есть измеренные данные про которые известно, что по ним прошлись скользяшим средним с неким известным размером D.
каким образом можно восстановить исходные данные которые были до усреднения?
из простого на ум приходит только пройтись по этим уже усреднённым данным еще раз таким же скользящим средним и получить оценку ошибки вызванную усреднением, которую потом добавить обратно к первоначальным данным. Оно вроде как работает, но понятно что это хоть и очень простой, но не совсем честный способ.
Как это делать математически правильно?
понятно что можно сделать Фурье, поделить спектр на характеристику скользящего среднего (по сути КИХ фильтра с одинаковыми единичными коэффициентами) и преобразовать обратно. но при делении на нули в том месте где характеристика имеет провалы пожалуй будут проблемы, оно и понятно так как частоты кратные размеру фильтра давятся в ноль и обратному восстановлению не подлежат.
А если без преобразования в частотную область, с какой функцией надо сделать свёртку чтобы получить фильтр обратный скользящему среднему? или даже в общем случае, каким образом преобразовать коэффициенты КИХ фильтра, чтобы произведение исходного фильтра и пробразованного давало 1.

Нет. Чтобы не было разноса полюсы по модулю должны быть строго меньше 1 хотя и могут быть сколь угодно близки к ней. Иначе на чаcтотах полюсов бесконечный к-т передачи будет.

Сообщение отредактировал thermit - Jan 16 2014, 14:29

На практике - в рамках учета наследственных погрешностей вычислений, т.е. "не сколь угодно".

Спасибо. Понял.

Полюса на границе устроят "линейный" разнос, что хоть и лучше разноса экспоненциального, но тоже неприемлемо для длинных последовательностей

Линейный - в смысле, генерация с постоянной амплитудой, так надо думать. Разве ж это "разнос"?

Линейный в смысле линейно нарастающего по шагу рекурсии.
Для произвольных последовательностей все это "не очень"

Возможно, можно кое-что получить для оценки финитного и гладкого импульсного отклика. Аппаратная функция часто бывает типа скользящего среднего, например в оптике. Но скорее результат можно получить алгебраически, подгоняя решение матричногоуравнения

Прикидываю простейшую модель. Возьмем в качестве фильтра скользящего среднего сумму двух соседних членов входной последовательности. Обратный фильтр - разность двух соседних членов выходной последовательности. Это очевидно. Делить на два не будем, от этого ничего не меняется. Допустим, входные значения лежат в диапазоне 0..1. Диапазон выходных значений прямого фильтра может быть 0..2. Теперь попробуйте устроить "разнос". Задайте такую последовательность чисел в диапазоне 0..2, которая на после обратного фильтра выдаст нечто большее, чем -2..2. Вот и весь "разнос".

Кстати говоря, можно использовать цепи с полюсами на единичной окружности для генерации всяких хитровывернутых сигналов.
Например биквадратным звеном можно генерить гармонический сигнал. На вход такой цепи ничего не подается просто начальные условия задаются отличные от 0. Недостаток - через некоторое время генерацию разносит вследствие ошибок вычислений.

Не допустим. Если нет источника шума - результат будет точный.
Но шум любой природы будет накопляться. В вашем примере выход прямого фильтра будет часто 0-2, но иногда 3 и даже 4

Да. Очевидно, что это не так.

Если прямой фильтр y(n)=x(n)+x(n-1), то обратный x(n)=y(n)-x(n-1);
Разнос? Да как 2 бита переслать...

А в обсуждаемых фильтрах ошибок вычислений может и не быть.


Рекурсивная форма того же самого.
upd. Нет, не того... а чего?

Ошибок вычислений может не быть, если вычисления ведутся без нормировки и в целых числах

Например, рекурсивная форма вычисления скользящего среднего


Y(i) = Y(i-1) + x(i) - x(i-N)

будет вполне себе точной. ( В действительных числах ее снесет из-за интегрирования ошибок округления).
Обратная формула тоже будет точной, но только в том случае, если к Y походу не добавилось шума любой природы

Сколь. Положение полюсов целиком определяется к-тами цепи. В результате их квантования положение может измениться радикально, но не вследствие вычислений.



Это я для справки.



Рекурсивная цепь имеет минимум один несократимый полюс отличный от нуля. Нерекурсивная таких полюсов не имеет. Так что не того же самого. Смотрите внимательнее и не делайте поспешных выводов.

Ok, не того. Но покажите мне на числах "разнос как два бита переслать" для вашего фильтра.

Странно. Фильтр скользящего среднего может быть рекурсивным или нерекурсивным. А обратный - только рекурсивный.

Подайте на вход последовательность 0 1 0 1 ... Или любую рандомную последоватедьность.