про Фурье

Не могу провести аналогию между дискретным и непрерывным преобразованием Фурье. В случае непрерывного преобразования, мы получаем зависимость амплитуды и фазы гармонических функций, через которые мы представляем нашу временную функцию, от частоты.
В случае если мы имеем дискретный сигнал, то преобразование Фурье от последовательности X(nT) n=0,N-1 будет тоже последовательность имеющая столько же элементов, только комплексных X*(kw) n=0,N-1 где w=2*pi/(N-1)*T частота первой гармоники.
Так вот, если в случае с непрерывной функцией физический смысл модуля Фурье преобразования - это амплитуды гармонических функций, на которые мы раскладываем наш аналоговый сигнал, то что за смысл за компонентами последовательности X*(kw) в дискретном случае - не понятно.

про фильтры
Вопрос собственно аналогичный

Если сигнал непрерывный - частотные составляющие сигнала гармонические функции на которые мы раскладываем сигнал. Если входной сигнал дискретный - как понять что такое частотные составляющие дискретного сигнала?

Сообщение отредактировал AlexHoppus - Oct 28 2010, 22:14

Не пойму в чём вопрос собсно. Если речь о бесконечной дискретной последовательности, то икс знает. А если об ограниченной, то ==> дискретный спектр = спектр ограниченного множества частот. Грубо говоря, действительные/вещественные частоты округляются до ближайших в множестве дискретных, при этом слегка искажается фаза и амплитуда (в ДПФ).

Все немного проще:
Нет большой разницы между дискретным и непрерывным ПФ.
В обоих случаях вычисляется свертка (интеграл произведения) двух функций, одна из которых - преобразуемый сигнал, а другая - набор различных sin и cos. Естественно, в дискретном случае интегрирование подменяется суммированием.

То, о чем пишите вы - это 2 формы представления ПФ: тригонометрическая (sin, cos, действительные коэффициенты) и комплексная (комплексная экспонента, формула Эйлера). Оба представления тождественны и применимы как к дискретному, так и к непрерывному ПФ.

Действительные части комплексных коэффициентов соответсвуют амплитудам при косинусах, мнимые - при синусах.
В математических справочниках все эти формулы есть, хотя имеются разногласия по нормированию.

Комплексная форма несколько "интуитивнее" для первого и последнего членов разложения.
Кроме того, комплексную форму проще применить для многомерного ПФ.

По ПХ: откуда цитатка? Откажитесь от этого источника без сожаления.

ПХ есть реакция объекта на входное воздействие вида Y(t) = { 0, t<0; 1, t>=0 } (функция Хевисайда, "ступенька"),
иначе говоря переходный процесс.

ПХ, ЧХ, и ФХ связаны между собой (преобразованием Лапласа), но не следует их путать.

Обычно ЧХ и ФХ используют для анализа реакции на периодический сигнал, а ПХ - на непериодический.
Но ничто не запрещает рассматривать синусоиду как последовательность "ступенек" и применять для ее анализа ПХ.

что такое частотные составляющие дискретного сигнала?
Ну представьте себе, что вам вместо 1кг огурцов продали 1кг бананов. На весовом уровне абстракции они эквивалентны, на вкусовом - не вполне, на стоимостном...
Вот так и дискретные сигналы могут обладать отдельными абстрактными свойствами аналоговых, воспроизводимых ими.

timm
Что-то про бананы не понял...
Правильно ли я понимаю: у нас есть сигнал непрерывный, мы его квантуем и теряем как бы часть информации о нем. Если переведем наши квантованные отсчеты сигнала в область частот (возьмем дискретное преобразование Фурье), то получим как бы амплитуды гармоник, по которым с некоторой степенью искаженности (ну мы потеряли же часть информации при квантовании) можно восстановить сигнал. Это верно?

Вот я приложил АЧХ ЦФ. Я эту характеристику могу понять как АЧХ аналогового фильтра. Из АЧХ видно, что он усиливает до некоторой частоты w0, потом идет подавление сигнала. В аналоговом фильтре все понятно - мы раскладываем входной сигнал в ряд Фурье и видим, какие гармоники как подавляются нашими фильтром. Но в цифровом фильтре входной сигнал - последовательность дискретных значений, как понять то какие значения будут подавляться а какие нет например?

Сообщение отредактировал AlexHoppus - Oct 29 2010, 17:07

Непрерывный сигнал имеет спектр, показывающий, сколько синусоидальных составляющих разных частот и амплитуд в нем содержится. Если сигнал периодический, например, "пила", его спектр состоит из определенного набора гармоник fo, 2fo, 3fo... Частота fo соответствует периоду повторения сигнала. Понятно, что это - синус. Остальные гармоники и делают из этого синуса "пилу", например.

