Иногда задачи электростатики рассматривают в одномерном приближении, у меня в таком случае не сходятся размерности.
Уравнение Пуассона, слева вторая производная от потенциала, справа плотность rho(x) в штуках частиц на метр "проволоки" и заряд частицы q.
d2Fi/dx2=-q/epsilon0*rho(x);
Если бы плотность была штук/метр3, то слева и справа получилось бы [B/м2]=[B/м2].

То есть, при снижении размерности правой части, размерность левой части остается неизменной (поскольку, там сумма производных), что гарантирует описанное разногласие.

Как можно выкрутиться?

Никак не нужно выкручиваться - нужно линейную плотность заряда поделить на площадь круга (вымышленного) - получится заряд, деленный на объем вымышленного цилиндра...
И переходить в цилиндрические же координаты. Для удобства.

Пока не получилось. Слева ко второй производной потенциала прилипла зависимость fi® от которой не могу избавиться.
А в книгах тема сохранения размерности переменных при снижении пространственной размерности нигде не попадалась?

Немного нашел у Гринберга (на стр. 14 - вводится логарифмический потенциал для плоских задач) [Г.А.Гринберг Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений, М., 1943]

Насколько понимаю, вопрошающий имеет в виду одномерную плоскую, а не цилиндрическую геометрию. В любом случае отсутствие зависимости величин от двух координат не означает, что смысл этих величин должен поменяться - в правой части уравнения Пуассона должна фигурировать плотность заряженных частиц в штуках на куб.метр.

Должна. Вопрос, где взять не хватающие [L-2]. Функция плотности имеет размерность [L-1], ибо она одномерная.
Tanya предложила рассмотрть цилиндр с постоянной плотностью от радиуса, плотность от радиуса можно считать постоянной и вытаскивать за знак интеграла. В конечном счете, зависимость от радиуса должна как-то исчезнуть, но пока что-то не исчезает...

Можно домножить функцию плотности на две дельта-функции, имеющие размерность частиц/метр, формально, правая часть уравнения Пуассона станет [L-3].
Но не на долго, после подстановки в функцию Грина от дельта функций не остается ничего и опять не хватает [L-2].

Все больше склоняюсь к мысли, что в формуле для одномерной плотности нужно брать плотность "двухмерного слоя" с размерностью [L-2] и еще один [L-1] даст зависимость от координаты.

Изгнать из сознания бесконечно тонкую нить!
Одномерная модель - это модель бесконечных листов с поверхностной плотностью заряда [L-2]. В этом случае все размерности сходятся без каких либо дополнительных манипуляций.