Нелинейность функии, никак не соображу...конец рабочего дня видимо:) Опции

[Kris2007]

Есть f(1) , f(4), f(16), f(64). Рассчитать нелинейность функци f(x) x от 1 до 64. В %.

Не помню как не линейность считается и все тут

[Stanislav]

Есть f(1) , f(4), f(16), f(64). Рассчитать нелинейность функци f(x) x от 1 до 64. В %.

Не помню как не линейность считается и все тут

А что конкретно подразумевается под нелинейностью?
Если хотите аппроксимировать последовательность значений функцией какого-либо вида (полиномиального, экспоненциального и т.д.), составьте систему уравнений и решите её...

[Designer56]

Разложите ф-ю в Тэйлора- все, что получается кроме первой степени- нелинейность.

[UMP]

Словестное определение нелинейности таково:
"Нелинейностью функции f(x) на отрезке [a b] называют max|f(x)-L(x)|, где L(x)-прямая наилучшего равномерного приближения функции f(x) на отрезке [a b]" из конспекта лекций, прочитанных в 80-е годы 20 века Германом Карловичем Кругом.

[Kris2007]

Под нелинейность подрузумевается нелинейность!
Я хочу знать насколько дискретная функция четырех значений похожа на прямую. ( четверка значений каждый раз разная а функция в идеальном случае- прямая, нелинейность грубо определит погрешность).
А раскладавтать четыре значения в ряд тейлора и считать остаточный член.... это слишком, должен быть куда более простой выриант.

Все это хорошо конечно ... но даже из определения непонятно а как её считать то?
Не такая простая задачка то оказывается...

[Stanislav]

Я хочу знать насколько дискретная функция четырех значений похожа на прямую. ( четверка значений каждый раз разная а функция в идеальном случае- прямая, нелинейность грубо определит погрешность).

Тогда сначала найдите эту прямую, например, по методу наименьших средних квадратов (другое название - линейная регрессия). Потом вычтите значения полученной линейной функции из исходной в заданных точках, и делайте с разностями всё, что заблагорассудится.

Разложите ф-ю в Тэйлора- все, что получается кроме первой степени- нелинейность.

Не совсем понял, как разложить?.. В окрестности какой точки?

Словестное определение нелинейности таково:
"Нелинейностью функции f(x) на отрезке [a b] называют max|f(x)-L(x)|, где L(x)-прямая наилучшего равномерного приближения функции f(x) на отрезке [a b]" из конспекта лекций, прочитанных в 80-е годы 20 века Германом Карловичем Кругом.

Тут могут быть ньюансы. В задаче речь идёт о точечной функции, а в лекции - о (кусочно-)непрерывной, скорее всего. Отсюда был и мой вопрос: что считать нелинейностью для функции, заданной на конечном множестве точек?

[Designer56]

Не совсем понял, как разложить?.. В окрестности какой точки?

Вопрос интересный... обычно это делается в окрестностях нуля. но автору может понадобиться и по- другому, если у него рабочая точка своя.

[Alex255]

Есть f(1) , f(4), f(16), f(64). Рассчитать нелинейность функци f(x) x от 1 до 64. В %.

Не помню как не линейность считается и все тут

Чтобы получить нелинейность надо понять что такое линейность . Методом наименьших квадратов получаете линейную апроксимацию - y=ax+b. Затем считаете среднеквадратичное отклонение. Если интересует максимальная нелинейность просто находите макс. разность в той или иной точке.

[Santy]

Есть f(1) , f(4), f(16), f(64). Рассчитать нелинейность функци f(x) x от 1 до 64. В %.

Не помню как не линейность считается и все тут

Здесь неплохо было бы понимать что представляет собой например f(3),f(7),f(32) т.е f(n).
Если например f(1),f(2),f(3),f(4),..f(64) имеют линейный характер,но вы ,берете только f(1) , f(4), f(16), f(64),то это отдельный подход.

