"Частота дискретизации сигнала равна 44100 Гц. Размер БПФ равен 4096. Продолжительность сигнала из 4096 точек при данной частоте дискретиза-ции составляет 0.0929 секунды. Период первой синусоиды равен 4096 точкам, что по времени состав-ляет примерно 0.0929 секунды. Значит, частота первой синусоиды будет 10.77 Гц. Частота второй будет 21.53 Гц. И так далее."
а если частота сигнала, ну скажем, равна 15Гц, то как это отразится на преобразовании Фурье? разрешения по частоте не хватит для выявления этой частоты или же составляющая на этой частоте преобразованием будет определена. Помогите решить данный вопрос

Составляющая будет размазана, так как на интервал анализа не укладывается целое количество периодов сигнала. Для борьбы с размазываением необходимо использовать оконные функции. Точность оценки частоты по спектру можно попытаться повысить квадратичной аппроксимацией вершины спектра после оконного сглаживания.

Думаю будет что-то типа такого

Этот вопрос был детально изучен в классической статье
Впервые была дана оценка предельной точности измерений параметров (комплексной) синусоиды и предложен алгоритм их измерения, достигающий этих пределов

Single-Tone parameter estimation from Discret-Time observations

Если я правильно Вас понял, то 1) при частоте сигнала 21,53 Гц в БПФ будет составляющая сигнала, но на частоте 13,77 и 31,29 коэффициенты БПФ или спектр будут равны 0.
2) Если частота сигнала 13Гц составляющая будет "размазана" среди близлежащий отсчетов 10,77 21,53 или на близлежайщих отсчетах частот возле нее.

немного покопавшись в интеренете, нашел:
http://www.chipnews.ru/html.cgi/arhiv/03_05/5.htm
пример поясняет, что будет при недостатке N-количества отсчетов в БПФ.

Видимо для частоты в 44100 Гц, потребуется 440 тыс. отсчетов?

Появились другие вопры по БПФ:
1) скажем возьмем 1024 отсчета, период сигнала 10 отсчетов, количество периодов можно сосчитать в уме. в реальных системах частота сигнала не статична - меняется в зависимости от внешних условий. На генераторе выставили 16Гц, пока она дошла по "проводам" изменилась в предалах +/- 1 Гц. Чего со спектром будет?
второй вопрос
2) о спектре сигнала говорят после прохождения всего цикла БПФ, или шести-десяти полных периодов сигнала?
3) при Fd=50кГц БПФ применимо для частот от 0-25кГц. На АЦП при такой частоте дискретизации за 1с приходит 50к значений сигнала. Сколько необходимо Nотсчетов в БПФ при частоте сигнала 10Гц и частоте 5кГц?

Сообщение отредактировал Sneg_87 - Dec 15 2009, 20:15

Привет.
1.Очень советую написать самому програмку с графическим выводом и попробовать.
2.Или разобраться с Матлабом и попробовать.
3.Или попробовать на странице http://www.fourier-series.com/
Вообще БПФ = чистая математика и сильно отличается от бытовых представлений об частотах спектрах итд.

Не особенно. В этом смысле и дискретный сигнал сильно отличается от непрерывного.
ДПФ (БПФ это реализация ДПФ) - это дискретизация непрерывного физического спектра взятого с функцией окна. Дискретные отсчеты свертки физического спектра с функцией окна в спектральной области. Если окно не применяется, то вставится прямоугольное окно (спектральные sin(x)/x) помимо нашего желания.

