Есть MIMO(multi-input multi-output) система с обратноя связью.
Описывается передаточной функцией K(z)=(I-z*A(z))^(-1),
где имеется n входов и n выходов. Матрица z*A(z) стоит в обратной связи.
Очевидно, система устойчива, если det(I-z*A(z)) имеет корни только внутри ед. окружности.
Сама задача состоит в том, чтобы смоделировать поведение известной MIMO системы без обратной связи системой с обратной связью вида K(z)=(I-z*A(z))^(-1). В численной оптимизации предполагается модифицировать матрицу A(z). Однако в процессе оптимизации необходими контролировать устойчивость системы.
Вопрос: Каким условиям должна удовлетворять матрица B(z), чтобы система K(z)=(I-z*(A(z)+B(z)))^(-1), также была устойчивой. Нашел в интернете ссылки на обощенную теорему Rouche. Она вроде бы и дает ответ на этот вопрос.
Может кто-нибудь детально (на пальцах) привести и объяснить формулировку этой теоремы?
Или может быть можете подсказать решение вышеуказанной задачи на матлабе? (какие функции глянуть и тд)

Есои интересно - могу кинуть статью содержащую эту теорему

Основная идея теоремы Руше - если две комплексные функции f(z)и g(z) имеют непрерывную комплекснозначную производную (т.е. удовлетворяют условию Коши-Римана) внутри единичной окружности и на границе |g(z)|<|f(z)|, то внутри этой окружности функции f(z) и f(z)+g(z) имеют одинаковое количество нулей с учетом их кратности. Т.е. если f(z) - знаменатель некоторой устойчивой передаточной функции, то система с передаточной функцией f(z)+g(z) также будет устойчива. Обобщенная теорема руше распространяет это утверждение на маричные функции F(z) и G(z). Только усложняетеся ограничение на границе единичной окружности - там появляется положительно определенная весовая матрица, но смысл теоремы не меняется.

Т.е. если система (I-zA)y=x устойчива, т.е. нули det(I-zA) лежат внутри единичной окружности, то если матрица-обновление zB оптимизатора удовлетворяет условиям теорему Руше, то система с матрицей (I-zA-zB)y=x будет иметь такое же число нулей внутри едичной окружности, как и исходная система. Т.е. если исходная система была устойчивой, то модифицированная система тоже будет устойчивой.

Совершенно не очевидно, более того, это неверно. Это не есть достаточное условие в MIMO случае. Нуль одной степени свободы может компенсироваться полюсом другой, в результате детерминант будет везде отличен от нуля, а система окажется неустойчивой.

Необходимые и достаточные условия устойчивости подробно рассматриваются в C. A. Desoer and M. Vidyasagar "Feedback Systems: Input-Output Properties". Книга, вероятно переводилась на русский язык. Но она тяжела...

P.S. Или A(z) - матрица многочленов? Тогда, конечно, детерминанта достаточно...

To NickNich:
Вы говорите, что 'Обобщенная теорема руше распространяет это утверждение на матричные функции F(z) и G(z).'
Вопрос:
Что Вы подразумеваете под матричными функциями F(z) и G(z)?
В случае оригинальной теоремы Руше мы вычиляем f(z) на требуемом контуре, подставляя вместо z точки лежащие на контуре. Каждой точке на контуре будет соответствовать комплекмное число.
F(z) есть матрица, элементами которой являются полиномы. Каждой точке на контуре в этом случае будет соответствовать матрица чисел. Мне надо сравнивать матрицы? Как? Чтобы разница матриц была положительно определенной?

Тут я нечетко выразился. Под "матричными функциями" здесь следует понимать квадратные матрицы одинаковой размерности, в ячейках которых стоят функции от z. Про исходную теорему - здесь Вы вычисляете аналитические выражения для функций f(exp{jw}) и g(exp{jw}) и доказываете, что |f(exp{jw})|>|g(exp{jw})| для любого w=-pi...pi, при прочих условиях теоремы.

Точной формулировки обобщенной теоремы Руше у меня под рукой нет - то, что нашел в интернете, звычит так. Если матрицы F(z) и G(z) - аналитические в единичной окружности (т.е. аналитические их функциональные члены) и удовлетворяют условию F'*D*F>G'*D*G (знак ' - комплексное сопряжение отдельных элементов матрицы,без ее транспонирования), где D - некоторая квадратная положительно определенная матрица, то число нулей для матрицы F и матрицы G+F в единичной окружности совпадает. Вам нужно найти какую-нить положительную матрицу D, для которой матрица F'*D*F-G'*D*G - положительно определена. Тогда обе системы будут устойчивы. Кстати, Выложите статью, о которой упомянули в первом сообщении, мне стало интересно.

Основной вопрос в том, как найти матрицу D. В статье, имеющейся у меня, такая же формулировка: "для некоторой". Значит не для всех? А для какой? Как найти?

Вечером, как домой доберусь, выложу статью.

Это означает, что если существует некоторая (любая) положительно определенная матрица D, то...
Т.е. матрицу D Вы можете выбрать любой, для которой получится доказать неравенство, указанное в условиях теоремы.

Про это я догадался. :-) А вот как ее выбрать? Существет ли алгоритм? Ведь мне надо контролировать устойчивость системы при ее расчете. А расчет - это алгоритм. :-)
Вот статья.
Сам я пока в нее глубоко не вникал. Но похоже там что-то есть про ее применение...
Еще сам покопаюсь в этом.
Если у вас есть ответ на мой вопрос - свистните - буду очень рад.

Эта матрица введена в доказательство теоремы для общности и выбирать эту матрицу нужно методом научного тыка. Например, если окажется, что для единичной матрицы D и имеющихся у вас матриц F и G выполняются условия теоремы, то этого достаточно.

ЗЫ. Я формулировку теоремы из этой статьи списал.