не могу до конца понять смысл преобразования лапласа. все эти преобразования от действительного аргумента к комплексному и обратно - обычные математические действия. не могу понять что за ними стоит с точки зрения физики. сколько справочников и учебников ни смотрел - везде что-тго типа: есть такой-то интеграл - обзавём его изображением и т. д. хотелось бы на примере какой-нибудь простой задачки прочевствовать его суть.

Умный в гору не пойдет, умный гору обойдет. Давно поняли, как проще решать, так и решают. Зачем излишне умничать, если результат один, а времени отводимого на решение столько же.

за тем, что некоторые берут формулы из справочника, подставляют в них цифры и решают, а таким *** как я интересно откуда эти формулы и почему именно так, а не иначе.

P.S. это не лабораторная работа и не контрольная. передо мной не стоит цели сдать и отделаться. поэтому я и не считаю себя "умным" и не хочу "обходить гору". я просто хочу разобраться в том, чего до конца не понимаю.

кое-что уже дошло. хотя, не знаю - может быть я ошибаюсь.
ещё я терпеть не могу пижонство, типа: "А Вы теорию линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами изучали?". да, изучал. многое уже не помню. точнее, помню очень немногое. и что? если есть что ответить - отвечайте, если нечего - не нужно тыкать что я чего-то не знаю. именно потому что я что-то не знаю - я захожу на форум и задаю здесь вопрос. очень рад за ваши знания в теории дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентыми.

Сообщение отредактировал srm - Jan 24 2010, 18:39

Смысл преобразования Лапласа - переход от решения дифуравнения к решению алгебраической задачи.

Вот вам ещё один пример для понимания. Простой контур - R, L и C соединённые последовательно. Найти частоту свободных колебаний.

Решение. Напишем уравнение для контурного тока I(p)==i(t). RI+pLI-I/pC=0. Имеем R+pL-1/pC=0, отсюда LCp^2+RCp-1=0. Решение квадратного уравнения по теореме Виета p=sqrt(1/LC+(R/2L)^2)-R/2L=w. Теперь попробуйте решить диффур напрямую.

Суть любого преобразования - в переходе в другую систему координат. Лаплас удачно выбрал преобразование, которое при переходе в свою систему давало замену производной на умножение, интегрирования на деление. При этом дифуры переходят в обычные алгебраические уравнения. Его ученик Фурье слегка модифицировал преобразование Лапласа, в итоге получили преобразование Фурье, которое переводит временную ось, на которой нанесена равномерная насечка, в пространство, где базисом являются переодические функции. В итоге оказалось, что удобно использовать преобразование Фурье для частотного анализа.

Так в теории, все в общем-то понятно. И на практике понятно: была формула с логарифмами и всякими там e^x, перевели в лапласа, и только и делай что умножай да складывай за квант времени.

=GM= kamil yaminov вопрос не в этом. это вы о математике.

Можно попробовать объяснить преобразование Лапласа на пальцах, если вспомнить интеграл Дюамеля-Карсона (если не вру). Для начала достаточно взять преобразование от единичной ступеньки, которую подали (допустим на вход схемы) в момент времени T - получим образ exp(-pT). Тогда интеграл Лапласа есть ни что иное как разложение сигнала по ступенькам (см. рис.)
Говоря математическим языком, взяв преобразоавание от функции 1(t), мы получили базисную функцию пространства, куда преобразует Лаплас, поэтому можно сказать что разложение по экспоненте в пространстве Лапласа, есть разложение по ступенькам во временном пространстве. Что очень удобно, ибо фурье позволяет работать только с периодическими сигналами, но кроме периодических процессов имеются процессы коммутации. В экспоненте p - комплексное число, мнимая часть отвечает за колебания, а действительная - за всякие скачки. Вот что я надумал. Надеюсь изложил просто и ясно.

Передаточная функция в операторной форме будет выглядеть несколько иначе.
Передаточная функция будет K(p) = (R*p*C)/(R*p*C + 1)

Сопротивление конденсатора в операторной форме - это 1/(p*C)
Сопротивление резистора в операторной форме - это R

Сопротивление любого элемента в операторной форме получается из ОТНОШЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ напряжения к току
Z(p) = U(p)/I(p)
У конденсатора, как в Вашем примере, напряжение = int(ток(t) dt)
Исходя из того, что интегрирование в операторной форме - это умножение изображения на (1/p),
можно легко вывести сопротивление конденсатора в операторной форме,
это будет Zc = 1/(p*C).

У меня в общем понимание схожее, но как оно до конца работает, как-то не понятно.

Посмотрите этот документ. По-моему, написано достаточно наглядно и понятно!

http://www.dspguide.com/CH32.PDF

вобщем-то всё достаточно просто плучается. разложение в преобразовании лапласа идёт не по синусам, а по э-синусоидам, что и даёт комплексное сопротивление для конденсатора и катушки, аналогичное преобразованию фурье + учитывает начальные условия за счёт экспоненты. вобщем вот, довольно хорошая статья - в ней про операторный метод хорошо описано.

http://model.exponenta.ru/bt/bt_001124.html


Когда ж переходят к научной теме,
им рамки русского узки;
с Тифлисской Казанская академия
переписывается по-французски.

(С) Маяковский.

Сообщение отредактировал srm - Jan 25 2010, 15:48

Как я понимаю, действительная часть - логарифмический декремент затухания, а мнимая - частота этих колебаний. Это из того, что при частотном анализе комплексная переменная s = b +jw, заменяется на jw.