Слышал, что можно прошивать контроллеры без проограмматора, используя UART контроллера. Подскажите, пожалуйста, как это делается.

Необходимым условием для этого является возможность программирования Flash микроконтроллера с помощью программы, выполняющейся самим микроконтроллером. Такая программа обычно называется Bootloader. UART это лишь интерфейс через который Bootloader получает извне микроконтроллера данные и команды для (само-)программирования. Вместо UART может быть любой другой имеющийся в МК интерфейс SPI, I2C, CAN, USB и т.п. См., например, в википедии или поГуглите на тему bootloader сами.
В некоторых микроконтроллерах уже имеется встроенная производителем программа Bootloader, которая поддерживает (само-)программирование встроенной в МК Flash и загрузку программы через какой-либо интерфейс связи по определенному протоколу. Если позволяют ресурсы МК. то можно написать свою собственную программу Bootloader.

Нашел документ AN851.pdf про bootloader. Там написано про программу Quick Programmer. Но ее нигде не найти. Поделитесь, чем можете.

Нашел в документе AN851 ссылку на программу Quick Programmer. Но ее нигде не найти.

Делал bootloader для PIC18F252 на FTDI.
При желании можно переписать под COM порт.
Соединения:
FTDI PIC
RXD TXD
TXD RXD
RTS MCLR, pull-up 10 кОм
DTR RC0, pull-up 10 кОм

Пользовательская программа начинается с адреса 0200h.

transformator,
Смотрите файл с кодом к AN851: AN851 Source Code - A FLASH Bootloader for PIC16 and PIC18 Devices
Также "AN851 Quick Programmer Beta" есть среди программаторов в MPLAB-е (смотрел в v7.60, при инсталляции нужно выбрать соответствующий чек-бокс).

А где найти не бета-версию?