[Designer56]

Если f(1) , f(4), f(16), f(64) есть просто значение ф-и в точках, то для оценки нелинейности можно сосчитать коэффициенты прямой, проходящей через f(1), f(64), а затем посчитать разность между точками этой прямой при x= 2,3,...63 и соответствующими значениями ф-и f. Так определяется интегральная нелинейность, например, АЦП или ЦАП. можно ещё привести её к диапазону изменения ф-и f.

[UMP]

 LIN_D.rar ( 17.18 килобайт ) Кол-во скачиваний: 147
В продолжение темы. Прежде чем говорить о нелинейности таблично заданной функции необходимо сформулировать, так называемую "интерполяционную гипотезу", т. е. предположение о поведении функции при значениях аргумента в промежутках между табулированными значениями. Это, пожалуй наиболее тонкий момент, так как для формулировки гипотезы необходимо привлекать дополнительные сведения. Затем необходимо проанализировать данные на предмет случайной погрешности. Если случайная составляющая погрешности пренебрежимо мала, то для аппроксимации применяется наилучшее равномерное приближение. Примеры для этого случая в прикрепленном архиве. Если же случайная составляющая погрешности существенна, то применяют статистические методы аппроксимации, например метод наименьших квадратов, метод наименьших модулей, конфлюентные методы.

[Stanislav]

В продолжение темы. Прежде чем говорить о нелинейности таблично заданной функции необходимо сформулировать, так называемую "интерполяционную гипотезу", т. е. предположение о поведении функции при значениях аргумента в промежутках между табулированными значениями.

Об этом, собственно, и речь.
Только я бы назвал эту гипотезу "аппроксимационной". Потому, как интерполяционный полином существует, и только один (в данном случае, 3-го порядка).

Здесь неплохо было бы понимать что представляет собой например f(3),f(7),f(32) т.е f(n).
Если например f(1),f(2),f(3),f(4),..f(64) имеют линейный характер,но вы ,берете только f(1) , f(4), f(16), f(64),то это отдельный подход.

И в чём же его уникальность?

[Santy]

И в чём же его уникальность?

f(64)-f(16) более точно чем f(16)-f(4), а f(16)-f(4) более точно чем f(4)-f(1).

[Tanya]

 LIN_D.rar ( 17.18 килобайт ) Кол-во скачиваний: 147
В продолжение темы. Прежде чем говорить о нелинейности таблично заданной функции необходимо сформулировать, так называемую "интерполяционную гипотезу", т. е. предположение о поведении функции при значениях аргумента в промежутках между табулированными значениями. Это, пожалуй наиболее тонкий момент, так как для формулировки гипотезы необходимо привлекать дополнительные сведения. Затем необходимо проанализировать данные на предмет случайной погрешности. Если случайная составляющая погрешности пренебрежимо мала, то для аппроксимации применяется наилучшее равномерное приближение. Примеры для этого случая в прикрепленном архиве. Если же случайная составляющая погрешности существенна, то применяют статистические методы аппроксимации, например метод наименьших квадратов, метод наименьших модулей, конфлюентные методы.

Вроде бы автор не говорил ничего об области определения функции... А Вы про интерполяцию.
Может быть, она задана на конечном множестве целых числел? Для ответа на поставленный вопрос надо сначала дать определение расстояния между функциями (метрику) и определение нелинейности...

[Stanislav]

f(64)-f(16) более точно чем f(16)-f(4), а f(16)-f(4) более точно чем f(4)-f(1).

М-да?
А что Вы понимаете под точностью, в таком случАе?

Вроде бы автор не говорил ничего об области определения функции... А Вы про интерполяцию.
Может быть, она задана на конечном множестве целых числел? Для ответа на поставленный вопрос надо сначала дать определение расстояния между функциями (метрику) и определение нелинейности...

Tanya, прочитайте ещё раз условие и не вносите дополнительной путаницы, пожалуйста.
Если ставится именно интерполяционная задача, то она в свете определения из поста №4 (хотя, как мне кажется, оно нуждается в уточнении для реальных физических задач) решение имеет, и оно единственно.

