Здравствуйте, товарищи.
У меня возник вопрос по цифровым фильтрам.

Я строю полосовой фильтр:

Ну а в реализациях фильтра последняя функция возвращает значение нормализованного фильтра (частота среза = 1 Гц).
Так вот, я строил график и заметил, что график получается отнюдь не симметричным. В районе leftFrequency АЧХ взмывает вверх быстрее, чем в районе АЧХ убывает.
Приведу конкретный пример.
leftFrequency = 40 Гц.
rightFrequency = 1000 Гц.
G(leftFrequency+20) = 0.99; G(rightFrequency-20) = 0.62;
Непосредственные причины понятны: отношение 40/60 куда меньше 980/1000. В нормализации всё дело.

А вот как сделать правильную нормализацию, чтобы подъём и спад имели одинаковую крутизну на любых частотах?
Возможно, при этом нужно будет поменять тело getValue().

Сообщение отредактировал QuickNick - Jul 5 2011, 06:12

совершенно не возможно понять как строится фильтр и в чем вопрос...

В общем случае - в логарифмической шкале все будет хорошо у вас.

при расчете цифрового фильтра шкала частот преобразуется нелинейно через тангенс частоты (подробнее здесь). Кроме того аналоговый прототип, билинейное преобразование которого дает ваш цифровой фильтр также как правило не обладает симметричной АЧХ ввиду того что наиболее широкое распространение получили методы частотного преобразования ФНЧ - полосовой фильтр, которые также нелинейны. Существуют методы позволяющие получить симметричную АЧХ полосового фильтра, но при переходе к цифровому вы все равно исказите ось частот.

Фильтр полосовой, конструируется он следующим образом: даётся вид фильтра (Баттерворта, Чебышева), его порядок, левая и правая частота среза.


Если проведено преобразование Фурье, то, получается, z-преобразование не нужно, так?
Сейчас уточню вопрос.
Есть функция G(w) - АЧХ фильтра. В него подаём вещественную частоту. Как её нужно преобразовать?
Я читаю сейчас книгу Богнера и Константинидиса "Введение в цифровую фильтрацию". На странице 79 вижу таблицу преобразований, но они все применяются к комплексной переменной z - для дальнейшего использования в передаточной функции. А есть ли формулы преобразования именно вещественной частоты? Или как в этих формулах z заменить на w?
Если это невозможно, то тогда такой вопрос. После БПФ мы получаем массив - как я понял, в 2*i-й ячейке содержится действительное значение, в 2*i+1 - мнимое. Как, используя этот массив, можно перейти к z?

Сообщение отредактировал QuickNick - Jul 5 2011, 11:29

Причем тут вообще преобразование Фурье? Преобразованием Фурье можно расчитать КИХ фильтр, но никак не БИХ (хотя бы потому что у бих фильтра бесконечное количество отсчетов импульсной характеристики) Для расчета БИХ фильтра используют билинейное преобразование аналогового фильтра прототипа. Рекомендую книгу Лем Аналоговые и цифровые фильтры. Там все продробно и с примерами. Таблицы частотных преобразований существуют как для цифровых фильтров, так и для аналоговых, поэтому совершенно не важно как вы будете считать аналоговый фнч прототип - частотное преобразование аналогового фильтра - билинейное преобразование, или аналоговый фнч прототип - билинейное преобразование - частотное преобразование цифрового фильтра, если все правильно сделано результат совпадет.

Хочу только предостеречь, таблицы частотных преобразований для цифровых фильтров попадаются с ошибками, поскольку они громоздки (мне попадалось 2 книги где преобразование фнч-режекторный фильтр было с ошибкой), поэтому я предпочитаю при расчете делать преобразование аналогового прототипа и потом просто билинейное преобразование

И еще для расчета полосового фильтра знать левую и правую частоту среза недостаточно, необходимо задать полный коридор АЧХ или дополнительно к частотам среза задать порядок фильтра.

