Спасибо.

Теперь у меня когнитивный диссонанс:
Как эта формула может быть неустойчива, когда посредством простой арифметики я вижу, что она дает значение в точности то, которое было. При условии, что мы считаем, что нам известно первое значение.

Дискретная система называется устойчивой, если для ее импульсной х-ки выполняется условие:



Очевидно, что для их восстанавливающего фильтра это условие не выполняется.
Ну и разнесет выход такой цепи на любой последовательности кроме единственной.

Сообщение отредактировал thermit - Jan 15 2014, 18:01

Конечно, а фильтр реализует дискретную свертку.
Я упомянул интегралы из-за этой фразы AndrewN:

Ну я видел, что полюса на единичной окружности и не об определении устойчивости спрашиваю. Также я знаю к чему неустойчивость приведет.

Однако если считать по разностному уравнению мы будем получать те самые значения, которые были до усреднения, что не согласуется в моем понимании с разнесением последовательности.

Сообщение отредактировал Tarbal - Jan 15 2014, 19:40

Извините, но формально это не так.
Неустойчивые фильтры имеют право на жизнь, например, для последовательностей с конечным числом ненулевых значений.
Пример - алгоритм Герцеля.

Право на жизнь никто не оспаривает. Речь идет конечно же о последовательностях неограниченных во времени.

Дык, в ЦОС под дискретными свёртками и пр., подразумеваются просто суммы рядов, конечных или бесконечных.
Названия "технические", не имеющее никакого отношения к математически строгим определениям.
В конце-то концов, из цифири нужно в реальный мир выползать, вот и придумываются некие аналогии.
Но тупо следовать им нельзя - вероятность сесть в лужу близка к 100%. Пользоваться ими можно только в определённых, осмысленных границах.

И всё равно не любых. Таких последовательностей (формально) существует бесконечное множество.
(Не спора ради, а истины для).

Наверное, была бы интересной задача минимизации ошибки при искусственном повышении устойчивости фильтров в системах с ограниченной разрядной сеткой.
Но это, думается, требует отдельной темы.

Определитесь с вопросами.



Подайте что-нибудь другое. Увидите, что будет. Разговор опять плавно поехал в сторону словоблудия. Вопросы связанные с вашим мироощущением вне моей компетенции и этого топика.



Да. Их по крайней мере не меньше числа последовательностей, которые можно обработать соответствующим однородным фильтром.

Я бы сказал - больше.

Правильно ли я вас понял, что использование разностного уравнения для последовательного вычисления исходных значений не даст ожидаемого результата?

Смотря что вы ожидаете. Если выход скользящего среднего представлен точно - обратный фильтр восстановит исходный сигнал без ошибок. Иначе, выход обратного фильтра будет содержать шум, который будет неограниченно расти с течением времени.

Я считаю, что обратный фильтр - устойчивый, на грани устойчивости, с полюсами на единичной окружности z-плоскости. Для другого фильтра, при ошибках вычислений это было бы чревато возбуждением. В данном случае при расчетах не теряется ни одного бита (во всяком случае, это можно сделать). Одни сложения да вычитания. Деление-умножение можно не делать, если в прямом фильтре не делить среднее на количество. Но и при делениях, умножениях можно иметь достаточно разрядов, чтобы вычислять точно, если числа целые.
Подтвердить формулами свое предположение не могу (может, позже, в свободное от досуга время).
Нет, пожалуй, все же, можно говорить только об устойчивости пары прямой + обратный фильтры. Оставлю свое сообщение неизменным, как информацию для размышлений.
Импульсная характеристика обратного фильтра будет содержать палки - одна вверх, следом за ней вниз, через N (длина фильтра) все повторяется, и так до бесконечности.

Да.

Немного соображений:

Вопрос ТС относится к т.н. редукционной проблеме Релея или классу обратных задач, также именуемых как задачи редукции, восстановления, реставрации (signal restoration).

Эта проблема возникла как раз из желания практиков приблизить реальную измерительную систему ( датчик ) к идеальной, т.е. устранить влияние датчика на результат измерения (хотя, в общем-то, это некорректно, поскольку без взаимодействия датчика и среды (объекта), измерения не может быть, как такового ).

Пример прикладной задачи с компенсацией аппаратной (весовой) функции термопары я упоминал выше.

В зависимости от того в каком базисе задача поставлена ( временной или пространственный ), соответственно решения сводятся к интегральным уравнениям свертки: Вольтерры (динамические системы) или Фредгольма (не динамические системы) соответствующего рода.
Для ур-ний Вольтерры I рода ( системы без ОС ) задача поиска решения, как правило, является некорректной ( неустойчивой ) и приходится прибегать к различного рода регуляризации.

Уравнения свертки во временной области h(t)*x(t) = y(t) или в частотной H(f)*X(f)=Y(f).

Очевидна, взаимосвязь исходной H(f) и реставрационной Hr(f) ( обратной ) весовыми функциями (ВВ) для их взаимо-компенсации:
Hr(f)=1/H(f).

Если усиление исходной весовой функции убывает с частотой, очевидно, что усиление обратной функции должно увеличиваться, но это приводит
к подчеркиванию шумов, что, в конечно итоге, может сделать решение нереализуемым.
Для компенсации негативного, в смысле усиления помех, действия реставрационной ВВ, вводят корректирующую ВВ:
Hr(f) = (1/H(f)) * W(f)

- при W(f) = 1, имеем инверсную фильтрацию.
- при W(f) = rect(f/fc) ( оконная функция того или иного вида), выполняется ограничение спектра на уровне fc.
- регуляризация Тихонова для решения некорректных задач ( гребневая регрессия ) и т.п.

Как правило, методы обратной фильтрации применимы к существенно высокочастотным шумам (в т.ч. шумам квантования) или вообще их отсутствию.

Во всех этих случаях поиск решения сводится к компромиссному выбору между сверхразрешением и зашумлением.
К примеру, если ДПФ корректора: B0+B1*Z^-1+..+Bn*Z^-N,
то коэф-т усиления "белого"шума K = sqrt(sum(B[i]^2))/sum(B[i] обычно выбирают в диапазоне 2..5.

Еще один класс решений основан на выводе формул аналитического продолжения для определенного класса функций, сделанном не так давно (1986 г.), Львом Айзенбергом.
В частности, этот подход применим для экстраполяции спектра Фурье финитного сигнала, заданного на отрезке.
( Если значение спектра известно на отдельных частотах, то его можно оценить на любой частоте ).

Спасибо. Теперь все понятно.
Кроме одного: полюса на единичной окружности не устроят разноса. Насколько я понимаю ситуацию для разноса им надо немножко выйти за окружность.