А за нелюбимой дельта-функцией возникнет вопрос, а что значит восстановить сигнал?

Появится интегрирование по Лебегу и сходимость "почти везде", по которой вклад в непрерывный спектр сигнала синусоиды частоты Fd/2 можно вообще отбросить (энергия бесконечно мала в интервале df) и не морочить голову ни себе ни другим :-)

Ох гурукилер этого не любит, интегрирование по Лебегу и обобщенных функций, ох не любит...

Я бы сказал так: Для реальных функций у реальных пацанов (как гурукилер) частоту Fd/2 нужно исключить из ТК. А для обобщенных функций - и так сойдёт, можно включить и всё будет строго в метрике L2

Бесконечная синусоида конечной амплитуды реальной функцией для реальных пацанов не является, у неё сингулярность в спектре

Он ещё Гуру не любит, - они ему напоминают дельта-функции..

Как и непрерывный синусоидальный сигнал - он тоже не удовлетворяет. Поэтому к нему неприменимо преобразование Фурье, а, следовательно и ТК.

Неправда. Синусоидальный удовлетворяет. Получается дельта функция -
везде ноль кроме точки где частота равна частоте синуса.

Возможно здесь есть найдете ответ на этот вопрос: h*t*t*p://prodav.exponenta.ru/read/info02.htm

А в этой точке её значение (спектральной плотности) равно бесконечности. Это ничего? Чистая бесконечная синусоида - это абстракция. В реальности у неё обязательно есть фазовый шум и сингулярность размажется в спектральную линию. Или она должна рассматриваться на конечном интервале времени и снова получится спектральная линия конечной (не бесконечно узкой) ширины.

И вклад одиночной частоты Fd/2 в энергию этого сигнала будет бесконечно малым. Вот математики и говорят, что в смысле метрики L2 одна спектральная точка не играет роли, она ничтожна. Интервал частот решает

В Теореме Котельникова ошибок нет. Это в мозгах ошибки неадекватности моделей

В интерпретации Теоремы есть проблема, связаная с тем что реальные сигналы вроде бы должны быть ограничены во времени, не только по спектру. Ведь бесконечности нет, это всегда абстракция в смысле предельного перехода. В формулировке теоремы есть практическая, "инженерная" бесконечность. Т.е. рассматриваемых в Теореме сигналов строго говоря не существует в природе. Но она работает и для реальных сигналов - ограниченых сначала по частоте, потом по времени. И это строго доказывается. Но это сложно, и инженеров этому не учат

Получается две дельта-функции, вторая - на отрицательной частоте. Но это непринципиально - синус, как и постоянный уровень не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости. Следовательно ... и дальше идем опять по кругу. Лучше подождем GetSmartа - он что-нить новенькое придумает, чтоб поднять тему на новый виток диалектицкой спирали.

Другими словами, в сугубо инженерной книге Радиотехнические цепи и сигналы даётся неадекватная интерпретация ТК применительно к реалиям. Приведена только идеализированная интерпретация, но о никаких ограничениях, возникающих на практике не говорится, как будто их нет в принципе?! Почему?


Ширина спектральной "линии" идеальной синусоиды обратнопропорциональна временному интервалу. При устремлении интервала в бесконечность ширина падает до "нуля" и превращается в точку. Но. Она существует! Да, и не надо её бояться. На шкале спектральной мощности она зашкаливает и напоминает сингулярность, хотя и имеет некий числовой коэффициент для дополнительных математических операций (типа если пять бесконечностей поделить на одну бесконечность, будет 5 ). На шкале спектральной амплитуды для бесконечной синусоиды будет обычное число. Вообще красотища.

Хотел спросить Вас лично. Проблема неортогональности гармоник в дискретизированном сигнале является проблемой какой теоремы? Котельникова? Фурье? или кого-то ещё?

Сообщение отредактировал GetSmart - Jan 21 2009, 15:50

Вы бы огласили проблему с конкретными примерами, а то не весь народ в курсе.

Это уже вопрос философский. В конечном счете оправдание науки вообще не в изложении "истины", а в практической полезности. Инженеров учат тому, что может быть полезно в практической деятельности и стараются не забивать работающие приёмчики деталями



Мантры.
Везде, где появляется бесконечность, реально это означает предельный переход. Нет бесконечности во Вселенной Бесконечность - это свернутое представление о процессе предельного перехода. Иероглиф



Проблема неортогональности гармоник ? Это что за зверь?

