В этом генераторе былы прерывистые колебания основной частоты.
В генераторах надо избегать постоянной времени по входу усилителя больших чем время нарастания колебаний кварца. Частота 65 Кгц определяется в данном случае R1* (C1+Cвх микросхемы) и свойствами кварца и коэфициентом усиления микросхемы. Было бы бучше уменьшить R1 до 100 кОм, и, как выше советовали, - непременно заменить R2 20...100 Ом.

За счёт чего?

Это происходит точно как в сверхрегенеративном приемнике. Я в теории особо не разбирался, но на практике натыкался неоднократно. Если существуют при определенных условиях сверхрегенеративные явления в генераторе с колебательным контуром (LC), ничто не мешает возникнут подобным явлениям и в генераторе на кварцевом резонаторе, главное соблюсти необходимые условия.
Кстати, можно собрат сверх-, скажем так, узкополосный приемник на одном транзисторе и кварце. Идея когда-то витала в голове, но до паяльника дело не дошло.

Еще вспомнил. Были случаи когда из-за некачественного кварцевого резонатора частота перескакивала с основной на более высокую и обратно. Дело в том что, как правило, высокочастотные кварцы имеют паразитные резонансы на более высоких чем осноная частотах. Обычно эта разница в десятки килогерц. И паразитных резонансов может быть несколько (из-зи кривой пластины или микротрещин), и их активность иногда бывает даже выше чем паспортная частота.

Это лишь Ваши предположения.
Для придания им правдоподобия, нужно их обосновать.
В качестве возражения приведу лишь соображение, что сверхрегенератор является существенно нелинейной системой, которая не имеет ни малейшего отношеня к равссматриваему вопросу. Ваши аналогии в контексте данного вопроса совершенно неуместны (хотя, и не лишены смысла в других, определённых условиях).
Колебательную систему в данном случае следует рассматривать как сугубо линейную (до ограничения, ессно).

Правильная Ваша идея. Может, к сожалению Вашему, а. может, и к счастью, давно реализованная.
Вы не поверите, наверное. Но я видел корреляционный приёмник, сделанный на кусках кабеля.На выходе стоял обычный амплитудный детектор. Принимал сигнал из другого полушария, причём сверхширокополосный.
Фильтр на кварце - тоже правильный. И оптимальный в некотором смысле. Поищите по контексту "гауссов фильтр".

Это верно.
Сам наблюдал такое явление при сличении мод одинаковых кварцев.

Обычно паразитные моды являются следствиеи нарушения целостности кристалла, или герметичности его упаковки.
Есть ещё моды, связанные с неправильной настройкой генератора. Трудно поверить, но я однажды ещё в институте, наблюдал 2, а после и 3 синхронные моды работы генератора при запуске его на гармониках. Прикольно было на скопе наблюдать нули суммы разных мод (правда, это было нелегко).

1. Лучше бы схему сделать на транзисторе (классическую емкостную трехточку). Куда стабильнее будет.
2. Если уж на микросхеме, то 1 Мом и 2.2 ком - слишком большие (уменьшить на порядок первое и от 4 до 10 раз второе) для 16 Мгц, как выше уже много раз советовали.
3. На (1..3)*10-3 - "правильный" кварц + катушка. Только емкостями - примерно 10-4. Для того, чтобы удобно организовать перестройку, нужна схема п.1