Как известно из теоремы Котельникова, для того, чтобы аналоговый
сигнал мог быть оцифрован а затем восстановлен, необходимо и
достаточно, чтобы частота дискретизации была больше или равна
верхней частоте аналогого сигнала.
Предположим, у нас есть синус с периодом 1 секунда.
Тогда f = 1 / T = 1 герц, sin( ( 2*pi / T ) * t ) = sin( 2 * pi * t ),
частота дискретизации 2 герца, период дискретизации 0,5 секунды.
Подставляем значения, кратные 0,5 секунды в формулу для синуса
sin( 2 * pi * 0 ) = sin( 2 * pi * 0,5 ) = sin( 2 * pi * 1 ) = 0

Везде получаются нули.
Как же тогда можно восстановить этот синус ?

поправлю в два раза больше - но парадокс хороший.

По=моему это уже было. Вот от этого поста и дальше по топику.

А я думал будет что-то интересное

Ошибки нет. Только не больше или равна, а больше. Но время набора - не оговорено. Чем ближе к границе - тем оно больше. При равенстве - время набора данных станет бесконечным.

В оригинальной формулировке (да и в книжках) Котельникова всё-таки больше (меньше) или равна. Прокомментируйте плиз.

если аналоговый сигнал "имеет ограниченный спектр" !
Это означает что синус с Fmax и дискретизация с частотой 2Fmax уже не имеют смысла потому что амплитуда ограниченного идеальным фильтром синуса не определена, так как попадает на границу фильтра. Вообще нельзя восстановить то что не существует Вы видели когда нибудь синусоидальный сигнал 1кГц , ограниченный полосой 1 кГц?
я-нет.

Я уже сказал - при бесконечном времени накопления данных. Следует также учесть, что на границе спектра амплитуда сигнала равна нулю.

Любопытно посмотреть на спектр гармонической ф-ции и его границу. Теорема подразумевает(должна) необходимость и достаточность, знак равенства в формулировке- присутствует.

rudy_b, не надо отсебятины. Вы что, умнее Котельникова?

1. Спектр не содержит частот выше Fв, то есть имеет право содержать Fв.
2. Выражение может быть полностью восстановлен не позволяет говорить о бесконечном времени, то есть если это действие выполнимо, то время конечно.
3. По этой же причине кол-во отсчётных значений конечно.

А теперь привидите мне литературу, в которой приводятся все ваши оговорки, которые более точно определяют применимость ТК и её ограниченную "точность". Плиз.


Знаете, для меня этот термин имеет неограниченный смысл Такая искуссная игра слов. Чтоб потом за руку не поймали. Может Вы заодно приведёте более конкретное определение "ограниченного спектра".

Смею предположить (по определению ТК), что спектр ограничен только двумя числами, то есть в диапазоне A..B.

Сообщение отредактировал GetSmart - Jan 18 2009, 05:59

Цитата (http://robotcity.ru/content/view/485/32/)
Для полного восстановления непрерывной функции x(t) по значениям ее отсчетов нужно просуммировать бесконечное множество членов ряда (1.69).
См. также http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Котельникова. Здесь, как и во многих учебниках
обычно пропускают индексы в сумме. А они - от минус бесконечности, до бесконечности.

Посмотрите также http://graphics.cs.msu.su/courses/cg_el00/kotelnikov.pdf.

И не путайте формализм с физическим смыслом.

Я не путаю.
Применима ли ТК к конечному множеству отсчётов? Какие при этом возникают ограничения?

Да , дела , пмсм при нулевых отсчетах на синусоиде сколько хошь складывай , а ряд котельникова будет выдавать нули

Ошибка стало быть в условии >= . Равно не катит.

ТК применяется не к отсчетам, а к функциям, имеющим спектр, т.е. интегрируемым. Непрерывный синусоидальный сигнал к таковым не относится, соответственно и ТК к нему неприменима. Впрочем, если хотите, можете попрактиковаться в рисовании спектра оного синуса, тока будьте осторожны - дельта-функция уходит в бесконечность, как бы в глазик кому не ширнуть.
Из утилитарных соображений - и Шеннон, и Котельников рассматривали сигналы, пригодные для передачи информации. Непрерывный синусоидальный сигнал никакой информации в принципе передавать не может, если бы они знали, что кому-то понадобится "воспроизводить" такой бесполезный сигнал, может и подшаманили бы теорию.


Кстати, Гоноровский в своем учебнике убрал "равно". Наверное, достали его студенты вопросами про синус.

Вот это настоящие откровения
1. Я привёл формулировку ТК из учебника Баскакова. В ней же явно говорится об отсчётах. И не о функциях, а о сигналах.
2. Неужели у непрерывного синусоидального сигнала нет спектра? А мужики-то не знают А вообще, сколько людей столько и мнений. Один говорит, что в ТК интегрирование надо делать по бесконечности, то есть синусоида(ы) должны быть непрерывны для правильного результата. Другой говорит, что непрерывные синусоиды не годятся. Вы уж друг с другом определитесь чтобы было о чём спорить.
3. Меня в принципе не особо тревожит частота Fв/2. А под сигналом я подразумеваю сумму любых частот (просто нули тоже могут быть), пускай даже в диапазоне -Fв/2<F<Fв/2. Годится?

Сообщение отредактировал GetSmart - Jan 18 2009, 20:31