Такая задачка.
Есть тело (для простоты будем считать его сферическим), объем которого меняется во времени как V = (A*sin(wt))^2,
при этом тело работает источником звука.
По какому закону будет меняться звуковое давление на некотором расстоянии от тела (для простоты считаем его точечным источником)? Или хотя бы как амплитуда звуковых колебаний будет зависеть от А?

если источник точечный, то R^^-2, ясен пень.
С А сложнее - но интуитивно кажется, что как A^2/3.

Я имел в виду, если объем изменяется как синус в квадрате, то будет ли давление в акустической волне изменяться по синусу?
Вот кстати похожая ситуация -имеем кольцевой пьезоэлектрический преобразователь (КПП) возбуждаемый синусоидой, вся его внешняя сторона работает на расширение/сжатие, т.е по сути двигается по двум осям, значит объем меняется квадратично, а вот закон по которому изменяется давление во внешней среде - всё тот же синус

Звуковое давление P = Z*dX/dt, Z - импеданс среды (ro*c)
dX/dt - производная по времени от смещения частиц среды (равно скорости границы излучателя)
Если X = A*sin(2*Pi*f*t), где А амплитуда колебаний среды или границы, то производная dX/dt = 2*PI*A*cos(2*Pi*f*t).
Амплитуда давления Pa = 2*Pi*A*Z, на границе сред.
Плотность мощности или интенсивность на границе I = P^2/Z. На расстоянии R убывает как R^-2.
если X = (A*sin(2*Pi*f*t))^2,
то dX/dt = 2*A*sin(2*Pi*f*t)*2*Pi*A*f*cos(2*Pi*f*t) = 4*A^2*Pi*f*sin(2*Pi*f*t)*cos(2*Pi*f*t).
2*sin(2*Pi*f*t)*cos(2*Pi*f*t) = sin(2*2*Pi*f*t) - вторая гармоника, синус.

если ничего не напутал, то как-то так.

тонкое место в описании тс - А^2 - объем, а не X, так что линейное изменение ~ A^2/3, и соответсвенно все синусы будут в степенях 2/3, но синусы - это фаза, а так зависимость от А будет 2/3.

Судя по вопросу про кольцо, исходил из предположения, что интересуют малые возмущения, т.е. размеры тела не меняются очень сильно.
Т.е. исходная зависимость V = A^2*Sin(w*t)^2 - это приращение объема, а не полное изменение объема от 0 до Vмакс.
В малых приращениях тогда получается для сферы dV=4*Pi*R^2*dR, где радиус сферы R=const, т.е. A^2 << 4/3*Pi*R^3.
Т.е. dX ~ A^2 / (4*pi*R^2). А для больших возмущений, когда сфера схлопывается в 0, не уверен что все так просто и есть решение в общем виде.

Кстати тут еще подумал.
Если применить принцип непрерывности и неразрывности потока, то на больших расстояниях от сферы будет выполняться условие 4/3*Pi*R^3 >> A^2, где R расстояние до центра сферы и
зависимость будет как раз dX ~ A^2/(4*Pi*R^2), независимо от того как пульсирует сфера или излучатель.

что спросили - я то и ответил,для V = A^2*Sin(w*t)^2, у вас же ответ на другой вопрос -для V=1+ A^2*Sin(w*t)^2. Это разные случаи, да оба не очень сложные.

А зачем такие усложнения?
Если сф. пов-ть движется по синусоиде, то и волна от нее будет синусоидальной
(на НЧ, если ускорения не создают разрывов среды).
Тогда можно не считать отдельно ближнюю и дальнюю зоны, т.к. на любой сфере будет такая же форма волны.

поверхность не движется по синусоиде, см. топик

Возможно я сам неправильно сформулировал задачу. Тогда надо рассказать откуда ноги
Имеется плазменное образование (плазмоид для краткости), размер которого модулируется. Я считал как: плазмоид состоит из отдельных стримеров, на каждый из которых уходит некоторая мощность dP, чем больше мощность вкачивается в плазмоид, тем больше стримеров образуется, пропорционально им растет объем этого образования. Т.о объем плазмоида пропорционален мощности, которая есть квадрат напряжения. Напряжение я модулирую синусом по формуле V=V0+A*sin(wt), соотв. мощность P = V^2 = V0^2 + 2*V0*A*sin(wt) + A^2*(sin(wt)^2) = const + a*sin(wt) + b*sin(wt)^2
Тут есть и первая и вторая степень...
Наверно, Вы правы, нужно считать в малых приращениях. Т.е R=const, а далее получается работает первая степень синуса из выражения для P. Вторая степень дает вторую гармонику. Но если 2*V0*A >> A^2, то вторая гармоника будет удавлена и акустический сигнал будет практически не искажен. Так?
Вообще на слух звук довольно чистый выходит, причем заметно, что чем больше V0, тем чище звук.

Вообще если верить Ландау, то скорость частиц пропорциональна второй производной по времени от объема.

На сколлько я помню из акустики скорость и давление вещи взаимосвязанные и пропорциональные даже, но вот производная от квадрата синуса всё равно дает вторую гармонику