Цитата(igorchem @ Mar 3 2011, 04:52)
Если Вам необходимо найти оптимальные распределения точек для сплайн аппроксимации k-ой степени в l2 норме, можно поступить так:
вначале аппроксимируете Вашу функцию сплайном k+2 степени s_{k+2}(x).
Далее ищите разбиение x_0 < ... < x_i < ... < x_n так, чтобы
\int_{x_i}^{x_{i+1}} \left(\frac{\delta^{k+1} s_{k+2}(x)}{\delta x^{k+1}}\right)^{\frac1{k+1}} dx было одинакого на всех отрезках. Если запутаетесь или не сможете сами, постораюсь формулы выложить, но, очень надеюсь, что сами справитесь.
От себя хочу по самой задаче добавить. Кажется, если я правильно понял, есть желание аппроксимировать несколько (около 100) функций, у которых есть схожие формы, то есть вначале много осцилляций, в конце - все гладко и есть желание чуток поиграться с шумом.
Моя идея - запишите эти функции (n штук) вначале на очень мелкой кусочно-постоянной или кусочно линейной сетке, чтобы шаг такой сетки был существенно меньше минимальной осцилляции. У Вас будет n векторов, образуйте из них матрицу. Сделайте этой матрице сингулярное разложение и выбросьте все сингулярные вектора, сингулярные значения которых будут меньше точности оцифровки вашого сигнала. Примените то, что я описал к оставшимся левым сингулярным векторам. Есть большая уверенность, что после всего этого Вы сильно сожмете эти данные, распаковка их будет съедать только несколько операций на точку, да и шум Вы тоже погасите.
help polyfit
POLYFIT Fit polynomial to data.
P = POLYFIT(X,Y,N) finds the coefficients of a polynomial P(X) of
degree N that fits the data Y best in a least-squares sense. P is a
row vector of length N+1 containing the polynomial coefficients in
descending powers, P(1)*X^N + P(2)*X^(N-1) +...+ P(N)*X + P(N+1).
[P,S] = POLYFIT(X,Y,N) returns the polynomial coefficients P and a
structure S for use with POLYVAL to obtain error estimates for
predictions. S contains fields for the triangular factor ® from a QR
decomposition of the Vandermonde matrix of X, the degrees of freedom
(df), and the norm of the residuals (normr). If the data Y are random,
an estimate of the covariance matrix of P is (Rinv*Rinv')*normr^2/df,
where Rinv is the inverse of R.
[P,S,MU] = POLYFIT(X,Y,N) finds the coefficients of a polynomial in
XHAT = (X-MU(1))/MU(2) where MU(1) = MEAN(X) and MU(2) = STD(X). This
centering and scaling transformation improves the numerical properties
of both the polynomial and the fitting algorithm.
Warning messages result if N is >= length(X), if X has repeated, or
nearly repeated, points, or if X might need centering and scaling.
Class support for inputs X,Y:
float: double, single
See also poly, polyval, roots, lscov.
Апроксимация сплайнами, оптимизация размещения контрольных точек
Jan 26 2011, 00:51
