Столкнулся с интересным алгоритмом. y = (x * (x+1) / 2 ) mod N (N - степень двойки) дает взаимно однозначное преобразование x[0...N-1] в y[0...N-1]. Собственно задача: имея y найти х. Табличный метод не предлагать - у меня x имеет 24 бита.
На всякий случай привожу таблицу для N = 2^8:Возможно, это какое-то общеизвестное преобразование, но моих знаний не хватает.

P.S. добавил таблицу x(y)

Сообщение отредактировал Сергей Борщ - Mar 31 2009, 19:03

2y = x(x+1) mod 2N

пусть на к-м шаге известны k-1 младших бит x

Тогда

x = a * 2^(k+1) + b * 2^k + c, где a = неизвестное целое, b - неизвестный бит, c - известное целое меньшее 2^k

x(x+1) = d*2^(k+1) + b*2^k + c(c+1)

Отсюда b есть k-й бит 2y - с(с+1)

Пожалуй примерно так.

PS Кроме случая k == 0 где всего два варианта младшнго значения бита

Чего-то я никак не могу понять связи между этими уравнениями. Я правильно понимаю, что с - это k-1 младших бит x? Не могли бы вы изложить это более подробно, для особо одаренных? Если можно, то на примере любого числа для N=2^4:

вроде получается так:

2*y = x*(x+1) mod 2*N = x*(x+1)mod 2^(k+1), N = 2^k

В общем случае это означает, что:

2*y = x*(x+1) - ЦелаяЧасть[ (x*(x+1))/(2^(k+1)) ] * 2^(k+1);

Обозначим ЦелаяЧасть[ (x*(x+1))/(2^(k+1)) ] = n , n = 0, 1, 2 ...

2*y = x*(x+1) - n*2^(k+1);

x^2 + x - 2*(n*2^k + y);

x = [-1 + sqrt(1 + 8*(n*2^k + y)) ] / 2 (второй корень, где -1 - sqrt() отбрасываем, т.к. интересуют x > 0)

т.о. нахождение х следующее:
1. Ищем такое минимальное n, при котором корень будет целым числом.
2. Считаем х.

Пример N = 2^4 = 16, n_max = 7

x = 0, 1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15
y = 0, 1, 3, 6, 10, 15, 5, 12, 4, 13, 7, 2, 14, 11, 9, 8

Итак, y = 10,
1) n = 0, x = [-1 + sqrt(1 + 8*(0*16 + 10)) ] / 2 = [-1 + 9] / 2 = 4

y = 13
1) n = 0, x = [-1 + sqrt(1 + 8*(0*16 + 13)) ] / 2 = [-1 + sqrt(105) ] / 2; sqrt(105) - не целое
2) n =1, x = [-1 + sqrt(1 + 8*(1*16 + 13)) ] / 2 = [-1 + sqrt(233) ] / 2; sqrt(233) - не целое
3) n =2, x = [-1 + sqrt(1 + 8*(2*16 + 13)) ] / 2 = [-1 + sqrt(361) ] / 2 = [-1 + 19]/2 = 9;

y = 8
1) n = 0, x = [-1 + sqrt(1 + 8*(0*16 + 8)) ] / 2 = [-1 + sqrt(65) ] / 2; sqrt(65) - не целое
2) n =1, x = [-1 + sqrt(1 + 8*(1*16 + 8)) ] / 2 = [-1 + sqrt(193) ] / 2; sqrt(193) - не целое
3) n =2, x = [-1 + sqrt(1 + 8*(2*16 + 8)) ] / 2 = [-1 + sqrt(321) ] / 2; sqrt(321) - не целое
4) n =3, x = [-1 + sqrt(1 + 8*(3*16 + 8)) ] / 2 = [-1 + sqrt(449) ] / 2; sqrt(449) - не целое
5) n =4, x = [-1 + sqrt(1 + 8*(4*16 + 8)) ] / 2 = [-1 + sqrt(577) ] / 2; sqrt(577) - не целое
6) n =5, x = [-1 + sqrt(1 + 8*(5*16 + 8)) ] / 2 = [-1 + sqrt(705) ] / 2; sqrt(705) - не целое
7) n =6, x = [-1 + sqrt(1 + 8*(6*16 + 8)) ] / 2 = [-1 + sqrt(833) ] / 2; sqrt(833) - не целое
8) n =7, x = [-1 + sqrt(1 + 8*(7*16 + 8)) ] / 2 = [-1 + sqrt(961) ] / 2 = [-1 + 31]/2 = 15

Щас сумничаю..
Чето мне подсказывает про поля Галуа
Ссылу дал от балды, лучше в учебниках поискать

Аналогично :)

Читать про квадратичные вычеты, китайскую теорему об остатках и т. п.

