Как можно выполнить разложение функции на Гауссы в заданном диапазоне [a,b].
Функция Гаусса Gauss(x,m,s)=1/(sqrt(2*Pi)*s)*exp(-(x-m)^2/(2*s^2)).
Ряд должен иметь следующую форму:
F(x)=A00+sum(sum(Aij*Gauss(x,m0+dm*i,s0+ds*j),i=0..N),j=0..M),
Причём m0,dm,N,s0,ds,M заданы и конечны. Aij - амплитуды, которые необходимо найти. Как можно выполнить такое разложение?

А разве Гаусс образует ортогональную систему?

Конечно же нет. Если бы образовывал, то и вопросов не возникло, по принципу ряда Фурье определялись коэффициенты. В этом и вся изюминка, что ортогональной системы нет. А с точки зрения математики я не знаю, можно ли доказать невозможность такого разложения. К примеру при ортогональной системе ядром является интегрирование, т.е. поиск коэффициентов взятием интеграла от функции с обнулением ортогональных произведений. Почему бы к Гауссианам не применить другое ядро, например ядро дифференцирования или более сложное - алгоритмическое. Нужны идеи по этому вопросу.

Так и не в ряд, судя по заданию разложить надо, а апроксимировать функцию суммой Гауссоид. Метод наименьших квадратов пробовали?

А что вы ядром называете?...

Через интегрирование задается скалярное произведение в соответствующем пространстве функций.
Если хотите ракладывать по гаусианам, то надо задать скалярное произведение и показать, что система гаусианов является базасом.

А вообще лучше этот вопрос задайте на каком-нить математическом форуме. Например, на форуме мехмата МГУ (www.mathforum.ru)

Интегрировать Гауссы нельзя, так как при небольшом сдвиге по оси абсцисс одного и того же Гауссиана на величины, сравнимые с сигмой, интеграл от произведения не то, чтобы ноль давать не будет, а вообще, получится величина, сравнимая с интегралом от взятого Гауссиана. Поэтому одной из идей было применение производной. Дескать увеличение порядка производной позволит различить сначала Гауссианы с наименьшей сигмой, затем после их компенсации из основного сигнала, Гауссианы с сигмой большей величины и т.д. Но во-первых, так и не получены нормальные результаты разложения даже идеальных функций, а во-вторых, при реализации каждый процесс дифференцирования будет усиливать шумы сигнала, а если применять сглаживание перед дифференцированием, то после 4-5-ой производной будем дифференцировать не сигнал, а неизвестно что.
По поводу применения МНК: можно в Maple получить аналитическую формулу километровой длины, вопрос насколько она будет чувствительна к помехам, т.е. как сильно изменится решение при небольших отклонениях в данных. Это я ещё не анализировал, занимаюсь реализацией этой идеи в настоящее время. Поэтому если есть какие-либо соображения по данному вопросу - с удовольствием выслушаю.

Можно посмотреть на картинку функции?

--
AN

Сообщение отредактировал AndrewN - Jul 22 2008, 23:14

Ваше разложение в ряд является решением интегрального или диф. уравнения? Если да, то применение МНК может быть элегантным.
По чувствительности к помехам - это зависит только от функции, для нивелирования можно применить МНК с лагранжевой добавкой (запамятовал как это корректно называется). В этой добавке можно усилить требование на сходимость.

У вас, значит, не ряд, а конечная сумма все-таки. Следовательно, произвольную функцию вы можете только аппроксимировать, но не разложить (разложение - это точное равенство между функцией и рядом или суммой). Нет смысла искать скалярное произведение, тем более что через производную вы его точно не определите.

МНК тут тоже не подходит, т.к. применим лишь для аппроксимации в конечном числе точек. Можете взять конкретные отсчеты F(x): F(k) в точках Xk и применить МНК.

А если строго следовать вашей постановке задачи, то надо сначала выбрать норму, в которой будете аппроксимировать. Равномерная норма: ||f(x)||=max(|f(x)|), интегральная:
||f(x)||=int(|f(x)|*dx) и т.д. Тогда амплитуды Aij выбираете из условия минимизации некоторой нормы разности между исходной функцией и суммой гаусоид.

Интересно что именно и как вы сейчас реализовываете?
... и почему именно гаусоиды?

Вот именно. Мне сейчас кажется, что исходно это был вопрос на смекалку (или на засыпку) -
ряд не ряд, поточечная норма или интегральная, а все равно задача принадлежит к классу
некорректно поставленных - с вполне непрерывным оператором. И решать её надо соответствующим
способом, с применением регулязатора, и самое трудное - этот регулязатор построить.
Метод (т.е. регулязатор) Тихонова хорош для объяснения теории, но на практике он
хорошего решения не даст.

Гауссианы - я думаю, потому что где-то намеряли несколько пиков, которые друг на друга
налезают (я ещё видел, когда друг под другом сидят!) и не знают теперь что делать, нужно
разделить. А нужно спросить очень толкового математика-численника и регуляризировать
на основе всего, что известно apriori.
Я, в общем, из вышесказанного просил картинку показать.

Вот навскидку, пример некорректной задачи, система линейных уравнений:

2x + 3y = 4
4x + 6y = e

Очевидно что решения нет, потому что детерминант ноль, но в численных методах такое
бывает - намеряли коеффициентов для плохо обусловленной матрицы, она "слегка"
выродилась, а решение считать все равно надо. Обычно берут минимум нормы, или
сдвигом собственных чисел.

Over'n'out
--
AN

Давным-давно это было. Некую экспериментальную кривую раскладывала на еще более неприятные части. Известно (предполагалось), что в суммарном (экспериментальном) "спектре" имеется несколько компонент с известным спектром. Подход был такой. Методом наименьших квадратов (с весами) находилось наилучшее разложение для двух компонент, потом, стартуя из этой точки, добавлялась еще одна, потом еще... Потом в исходный спектр добавлялся шум... многократно. Определялся доверительный интервал для параметров функции распределения компонентов. Легко обмануться... Задача в общем виде плохоопределенная. Можно моделировать, создавая искусственный спектр с шумами. Долго все это... и нудно.