Отрезок сигнала ограниченый во времени разлагается в ряд Фурье.
Можно было бы в интеграл Фурье, но это практически нереально для дискретного представления (после дискретизации)
В любом случае ДПФ - это дискретный аналог ряда Фурье, а не интеграла Фурье. И в этом ряде дискретный набор частот.
Если Вы имели в виду, что в ДПФ нет непрерывных промежуточных частот, то ответ состоит в том, что Фурье и Котельников не виноваты, просто мы практически используем не идеальный инструментарий. Он не негодный - мы собираем реально в каждый спектральный отсчет вклад от всех частот каждого частотного бина, т.е. с некоторым разрешением оцениваем интеграл Фурье, который следовало бы строго говоря считать физическим спектром

Философия значит заключается в обмане наивных студентов. Гуд. Помнится Вы их бакланами называли


Вы что, совсем с математикой не дружите? Операция деления на ноль даёт бесконечность. И эта операция любимое действие математиков. Не вижу проблемы. Мощность сигнала на бесконечном отрезке времени - бесконечна. Ну или дважды бесконечна, или трижды. А что такого?


Это нечто по мотивам "добротность прямоугольного фильтра НЧ"
"Проблема неортогональности спектральных составляющих сигнала" - так лучше?
И дело не в инструментарии. Дело в процессе дискретизации (временнОй). Именно он нарушает ортогональность в конечном кол-ве отсчётов. Да и в бесконечном тоже. Именно он не позволяет измерять точно спектр двух и более синусоид в сигнале. Я склонен обвинять того, кто ввёл дискретизацию сигнала с обещаниями (доказательствами) об отсутствии потерь информации в процессе дискретизации. Когда говорят, что нет потерь, то это значит, что можно по дискретным отсчётам вычислить точные характеристики сигнала. А это сделать невозможно даже при нулевом джиттере, нулевом шуме и бесконечной амплитудной дискретизации. И любых прочих особенностях реалий. Невозможно чисто с математической точки зрения.

Сообщение отредактировал GetSmart - Jan 21 2009, 16:20

Деление на ноль, насколько я помню, в математике не определено. Можно вычислить предел отношения константы к величине, стремящейся к нулю- т.е. по определению, бесконечно малой. И этот предел получается бесконечно большим. Или раскрыть неопределенность- одна бесконечно малая(большая) на другую. Если её можно раскрыть в каждом конкретном случае.


Так ведь Котельников не утверждал, что физически реализуемыми средствами можно восстановить сигнал абсолютно точно. Нет такого. Как раз наоборот.

Не надо ничего нового придумывать. Синус удовлетворяет условиям интегрируемости.

Wikipedia:

Преобразование Фурье синуса является дельта-функцией. Это позволяет более удобно и математически строго формулировать различные задачи, связанные с преобразованием Фурье, которые очень многочисленны: волновая оптика, акустика, теория колебаний.

Сообщение отредактировал andran25 - Jan 21 2009, 18:57

Эта проблема никаким боком не касается ТК. Это проблема тех инженеров , которые хотят при помощи ТК точно вычислить спектры двух компонент исходного сигнала, которые не обязаны быть ортогональными , но это же и не мешает вычислять их общий спектр.

Теорема обещает восстановить сигнал как функцию времени и ничего более. Точные характеристики в отношении исходных компонент - не задача ТК и не "бонус" от ТК.
то имеют ввиду восстановленный сигнал , а спектр извините , извратили в теореме, искусственно размножив периодически по частоте, с благородной целью получения коэффициентов для ряда Котельникова.
Руки прочь от Анжелы Девис!

А-а-а наших бьют Руки прочь!
Причём тут размножив? Обсуждает только спектр, ограниченный в диапазоне -Fв/2..+Fв/2. Что там внутри размножено? Опять отсебятина.

Я говорю о том, что в конечном множестве отсчётов сигнала могут быть кратные частоты, которые полностью ортогональны друг другу. "Элитные" частоты. А вот все другие, промежуточные частоты неортогональны друг к другу и меняя например амплитуду одной частоты в исходном сигнале, как ни странно, но будет немного меняться характеристика совсем другой частоты вычисленная по дискретным отсчётам. Другими словами, когда кто-либо измеряет очень точно какую-либо частоту в дискретизированном сигнале (любым методом, например пропуская через узкополосный фильтр или через ДПФ), то при наличии второй частоты результат получится недостоверным. Разумеется, чем выше амплитуда второй частоты (помехи), тем более недостоверный будет результат. Особенно умиляет, когда некоторые верят, что достаточно приложить к обработке дискретных отсчётов чуть больше математики и тем самым можно увеличить точность результата. Корни этого как раз идут из ТК, которая утверждает, что по дискретным отсчётам характеристики сигнала (с ограниченным спектром) передаются без потерь. Сказали бы честно, что дискретизация вносит потери. И никто бы не пытался изобрести "вечный двигатель"

Сообщение отредактировал GetSmart - Jan 22 2009, 06:02