Вот здесь http://books.google.com.ua/books?id=oCsFYK...p;q&f=false автор рассматривает задачи локальной и глобальной стабилизации двухзвенного маятника в положении "оба звена вверх" в двух постановках - управлением или в точке подвеса, или в точке соединения звеньев. В случае "оба звена вверх" присутствуют две устойчивые и две неустойчивые моды, и ни одной колебательной. Автор рассчитывает управление, а в конце скромно замечает, что случай "второе звено вниз" гораздо проще, там одна неустойчивая мода и нечего его рассматривать. Я рассмотрел этот случай, там колебательная мода тоже сильно портит управление, оно получается тоже колебательным, в отличие от "оба звена вверх", а отсюда - и дребезг энкодера... Получается формально проще, а фактически, когда нет хорошего датчика скорости второго звена относительно первого - не факт.

Я хочу быть не привязанным к земле, у меня же нет шарнира в точке крепления первого звена - оно ставится на пол и держится на трении, на которое я надеюсь. Поэтому и датчики такие на первом звене - гироскоп и акселерометр, надеюсь получить от них хорошие угол первого звена от вертикали и его производную - буду изучать чужой опыт, благо его немало в этом случае. А межзвенный датчик я могу выбирать из более широкого диапазона, он же не привязан к внешней системе отсчета. Я думал, энкодера уже стоящего на двигателе с редуктором - 8400 щелчков на оборот должно хватить, а оказывается встретил такие сложности с расчетом его производной. Если будет совсем плохо, то буду думать какой другой датчик угловой межзвенной скорости поставить. Но пока из спортивных соображений хочу победить энкодер, то есть обойтись только им в межзвенном угле.

Невозможно избежать дребезга энкодера. Вы же знаете, что фазовые траектории не пересекаются...
Поэтому решение в виде - положение и скорость = нулю - изолированная точка.

Вот и новые вводные - скользящая точка опоры.
Я же просил - сделать точный чертеж кинематики со всеми ограничениями, нэ?
Потом, еще окажется, что это вовсе не плоский, а трехмерный случай

Что тут могу сказать - метод подбора управления способом тыка под недоопределенную физическую систему может вызвать только сочувствие.

Я постарался максимально подробно описать свою конструкцию, некоторые ограничения понятны из описания - например, максимальная угловая скорость двигателя с редуктором весьма ограничена, и ее может не хватить для нужд управления, еще буду проверять этот момент. С другой стороны, чем больше понижение на редукторе, тем больше момент и больше щелчков энкодера на оборот. Попробую найти компромисс.
Да, сначала хотел трехмерный случай, но решил сперва сделать плоский вариант А насчет управления у Формальского все расписано, я рассчитал для своего случая, и при идеальных датчиках и двигателе все должно быть хорошо. Теперь на первый план выходят сложности с их неидеальностями и варианты как их оптимально обходить.

Извините, но если Вы не учитываете скольжение точки опоры, так и надо говорить - жестко закрепленная, она.
P.S.
Идеальные объекты.. как это заманчиво!
Увы, реальность ставит другие задачи, которые надо решать сейчас и в заданных ограничениях.

P.P.S.
Не надо кивать на Формальского или на Мартыненко.
Думать надо Вам.

Здесь небольшая (50 Mb) подборка материалов по обратному маятнику - может что-то пригодится:
http://exfile.ru/457976

Спасибо, скачал, буду пытаться разобраться. Тут на форуме уже интересовались подобным: http://electronix.ru/forum/index.php?showtopic=94350 , некоторые рекомендации совпадают.

ЗЫ сейчас пытаюсь разобраться что такое наблюдатель и управление по модели - второе хоть как-то качественно понятно, а с первым совсем сурово - здесь http://www.bmstu.ru/ps/~s_tkachev/ есть статья по ним, но там понятны только предлоги (а там векторные поля, коммутаторы, производные и скобки Ли, кораспределения, теоремы Гамильтона-Кэли и прочие сильные слова и термины )

По наблюдателям
http://exfile.ru/457997

Да, в вашей подборке та серьезная статья Ткачева тоже присутствует 
Спасибо, чувствую, объемом информации для усвоения я обеспечен на неопределенное время. Но делать нечего, придется разбираться и моделировать. Хотя, может и можно уже попробовать реализовать в железе управление, посчитанное по Формальскому – по двум углам и их производным, производную по энкодеру посчитать по МНК, модель в Матлабе более-менее работает. Хотя остается один тонкий момент – двигатель. У меня управление задается в виде момента силы, двигатель с сильным редуктором, может можно приблизительно считать, что момент силы прямо пропорционален напряжению, подаваемому на двигатель. Если же это сильно не так, и момент зависит еще от многих параметров (например, скорости вала), тогда надо попытаться включить в моделирование эти зависимости.