Угу. Насколько я ничего не понимаю, это поле Галуа с определяющим полиномом X^2+X+1. X - к-кортеж (N=2^k). Фактически это задача нахождения индекса элемента в поле. 

Алгоритм в целом правильный. Но для x=2^24-1 придется искать корень 2^24-1 число раз. Перебором будет проще и быстрее.

ReAl на сахаре попытался решить уравнение x = [-1 + sqrt(1 + 8*(n*2^k + y)) ] / 2 аналитически. Очевидно, что подкоренное выражение должно быть квадратом. Поскольку присутствует деление на 2 и -1, то квадратом нечетного числа, или числом вида (2m + 1)^2. Подстановка под корень этого выражения дает тождество x=m. Попытка решения уравнения 1+8(n*2^k + y) = (2m+1)^2 приводит к исходному уравнению:

1+8(n*2^k + y) = 4m^2+4m+1
8(n*2^k + y) = 4m^2+4m
2(n*2^k + y) = m^2+m
2(n*2^k + y) = m(m+1)
n*2^k + y = m(m+1)/2
Круг замкнулся.

Вчера мне пришел в голову более простой алгоритм: элементы этого поля представляют собой суммы членов арифметической прогрессии. Т.е. x[n] = (x[n-1]+x) mod 2^k. То есть вычитая из y по модулю 2^k числа x = 1,2,3... до получения 0 мы находим х за максимум 2^k - 1 вычитаний. Ну или восстанавливая последовательность x суммированием последовательности 1,2,3... по модулю 2^k до совпадения результата с y, что то же яйцо, только в профиль.

Но должен же быть какой-то алгоритм побитового восстановления, вроде деления полиномов!

Я бросил вашу задачку на форум мехмата НГУ (Новосибирск), а именно в раздел " Алгебра, логика, теория чисел и теория алгоритмов"

http://www.nsu.ru/phpBB/viewtopic.php?t=19...a7a4057847d2d69
там одно решение предложили, но я не проверял - гляньте

+ еще дал задачку ряду друзей с мех-матовским образованием, но у них специализация не та несколько. в общем пока решения быстрого нет

для себя я прикинул две "проекции" - как мне видится сама эта задача (чисто для понимания)
1) компьютерно-низкоуровневый: при выполнении операций x*(x+1)/2 на 24-битном модуле происходит wrap-around и результат записывается "как есть" - это тот самый y.
2) графический - строим график функции x(x+1)/2, где x - целые в заданном диапазоне. до 2^24 все "как обычно", а дальше мы из ответа начинаем вычитать 2^24 стоолько раз сколько надо чтобы остаток не превышал 2^24. Получится "страшная" пила какая-то. При первом взгляде в Матлабе я подумал, что какая нах тут однозначность, но оказалось что так и есть.

повторяю - эти "проекции" я привел только для того чтобы показать как можно образно представить саму задачу. может это на какую-то мысль натолкнет

по идее там решается квадратное уравнение, но нужно подобрать параметр под корнем (в дискриминанте), так 1) чтобы корень извлекался 2) чтобы это число было нечетное (т.к. общее решение должно быть целое, а там стоит 1/2)

Приведенный там алгоритм работает! Спасибо! в нем получается в худшем случае всего k - 1 умножений (N=2^k).

На самом деле Вам Oldring в первом же ответе дал правильный алгоритм


с это k-1 уже найденых бит

x(x+1) = (a * 2^(k+1) + b * 2^k + c)(a * 2^(k+1) + b * 2^k + c +1)=.....=
= d*2^(k+1) + b*2^k + c(c+1)
где d это сумма коэф. для степеней 2^(k+1) и она нас не интересует тк мы ищем k бит

Позвольте спросить, а где такой алгоритм живет? Ноги откуда растут?

В канале связи. Видимо шифрование.

Я так и подумал Хотя я полный чайник в этих вопросах, но алгоритм показался как раз "по теме"
Я попросил еще человека с того форума НГУ ответить - на чем базируется решение. Просто "голова умная" у человека (по видимому, всяко не без этого ) или еще какие-то "методы" есть из соответствующего раздела

P.S. Самому разбираться - интересно, но времени нет. Книжки по теории чисел и по абстрактной алгебре есть и много, но все пока никак времени нет

Сообщение отредактировал mikeT - Apr 2 2009, 13:36

Не, наврал...
неправильный алгоритм у Oldring...
но очень похож на правду, там где-то апшыбка

кстати младший бит x определяется однозначно из значения 'y' за пару операций.

угу. За одну. x0 = y & 1;