Для преобразования в цифровую форму сигнал дискретизируется (по времени) и квантуется (по амплитуде). Частота дискретизации должна быть такой, чтобы не потерять информацию о всех интересующих нас составляющий спектра сигнала, до какой-то степени точности. Допустим для "пилы" возьмем 8 гармоник, значит, нам нужно оцифровать сигнал с частотой fs > 16fo. [Теорема Котельникова, она же критерий Найквиста]. Количество разрядов квантования определяет, насколько точно дискретный сигнал соответствует непрерывному. Определяет "шум округления (квантования)".

Непрерывный сигнал может быть узкополосным, иметь спектральные составляющие в узком диапазоне частот. В таком случае частота дискретизации fs не обязана быть вдвое выше максимальной спектральной составляющей сигнала. Она должна быть вдвое выше полосы сигнала. (Она даже может быть ниже центральной частоты сигнала, fc).

Так получается дискретный сигнал, состоящий из последовательности отсчетов. Спектр дискретного сигнала повторяет спектр непрерывного сигнала, из которого он получен. Только спектр этот повторяется с интервалом, равным частоте дискретизации: около 0, около fs, около 2fs, 3fs... [Из этого свойства, собственно, и вытекает требование теоремы Котельникова]. (АЧХ цифрового фильтра имеет такое же свойство периодичности.)

С помощью ДПФ вычисляются составляющие этого спектра. Так так сигнал дискретный, в формуле преобразования Фурье вместо интегрирования используется суммирование. Чем больше отсчетов сигнала мы будем использовать в расчетах, тем больше спектральных составляющих сигнала мы вычислим. (Все они расположены в пределах одного из участков упомянутого выше повторяющегося спектра, в других участках - такие же спектральные составляющие).

Быстрое преобразование Фурье - то же самое, что и ДПФ, только в нем для параллельного вычисления спектральных составляющий используются математические "хитрости".

Если повезет, и частота дискретизации fs будет кратна частоте сигнала fo, спектральные составляющие будут вычислены точно (с точностью, определяемой шумами квантования). Но, так как обычно, эти частоты не связаны, возникают ошибки при ДПФ - утечка спектра (из одной составляющей вычисленного спектра в другие). Для борьбы с утечкой спектра используются "окна".

Вот у меня по этому пунктику вопрос. Может просветите? Я не могу понять философию ДПФ по моему поводу.
Проблема вот в чем - есть 50Гц сигнал с гармониками, т.е 100,150,200 и т.д. Этот сигнал оцифровывается с частотой 50кГц и 16-бит и подается на вход 1024 точечного 16-ти битного ДПФ. Причем частота сэмплирования ДПФ выбрана таким образом, чтобы эти 1024 точки четко выбирались за 1 период 50-герцового сигнала.
Так вот, если на вход подать сигнал, имеющий, допустим, составляющие амплитудой 50-гц - 1000ед, 100гц - 30ед, и (главное) 300гц - 2ед(2LSB) и 350гц - 1LSB, а все остальное до 2500гц - нули, то ДПФ успешно выделяет гармоники 50 и 100Гц, причем точно, до 1LSB.
Но гармоники 300 и 350Гц - впрочем, как и другие, нулевые имеют или амплитуду в 3LSB или ноль.
Я думал, сначала, что это шум квантования, но прикол в том, что если тот-же уже оцифрованный сигнал просто усилить в 10 раз, то ДПФ начинает работать правильно и выделяет даже те гармоники с маленькими амплитудами. А фон так и остается в 3LSB.
Есть этому объяснение?

Скорее всего, у Вас недостаточная точность расчета синусов/косинусов. Если Вы повышаете сигнал, то это начинает сказываться меньше. Считайте в большем количестве разрядов.

Елки-палки, молодежь, ну вы когда хотя бы грамотно по русски-то выражать свои мысли начнете?
Что значит "50Гц сигнал с гармониками"? Я так понимаю, вы имеете некий короткий сигнал, который повторяется через каждые 20мС. Тогда какова ширина спектра этого сигнала и, вообще, что это за сигнал? Может у него уровень гармоник на частоте 300Гц и 350Гц действительно очень мал? И как вы определили уровень "фона" и что он собой представлял?

И, кстати, выражение "частота сэмплирования", мягко говоря, не общепринятое в русскоязычных источниках.

Это периодический сигнал, который имеет фундаментальную составляющую 50гц и высшие гармоники. В моем случае это измерения переменного тока в электрической сети.
В данном случае сигнал не измеряется а генерируется простым суммированием синусов с определенными амплитудами, частотами и фазами. Т.е. спектр ограничен максимальной частотой синуса.

А-а, тогда понятно, теорема Котельникова с лихвой выполнена и растекания спектра нет. Но только, что вы все-таки, понимаете под "фоном"? Вы намешиваете туда еще и шум, или просто чистые гармоники (т.е. как бы при бесконечном ОСШ)? Если вы мне ответите, то я просто посчитаю и смогу вам дать обоснованный ответ.