А можно вот про это все подробнее? Что такое "имеющая спектр функция", что такое интегрируемая функция, почему синус не интегрируется... для начала. А то непонятно.
Хотелось бы еще эту дежавю непрерывную перевести в дежавюшнный формат и выложить не всеобщее обозрение или осмеяние... по настроению...

Поправка принимается - абсолютная интегрируемость функции. Интеграл от модуля функции по времени от минус бесконечности до плюс бесконечности должен иметь конечную величину. Непрерывный гармонический сигнал к таковым не относится, поэтому его нельзя представить в частотной области в виде обычного спектра Фурье.


Сигнал, как функция времени - он является первичным. Отсчеты - результат дискретизации, т.е. процесса. Можно дискретизировать непрерывный сигнал и не зная ТК (законом не запрещено).

Таки не спорю, просто высказываю... Допустим, у нас синусоидальный сигнал конечной длительности, т.е. радиоимпульс. Спектр такого сигнала имеет огибающую вида sin(x)/x (симметрично относительно часто F, -F). Если увеличивать длительность импульса, ширина "лепесков" будет уменьшаться, но качественно вид спектра будет оставаться тем же. При увеличении длительности импульса до бесконечности получается качественно иной результат - спектральная плотность обнуляется везде, кроме частот -F, F, а на оных она становится равной бесконечности. Это, собственно, уже не спектр в обычном понимании, а математическая абстракция.

Тогда уж не частот, а синусоидальных сигналов?

Вы пытаетесь влезть в дебри формализма. Для всех затронутых вопросов есть разработанные решения. Но не всегда они имеют физический смысл.

Возьмем теорему Котельникова. Она говорит о ТОЧНОМ восстановлении значений функции. При частотном условии "<=" она отвечает - да, но через бесконечное время. В переводе это означает НЕТ. А вот если только "<" весьма несложно определить, за какое время вы получите ответ С ЗАДАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ. А без задания точности вопрос, опять же, не имеет физического смысла. Но этот вопрос уже не к теореме Котельникова.

Можно об этом поподробней. Любой пример с заданной точностью и методом решения. Или ссылочку на него. Вся соль в деталях


Откуда взяты эти откровения? ИМХО синусоида, особенно от минус бесконечности до плюс бесконечности является идеальным сигналом для преобразования Фурье. Результатом преобразования будет её амплитуда.


Именно это и требуется. Дискретизировать любой сигнал (в диапазоне частот -Fв/2..+Fв/2) и потом его восстановить с максимальной точностью. Как утверждает ТК.

Сообщение отредактировал GetSmart - Jan 19 2009, 06:02

И.С. Гоноровский. Радиотехнические цепи и сигналы. Е.И. Манаев. Основы радиоэлектроники. Результат преобразования Фурье для синусоиды от минус бесконечности до плюс бесконечности - не "амплитуда", а две дельта-функции на частотах F и -F. Собс-но дельта-функция это определение - как-то надо было назвать то, что получится при применении преобразования Фурье к функциям, для которых оно неприменимо.

Не любой, а только такой, к которому применимо преобразование Фурье. Для примера - сигнал постоянного уровня. Его "спектр" - дельта-функция, расположенная на нулевой частоте, соответственно и понятия -Fв/2, +Fв/2 для него теряют смысл.

Похоже, тов. GetSmart не очень знаком с дельта-функциями. Кстати, есть вполне математически строгая теория дельта-функций и им подобных - что-то под названием "обобщённые функции" и "функционалы".
Наверняка теорему Котельникова можно расширить на обобщённые функции. Тогда и случай бесконечных синусоид можно было бы рассматривать. Только оно надо? В расширенной формулировке это был бы монстр, а не теорема. А в стандартной формулировке звучит кратко и понятно.

.
Боюсь, что пересказывать вам содержание громадного количества книг, посвященных этой теме будет слишком утомительно. Возьмите на себя труд ознакомится с ними самостоятельно, ссылок в инете много. Ключевые слова - "дискретное преобразование Фурье" и "цифровая обработка сигналов"

Все гораздо проще. Теорема Котельникова звучит так: "Частота дискретизации должна быть НЕ МЕНЕЕ чем в 2 раза больше самой высокой частоты сигнала". Т.е. если она в 2 раза - еще не факт, что можно гарантированно восстановить. Факт в том, что при Fдискр меньше 2Fmax восстановить сигнал НЕЛЬЗЯ. Именно об этом он писал.
Более того, при Fдискр=2Fmax, удовлетворительно сигнал восстановить можно только в одном случае - если Вы ведете отсчеты по пикам синусоиды. В ЛЮБОМ другом случае - будут ошибки. Крайний случай: отсчеты по нулям - 100% ошибка.
Вообще, принято считать, что для удовлетворительного восстановления сигнала - частота дискретизации должна быть в 4-7 раз больше максимальной частоты в спектре. Вот так.

Понятно. Когда речь заходит о деталях, сразу нечего сказать. Можете продолжать зубрить "громадное кол-во книг".

Напоследок скажу одну весчь, о которой не писали в книжках. Точно восстановить из ограниченного количества отсчётов можно только ограниченное множество частот в диапазоне -Fв/2..0..Fв/2. То есть диапазон частот получается прерывистый. Остальные частоты будут частично искажены потому как не ортогональны друг к другу. Всё, я пошёл отсюда

Сообщение отредактировал GetSmart - Jan 19 2009, 13:43

Именно поэтому CD звук дискретизирован 44.1 KHz

Эээээ.. Где это так принято?

Не забываем, что в исходной постановке вопроса есть существенная деталь: сигнал (или его высшая гармоника)- синусоида. Тогда для восстановления сигнала вообще достаточно знать только его амплитуду. Вот амплитуду и надо воспроизвести. А дальше - дело техники, исходная синусоида из этого отсчета получится ТОЛЬКО ПОСЛЕ соответствующего фильтра низких частот.

Вы про фазу спросите? Так это совсем другая песня. Если модулируете по фазе, в сигнале появляются синусоидальные же компоненты повышенных частот. И требуемая частота дискретизации повышается.

Попробуйте при t≠const.

Это - Ваша фантазия. В исходном варианте ТК звучит ТАК:
"Любую функцию F(t) состоящую из частот от 0 до f1 , можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел следующих друг за другом через 1/2f1 сек."
Ее аналог - теорема Шеннона:
"Если функция не содержит частот выше W гц, она полностью определяется своими мгновенными значениями в моменты, отстоящие друг от друга на 1/2W сек.”
Знак равенства присутствует в обоих случаях.

Теоремы имеют право быть неправыми. В отличие от аксиом.

Кое-что упустили - частоту синусоиды тоже надо восстановить.

У Баскакова теорема Котельникова высказывается так: " Произвольный сигнал, спектр которого не содержит частоты выше fв, Гц, может быть полностью восстановлен, если известны отсчетные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки времени 1/(2fв) сек."
У Гоноровского тоже речь идет о конечном спектре. О конечном числе отсчетов речи нет.
Функция, состоящая из частот- мало понятно, для меня, во всяком случае.

Сообщение отредактировал Designer56 - Jan 19 2009, 14:58