Момент вращения зависит от тока, ток от разницы напряжения и противоэдс, а также момента нагрузки, противоэдс - от скорости вращения и момента нагрузки.
Еще две постоянные времени - электромагнитная и электро-механическая. Первую, можно не учитывать, вторую - придется.

ДПТ независимого возбуждения или на магнитах.
M=k*Ф*I
E=k*Ф*w
U-E=I*R
M-Mc=J*dw/dt

В Вашем случае целесообразнее выполнить питание/управление двигателя от источника тока, при этом он приобретает свойство источника момента.
Задавая ток, получаете нужный момент.

Очередное спасибо. То есть, будет эффективнее не усложнять модель маятника моделью зависимости момента двигателя от напряжения (не переводить управление моментом в управление напряжением), а поставить резистор в разрыв, замерять напряжение на нем с помощью АЦП того же МК, и сделать еще один контур управления двигателем, который будет принимать на вход нужный момент (пропорциональный току) и с помощью своего ПИДа удерживать этот ток, управляя напряжением на двигателе с помощью ШИМ?

Или, скорее всего, уже есть готовые модули токового управления двигателем. Если стоят разумных денег и подойдут к моему двигателю, имеет смысл взять, чтобы хоть этот вопрос на первое время снять.

ПИД тут совершенно не нужен. Обычный ШИМ со стабилизацией тока.

Если я правильно понял вашу задачу, то у меня было очень что-то близкое. Имелся угловой датчик положения, который оцифровывался с некоторой частотой. Поскольку частота оцифровки была в несколько раз больше чем скорость смены значений у датчика, то тоже получалась ступенчатая функция, а интересовала скорость вращения. Численное дифференцирование такой функции бессмысленно. Поэтому задача успешно решалась двумя способами. Первый - сглаживание нестационарным альфа-фильтром, при этом альфа являлась функцией от кол-ва "перескоков" датчика положения на заданном интервале времени. А второй - ещё проще, между перескоками датчика скорость полагалось постоянной и равной углу одного перескока датчика, делённого на кол-во отсчётов между ними. Недостаток второго способа в том, что крива скорости получается всё равно разрывной.

Kluwert, спасибо, я пробовал в другом варианте адаптивные фильтры - например, изменение длины окна (количества отсчетов) для МНК в зависимости не от количества перескоков, а просто от величины угла, предполагая, что при выходе в нулевой угол скорость тоже близка к нулю. Работает, но не сказать что сильно лучше, чем при постоянной длине окна, подобранной для любой частоты опроса датчика просто равной половине максимального времени запаздывания сигнала скорости, при котором система еще стабилизируется - это время подбиралось в модели с идеальной непрерывной угловой скоростью. То есть, все тот же пресловутый баланс гладкости/запаздывания. Хотя, может я что-то не так делаю, может и можно подобрать наиболее условно оптимальный фильтр для моего случая, или еще покрутить детальнее варианты учета времени между перескоками.
Все-таки хочется разобраться и попробовать построить управление с использованием модели и/или наблюдателя, благо математическая модель системы существует и относительно несложна. Это если пока отвлечься от управления двигателем, которое мне все же хочется реализовать через напряжение, введя в модель момент от противоэдс, и от наличия трения и условия ограничения скорости в межзвенном шарнире из-за редуктора большой кратности на двигателе.

Мне кажется было бы достаточно комбинирования двух способов. На высоких скоростях тот, что вы уже используете, дифференцирующий фильтр. На низких, использование времени между переключениями. Надо только как-то оптимально их совместить, для минимизации погрешности.

Можно и с задержкой работать, у меня была задача стабилизации перевернутого маятника со случайной задержкой (потеря пакетов в сети) в контуре управления. Но на деле я ни вижу в этом пользы, лучше задержку не вносить (если возможно), чем с ней бороться.

По синтезу регуляторов, может быть будет полезна вот эта ссылка http://www.unn.ru/pages/e-library/aids/2006/36.pdf . Там в некоторых местах накручены сложности для того, чтобы линеаризовать неравенства (как и во многих статьях про LMI). Можно этого и не делать, а решать неравенства как есть, но другими методами. Каким нибудь стохастическим поиском, если регулятор настраивается один раз, то можете даже перебором. Такими методами можно синтезировать например динамический регулятор для системы с запаздыванием. Проще чем руками его стоить.

По двигателю, зная постоянную связывающую скорость с эдс и сопротивление обмоток, пренебрегая преходным процессом связанным с индуктивностью (для коллекторного двигателя при низкой частоте дискретизации управления можно так сделать) и зная скорость, можно управлять моментом задавая напряжение. Значение тока буду выражатся так, I=(U-Ew)/R, связь статическая. Но нужно предварительно оценить E и R, либо откалибровать регулятор. Выразить значение U зная все остальное не сложно. Но E и особенно R плавают с температурой, и не стоит рассчитывать на высокую точность такого метода. Уравнения ДПТ легко найти, если у меня не очень ясно получилось.