Сделал плату с USB3300 для работы в режиме HS. Однако компьютер упорно определяет микросхему как FS. С прошивкой всё нормально - работал с отладочной платой, там всё было нормально. Почему драйвер шины может не переключаться в нужный режим? И как у него вообще происходит переключение? В даташите не нашёл, может, конечно читал не очень внимательно. Подскажите.

В даташите не должно быть этого, вам нужно читать спецификацию на шину. Еще вариант - почитайте Гука, "Шины PCI, USB и FireWire".
Энумерация всегда проходит на FS. Переключение на HS производится только тогда, когда и хост, и устройство в состоянии работать на HS.
Вообще, USB3300 требует максимально корректной разводки ПП (это я говорю по нашему собственному, фирменному опыту, очень неприятному, кстати) и на некорректно разведенной ПП может выкидывать любые кренделя - от полной неработоспособности до повреждения одного пакета из десяти тысяч. Ну и кабель для HS нужен хороший, а не какой попало ...

Причина обнаружилась: под микроскопом увидел, что плохо припаялся разъём mini-USB (конкретно - дорожка D+ ). Невооружённым галазом казалось, что пайка нормальная. Паяльником ткнул - и заработало нормально.
Но вопрос-то всё равно остался. Я почитал, что соединение устанавливается на FS, затем отключается резистор шины D+ и происходит переход в режим HS. Но вот как идёт энумерация? Устройство первоначально посылает о себе сведения как об устройстве FS, а потом , после установления связи повторно идёт отправка как об устройстве HS? Или как то по другому?

Почитайте "7.1.7.5 Reset Signaling" спецификации USB 2.0 - все вопросы отпадут сами по себе. Все происходит именно на этом этапе.