Сообщение отредактировал bahurin - Jul 5 2011, 17:42

У выбранных Вами фильтров есть понятие "порядок". И в зависимости от порядка крутизна вдали от частоты среза вполне определенная.
1-й порядок -> 6дБ/октаву
2-й порядок -> 12дБ/октаву
3-й порядок -> 18дБ/октаву итд.
А что Вы считаете крутизной? Нарисуйте желаемую характеристику. Учтите нулевая передача может быть только в нескольких отдельных точках, остальное нереализуемо!

Чувствую, что витаю очень близко от решения, но пока поймать его не могу.
Вот в этом билинейном преобразовании присутствует переменная s - какая-то комплексная частота. И её мы получаем преобразованием Лапласа. И тут я не могу понять вот что:
1)Преобразование Фурье должно нам возвращать функцию от частоты (вещественной).
2)Преобразование Лапласа возвращает нам функцию от частоты (комплексной).
3)Пишут, что двустороннее преобразование Лапласа эквивалентно преобразованию Фурье.
Но если они эквивалентны, то как в одном случае возвращается вещественная частота и в другом случае - комплексная?
И что это за зверь такой - комплексная частота? Читаю книги по ЦОС - никак не могу уразуметь, что это такое.
Пока догадка такая: если мы получили через БПФ спектр, то коэффициэнты spectre[2*i] == Re(s), а spectre[2*i+1] == Im(s). Так?


Я порядок фильтра задаю.


Не, не то.
Есть АЧХ нормализованных фильтров. И мне нужно, чтобы если у фильтра Баттерворта того же порядка мы изменили частоту среза, то сама форма АЧХ не изменилась, она просто бы переместилась вправо или влево.
А сейчас форма меняется: если частота среза 1, то выглядит как на рисунке. А если частота среза 100, то скорость убывания функции резко уменьшается.
Почему - выше уже описал.
В общих чертах метод частотных преобразований понял, вот только осталось разобраться с таким зверем как "комплексная частота s" и где её отковырять в БПФ.

--- Update ---
С билинейным преобразованием разобрался - что z=th(jwT/2).
И тогда такой вопрос. Z - это комплексная переменная. H(z) - функция комплексного переменного и возвращает комплексное значение.
Но ведь входной спектр X(w) и выходной спектр Y(w) - это у нас вещественные функции.
Как это так получается: Y(w) = X(w)*H(z(w)) - произведение комплексного числа на действительное даёт действительное?

Сообщение отредактировал QuickNick - Jul 6 2011, 10:10

Это пипец какой-то...
Ну почитайте же, наконец, книжки по цос... Про спектр, дпф и z-преобразование дискретных последовательностей. Или бросьте это дело вообще.

Т.е. если на 40Гц - 40Гц коэффициент передачи ноль, то на 1000Гц + 40Гц тоже должен быть ноль?
Так нет такого Чебышева и Баттерворта тоже. На всех частотах коэффициент больше нуля.
А какой коэффициент должен быть на 1041Гц, на 1042Гц?

Если на 40-10 коэффициэнт передачи 0.2, то и на 1000+10 коэффициэнт передачи 0.2.

Я здесь нашёл частотные преобразования, подставил их в формулу АЧХ - результаты стали гораздо лучше.
На рисунке, конечно, видно, что у нового фильтра АЧХ у левой частоты среза крутизна (модуль 1-й производной) больше, чем у правой частоты, но это приемлемо.

Есть несколько ограничивающих параметров:
1. Чем круче спады, тем длиннее переходной процесс. Кардиографы делают только с фильтрами Бесселя, длинные колебательные процессы после кадждого изменения уровня испортили бы всю диагностику. И цифровые фильтры с длительным переходным процессом делают пожалуй только любители чтобы их заметили. В большинстве случаев быстрота реагирования важнее.
2. Чем круче спады, тем выше чувствительность к изменениям отдельных компонентов фильтра. В аналоговой технике приходится применять очень стабильные емкости и индуктивности, а в цифровой увеличивать разрядность вычислений.