Поэтому каждый отсчет ДПФ для непрерывного спектра формируется суммой от всех частот, но с весом от функции окна. Функция окна быстро затухает по разности частот. А значит каждый отсчет ДПФ преобразования формируется непрерывным физическим спектром Фурье только от близких частот к данному бину . Ситуация ничем не отличается от той которая возникнет, если поставить банк узкополостных фильтров на соответствующих бинах ДПФ. Но ДПФ ещё и обладает полезными математическими свойствами. Спектральное разрешение в этих случаях непрерывного спектра сигнала всегда будет определяться шириной функции окна, которая в спектральной области в соответствии с критерием "неопределённости" Рэлея будет 1/N (или 1/T в размерных единицах)

Если мы знаем, что комплексная синусоида вообще одна на фоне шума - то в ДПФ мы в точности имеем отдискретизированую в спектральной области функцию окна, центрированую на частоте синусоиды. Поэтому всегда, независимо от того пападает ли частота кратно на бины ДПФ, мы можем увидев эту функцию окна в полученом ДПФ, провести интерполяцию и найти частоту, амплитуду и фазу этой синусоиды. Причем Райф и Бурстин доказали, что в случае одиночной синусоиды наибольшую точность даёт прямоугольное (т.е. никакое) окно. Они же предложили проводить интерполяцию посредством добавления нулей в данные и квадратичной интерполяцией в окрестности максимума.

Если спект линейчатый и гармоники находятся далеко друг от друга, эта же методика позволяет получать очень точные оценки этих синусоид, но с применением функций окон, изолирующих эти линии в спектре.Если на каждую линию спектра поставить функцию окна с соответствующей амплитудой и просумировать, то это то что мы получим в ДПФ и мы снова сможем проводить интерполяцию в том случае, если эти оконные отклики перекрываются слабо.

Походу интерполяция добавлением нулей и подгонки параболы фиттингом - не единственый способ интерполяции спектра вблизи максимума спектральной линии. Есть методы производящие "внутреннюю интерполяцию", без всякого добавления нулей. Вот как это всё выглядит в Матлабе

http://home.comcast.net/~kootsoop/EricJ2/index.htm
Лучший из них не очень давно предложен в работе МакЛеода (не путать с горцем Маклаудом и не размахивать здесь саблей!)

Лучший из них не очень давно предложен в работе МакЛеода (не путать с горцем Маклаудом и не размахивать здесь саблей!)

Спасибо за МакЛеода. А нет ли у Вас [24] из него. Я делаю сейчас прибор с применением похожего принципа(чистая отсебятина, но работает) , мне иинтересно.

Quinn II

Приятно читать матерого математика. Если бы прочел раньше - ничего бы не сделал, а теперь свои алгоритмы есть и к процессору адаптированы. Может выложите [1] из Quinn II.(Это последняя просьба). Еще мне интересно в каких приборах все эти алгоритмы применяются и зачем Кьюин на свой европатент получил. А можно ли по патенту определить где его применили?

Везде для синхронизации несущей в связи.
Голая несущая или модулированый сигнал после нелинейного преобразования - это комплексная экспонента в шуме.
Её, конечно, можно захватить ФАПЧ, но это во-первых долго, а во-вторых - не оптимально по отношению к шумам, поскольку нужно для захвата расширять шумовую полосу, а для штатной работы - сужать. Значительно эффективней быстро измерить частоту и фазу оптимальным feed forward методом, а потом уже запустить узкополосный ФАПЧ без частотной и фазовой расстройки. Для burst модемов TDMA, когда несущая меняется на каждом фрейме - это вообще единственный способ захвата несущей по преамбуле, никакой ФАПЧ не поможет
Только совершенно всё равно не понятно, как Quinn собирался узнать какой модем использует его вычислительный метод при синхронизации. Видимо wishfull thinking, вдруг кто сам заплатит
Quinn-I

А если что-нибудь новое создать или много лучше старого. Можно своим именем назвать или надо регистрировать?

Не, по традиции имя посерёдке вставляют: Жан Батист Жозеф Кули Тьюки Виноград Темпертон Фурье. Добавьте ближе к концу...
Кстати, имя изобретателя китайской теоремы об остатках не вставили, забыли :)

Замечательно. Еще Шопенгауэр придумал (ЭРИСТИКА, ИЛИ ИСКУССТВО ПОБЕЖДАТЬ В СПОРАХ). Обязательно воспользуюсь. С китайцами действительно непонятки.