Суть вопроса .

Как правильно посчитать средневзвешенное значение (т.е среднее значение
неравноточных) полученных измерений ?

Суть вопроса .
Получено n неравноточных измерений: { X1,X2.......Xn}
Каждое из полученных измерений имеет приближенное значение дисперсии
(при чем чем меньше значение дисперсии измерения тем более точна оценка
дисперсии данного измерения):

Как правильно посчитать средневзвешенное значение (т.е среднее значение
неравноточных) полученных измерений ?

Чтобы дисперсия суммы с весами была минимальной надо, чтобы веса были обратно пропорциональны
сигме в квадрате... Сумма весов=1

Не совсем. Это было бы верно для нормальных независимых распределений точек с одинаковым матожиданием и известных их дисперсий. В данной задаче оценки дисперсий - сами случайные величины. Зависящие непонятно от чего и не могущие по понятным причинам иметь нормальное распределение. В общем хорошо бы для начала разобраться с этим распределением оценок дисперсий и допустимостью применения формулы с дифференцированием в данном конкретном случае. А дальше, действительно, можно исходить из того что матожидание и дисперсии точек всесте с Pi являются неслучайными неизвестными величинами и идти стандартным путем исходя из критерия максимального правдоподобия, например, для совместного определения неизвестных параметров. Получив какое-то близкое к оптимальному решение. Или не получив - из-за того, что конкретная нелинейная задача решаться в лоб не будет.

Правда, если человеку все-таки допустимо пользоваться формулой с дифференцированием, то ошибки дисперсий скорее всего малы по сравнению с дисперсиями, и использование оценок этих дисперсий вместо их истинного значения в Вашей формуле скорее всего даст решение не намного хуже оптимального.

Да, конечно, но так как это все неизвестно, то модель с группировкой фиктивных единичных измерений с одинаковой априорной дисперсией по N(k) штук... Полностью соответствует поставленной задаче... А если N(k) большие, то по известной теореме... Более того, автор не спрашивал, какова вероятность того, что данный наилучший способ - наилучший...

Для того чтобы сказать, что оценка несмещенная - Известная Теорема не нужна. А как при помощи этой теоремы сделать вывод, что оценка наилучшая - я не понимаю. Более того, подозреваю, что это не так.

Автор просто просил неилучший способ, без всяких доказательств.

{ X1,X2.......Xn} - имеют нормальное

Соответствующие им ошибки дисперсий
0,095713 0,046895 0,030628 0,0225 0,017627 0,014382 0,012066 0,010332 0,0089855

{ X1,X2.......Xn} - имеют нормальное распределение.
Причем последующий набор { X1...Хi....Xn} может быть и не связан с предыдущим.
Ошибки дисперсий может быть действительно считать слишком незначительными по сравнению с дисперсиями и находить средневзвешенное по известной формуле в которой веса обратно пропорциональны сигме в квадрате?
Возможные дисперсии
0,14063 0,0625 0,036458 0,023438 0,015625 0,010417 0,0066964 0,0039063 0,0017361 3,4694e-018
Соответствующие им ошибки дисперсий
0,0079102 0,003125 0,0015951 0,00087891 0,00048828 0,00026042 0,00012556 4,8828e-005 1,0851e-005 1,2037e-035
{ X1,X2.......Xn} - имеют нормальное распределение.
Причем последующий набор { X1...Хi....Xn} может быть и не связан с предыдущим.
Ошибки дисперсий может быть действительно считать слишком незначительными по сравнению с дисперсиями и находить средневзвешенное по известной формуле в которой веса обратно пропорциональны сигме в квадрате?
Возможные дисперсии
0,14063 0,0625 0,036458 0,023438 0,015625 0,010417 0,0066964 0,0039063 0,0017361 3,4694e-018
Соответствующие им ошибки дисперсий
0,0079102 0,003125 0,0015951 0,00087891 0,00048828 0,00026042 0,00012556 4,8828e-005 1,0851e-005 1,2037e-035
Возможные дисперсии
1,5469 0,76563 0,50521 0,375 0,29688 0,24479 0,20759 0,17969 0,15799
Соответствующие им ошибки дисперсий
0,095713 0,046895 0,030628 0,0225 0,017627 0,014382 0,012066 0,010332 0,0089855

А в чем вопрос? Меня вот очень интересует дисперсия 3,4694e-018 с соответствующей ошибкой 1,2037e-035... Что и чем можно с такой точностью измерять? Особенно впечатляет весь ряд... Если имеется последнее измерение, то зачем предыдущие...

На самом деле дисперсия 3,4694e-018 на практике почти не встречается (при такой дисперсии в данном
случае достаточно одного измерения),а наиболее часто встречаются примерно такие как 0,14063 0,0625.

Вот и интересует, откуда такие цифры.... берутся.