Согласно школьному курсу физики, свечение в неоновой лампе вызывается электрическим разрядом, то есть электрическим током, протекающем от одного электрода к другому в среде неона или других инертных газов. Какая электрическая цепь имеет место быть при работе неоновой лампочки в простейшей индикаторной отвертке?

Фаза - неонка - отвёртка - тело человека - земля
Можно вместо отвёртки тыкать одной ногой неонки, а другую через резистор ~1MОм держать в руке - тот же эффект

А у меня резиновая подошва и линолеум. Светится. Откуда земля?

Емкость тела относительно земли. Более чем достаточно для свечения индикатора.

То есть, если индикаторной отверткой коснуться постоянного напряжения - индикаторная отвертка рано или поздно погаснет?

Да, если нет заметной утечки по DC - погаснет обязательно.

Иногда не гаснет из-за наводок переменного напряжения на человека