Так какой же все-таки выбрать материал? И можно ли включать схему с одной обмоткой и ключом, что это изменит? Какой использовать управляющий транзистор, желательно со встроенным диодом?

Это уже другой вопрос, другая тема. Стартовая по расчету витков - исчерпана.
А что такое трансформатор вообще, закон Ома, ток намагничивания, петля гистерезиса - другие темы.

Что скажете по поводу тактовой частоты 6.5 мГц? На плате есть такой сигнал. Можно его использовать для управления ключом трансформатора? Обычно используется две обмотки и два ключа (не знаю какая схема как называется), можно ли одним обойтись и на такой частоте?

Я несколько в стороне от питальников, но мегагерцы - это уже перебор.