Экспоненциальный
это глаз - логарифмический

... а если это делать программно, то это примерно 5 строчек кода.
Да, я нашел самое _простое_ решение для топикстартера: не надо узбеков с переменныв резистором, пусть возьмет индуктивность на несколько сот генри и включит последовательно с ней свой светодиод... моделирование покажет!

Еще посоветуйте несколько тысяч генри для современных ярких светодиодов.

Надо два резистора и конденсатор, т.е. как-бы Т-образный ФНЧ. Второй резистор будет работать как преобразователь напряжение->ток. Скорее всего оптимально будет использовать оба резистора одинакового номинала. Суммарное сопротивление определит максимальный ток через светодиод, величина конденсатора определит скорость нарастания/спада яркости.

Одино маленькое условие забыл, в выключеном состоянии потребление должно отсутствовать.

Не дожидаясь ещё трёх страниц темы, если под очередным неопределённым "отсутствовать" имеется ввиду рекордно достижимое на данном этапе развития человечества отсутствие, то этого можно достичь только контактами реле.

300нА достаточно определённо?

генератор на логике
далее мультиплексор простой на этой же логике
далее 4-разрядный реверсивный счётчик с выходами переноса
на его выход вешаем ЦАП R-2R, далее усилитель (драйвер) и светодиод. 16 уровней яркости.
и отдельный транзисторный ключ, который включает питание всего этого добра при приходе лог.1. Ключ блокируется выходом переноса счётчика.
счётчик своими выходами переноса управляет мультиплексором, который перестаёт давать ему импульсы с генератора при счёте до 15, и переключает мультиплексор на обратный счёт при пропадании лог.1. При счёте до 0 сам себя выключает.
Если не допускается ждать начала зажигания светодиода - можно предусмотреть параллельную загрузку в счётчик начального значения, соответствующего порогу зажигания светодиода.

2 корпуса SOIC14 и 1 корпус SOIC16. А что поделать, коль резисторно-конденсаторные способы плавного зажигания светодиода не подходят?
Каскадным соединением счётчиков можно наращивать разрядность ЦАП и увеличивать число градаций яркости.

Условия задачи:
микропроцессора нет - выполнено
в выключенном состоянии потребление отсутствует - достижимо, зависит от уровня подготовки разработчика.

Попробуйте "живьем" и оцените плавность. Ничего хорошего с линейным изменением тока не получится. Действительно надо в FAQ заносить...

Вот тут у автора довольно плавно всё загорается и гаснет

Alexashka, ни разу не плавно — вот плавно.

Параллельно резистору в простейшей rc включить диод (шоттки, обычный, два , два шоттки - в зависимости от разницы напряжения мин. свечения диода и Vcc), тогда при подаче напряжения конденсатор мгновенно зарядится до Vcc- Vd, а потом пойдет плавный заряд с tau=RC