым параметром Q . Это может быть или штраф за ускорение, или полоса пропускания фнч. Чем Q меньше, тем более сглаженный и низкочастотный сигнал получается на выходе. Далее этот выходной сигнал квантуем с известным шагом квантования. И считаем отклонение исходного сигнала от проквантованного сглаженного. Далее два варианта: либо найти наименший Q, при котором имеем нулевой отклонение, либо минимизировать некоторый критерий, сочетающий норму отклонения и штраф за величину Q.
Т.е. найти самую низкочастотную кривую, которая после квантования будет близка к исходному сигналу.
UPD: Действительно, я сейчас промоделировал - работает, по первым прикидкам, очень неплохо. И для сигналов с среднечастотными колебательными компонентами, и без таких - один и тот же код выдает очень хорошую оценку скорости. Уф.

Да что там мудрить... Проводите ломаную между точками - наклон - это скорость. Получается лестница со ступеньками. Ускорение только в точках квантования будет бесконечным. Модифицируем картинку - вертикальные кусочки меняем на наклонные (с максимальным наклоном) - вот и поправили. Если у Вас имеются априорные данные о связи ускорения со скоростью или координатой, - учитываем это.

Это вы мне первую разность предложили использовать? Шутите, что ли? Или тонкий сарказм?

Это не задача ЦОС, это задача идентификации динамической системы и построения оптимального наблюдателя за вектором состояния системы.