Думаю, мысль уважаемого exSSerge предельно ясна. Попробую ее расшифровать
и перевести на "школьный" язык
1) Считаем S= сумму ВСЕХ чисел до 1000.
Теперь из нее надо вычесть все непростые числа. В школе учат, что непростые числа должны раскладываться на сомножители.
2) Рассмотрим непростые числа до 1000, которые имеют в разложении на простые числа число 2 в качестве сомножителя. Какие это числа и сколько их? Очевидно что максимальное число это 2*500.
Любое число вида 2*Т, где Т<=500 должно быть вычтено. Т.е. складываем ВСЕ числа от 2 * 2 до 2*500 или, что то же самое , считаем сумму всех чисел от 2 до 500 и умножаем на два. Вычитаем результат из S.
3) Повторяем аналогичную процедуру для 3. Т.е. считаем сумму всех чисел от 3 до 1000/3=333, умножаем на 3 и вычитаем из результата п.2
4) Число 4 не рассматриваем, т.к. все непростые числа, делящиеся на 4 уже учтены в п.2
В этот момент становится ясно, что надо рассматривать только простые сомножители, а их не так много.
Последний пункт будет иметь номер 31. На последнем шаге надо взять сумму всех чисел от 31 до 1000/31 и умножить на 31.

В этом описании есть пара проколов, то есть, это еще не решение задачи - но идея вероятно правильная. Проколы - не нужно вычитать сами простые числа (т. е. сумма для числа 3 должна быть не от 3, а от 9) и нужно еще прибавить суммы кратных парам различных простых и вычесть суммы кратных тройкам различных простых. Простое число 2 лучше обработать специально, суммируя только нечетные простые. В общем, повозиться нужно - но проде все в пределах возможностей школьника.

Не во всем согласен с уважаемый Oldring
По пунктам:
1)"не нужно вычитать сами простые числа (т. е. сумма для числа 3 должна быть не от 3, а от 9)"
Никто и не собирался этого делать. В моем п.2 четко записано: " складываем ВСЕ числа от 2 * 2 до 2*500 ". Видите, здесь считается сумма не от 2 а от 2*2. Просто удобнее вынести 2 за скобки, подсчитать сумму в скобках и один раз умножить на 2. Аналогично - с другими простыми числами.
2)"нужно еще прибавить суммы кратных парам различных простых и вычесть суммы кратных тройкам различных простых." Тут есть разумное зерно. Действительно, если число делится и на 2 и на 3 (например, 2*3*6=36),то мы его выбросим два раза (2*18 и 3*12). В чуть более общем виде: если число содержит несколько простых сомножителей, то оно будет вычтено столько раз, сколько (разных)простых сомножителей в него входит. Как это просто учесть (без тупого перебора пар, троек и т.д.) - я сразу не могу сообразить . надо представить себя школьником и подумать
С уважением,
SKov

Вот и мне, когда писал, показалось что нашёл способ это сделать.
Потом подумал - оказалось ошибался.
Можно попробовать тем-же методом подсчитывать сумму непростых чисел уже учтённых на прошлых шагах, но получается уж очень развесистый рекурсивный алгоритм. Крыша уже поскрипывает, того и гляди - поедет.

Да не такой уж и долгий тупой перебор.
Если забыть про четные с самого начала - четверок нет совсем, а троек всего три. Ну а пар оказывается 45 Не дюжина конечно - но и не несколько сотен уже.

 e10_06Dyak.rar ( 2.64 килобайт ) Кол-во скачиваний: 143
В книге Дьяконов В.П. Энциклопедия Mathcad 200i, 11 М.: Солон-Пресс, 2004 приведена прикрепленный к настоящему сообщению файл, предназначенный для вычисления про-стых числ.

Если файл прицепится, то в нем.
Когда-то генерировал для своих нужд. До миллиона с чем-то. Первый столбуц - порядковый номер.

Что-то похожее...
1. Считаем сумму всех нечетных чисел, от 1. Ар. прогрессия. Сумма=1000*250. Прибавлеякм к ней 2. Итого S1=250002
2. Считаем сумму всех чисел, делящихся на 5, соотвенно на 5 и оканивающихся.
В каждом десятке одно такое число. Десятков 100. Итого 100 чисел. Ар прогрессия. Сумма=1000*50.
Вычитаем ее из S1 и прибавляем 5. Итого S2=200007.
3a. Считаем сумму всех, кончающихся на 1 и делящихся на 3.
Ряд этих чисел образует арифм. прогрессию с начальным числом 21, интервалом 30 и последним числом 981. Итого 33 числа. Сумма,S3a=21+1002*16.
3b. сумму всех чисел, кончающихся на 3 и делящихся на 3, исключая само число 3.
Опять прогрессия из 33 чисел с шагом 30. Начало=33, конец 993. Сумма, S3b=33+1026*16
3c. Сумму, кончающихся на 7 и делящихся на 3. Начало прогрессии=27, конец=987, интервал=30.
33 числа. S3с=27+1014*16
3d. Кончаются на 9, делятся на 3. Началопрогрессии=9, конец=999, интервал=30, 34 числа.
S3d=9+39+1068*16.
S3=S2-(S3a+S3b+S3c+S3d)=200007-129-4110*16.
4. Осталось 8 чисел, на которые может разлагаться любое составное число из осташихся.
7,11,13,17,19,23,29,31.
7 стоит особняком. Так как оно моожет входить в тройные произведения.
Числа 11,13,17,19,23,29,31 могут образовывать только 2-ные произведения.
Произведений этих 28, считаются и суммируются врукопашную. Это будет S4a.
Число 7 образует еще ряд составных чисел:
7*7; 7*11; 7*13;7*17;7*19;7*23;7*29;7*31;
7*7*7; 7*7*11;7*7*13;7*7*17;7*7*19;
7*11*11;
Их сумма S4b.
Итого сумма всех простых, от 1 до 1000, включая 1 S=200007-129-4110*16-S4a-S4b.

В 4 пункте незадача случилась. Пардон.