[Tanya]

М-да?
А что Вы понимаете под точностью, в таком случАе?
Tanya, прочитайте ещё раз условие и не вносите дополнительной путаницы, пожалуйста.
Если ставится именно интерполяционная задача, то она в свете определения из поста №4 (хотя, как мне кажется, оно нуждается в уточнении для реальных физических задач) решение имеет, и оно единственно.

Ваш приказ выполнен. Докладываю:
Похоже, Вы забыли, что такое интерполяция... Автор недвусмысленно заявил, именно в 5-ом посте, что ЕГО функция определена на множестве 4 целых чисел.

[Santy]

[quote name='Stanislav' date='Jan 16 2008, 11:56' post='350729']
М-да?
А что Вы понимаете под точностью, в таком случАе?

Точность, в таком случае будет зависеть от того сколько f(n+1)-f(n) ,будет в нашем дельта.
На мой взгляд дельта для обработки должны быть такими:
1.Ras1=f(64)-f(16);
2.Ras2=Ras1+f(16)-f(4);
3.Ras3=Ras1+Ras2+f(4)-f(1).

[Stanislav]

Ваш приказ выполнен. Докладываю:
Похоже, Вы забыли, что такое интерполяция...

Отнюдь, помню. Вам же рекомендую освежить.
Функция задана множеством своих значений в 4-х опорных точках. Если речь идёт о именно о нелинейности, функция обязана быть определена и непрерывна на отрезке, по моему разумению. Границы отрезка даны - [1, 64]. По-моему, здесь всё ясно. Интерполяционная задача заключается в нахождении многочлена степени (не более) 3, имеющего значения в узловых точках, равные опорным значениям функции.
В противном случае, дайте своё определение нелинейности. А также свою постановку задачи интерполяции.

...Автор недвусмысленно заявил, именно в 5-ом посте, что ЕГО функция определена на множестве 4 целых чисел.

Ничего подобного он не писал. Более того, он сообщил, что ему нужно найти её значения на всём данном отрезке. Как именно это нужно делать - собственно, и суть вопроса.

Сообщение отредактировал Stanislav - Jan 16 2008, 09:39

[Tanya]

Отнюдь, помню. Вам же рекомендую освежить.
Функция задана множеством своих значений в 4-х опорных точках. Если речь идёт о именно о нелинейности, функция обязана быть определена и непрерывна на отрезке, по моему разумению. Границы отрезка даны - [1, 64]. По-моему, здесь всё ясно. Интерполяционная задача заключается в нахождении многочлена степени (не более) 3, имеющего значения в узловых точках, равные опорным значениям функции.
В противном случае, дайте своё определение нелинейности. А также своё определение задачи интерполяции.

Ничего подобного он не писал. Более того, он сообщил, что ему нужно найти её значения во всех точках {1,2,...,64} данного отрезка. Как именно это нужно делать - собственно, и суть вопроса.

Второй приказ выполнен. Освежите и Вы... Вот тут очень доступно написано. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%...%86%D0%B8%D1%8F
Ваши разумения про непрерывность и о том, что функция должна... наивны.... Автор писал, что имеется только 4 значения. Его функция определена на конечном множестве и не может быть непрерывной. И ни про какую интерполяцию не спрашивал. Это Вы придумали. Но неправильно. А спрашивал автор про аппроксимацию ЕГО функции линейной функцией, которая может рассматриваться также определенной только на этом множестве 4 чисел. И она тоже не обязана никому быть непрерывной. И не надо это тоже никому.
А надо автору определиться с метрикой, сначала..., которая и может рассматриваться как мера нелинейности. Только она (метрика) ведь может быть разной... от вкуса зависит...
А определение (степени) нелинейности можно давать самое разное... Вот можно через метрику. А Вы разве свое дали? Или есть общепринятый термин? Перечитайте пятый пост... Внимательно...

[alexander55]

Разложите ф-ю в Тэйлора- все, что получается кроме первой степени- нелинейность.

Правильно, потому что под нелинейностью понимается отклонение от линейного закона (первая степень). При этом используются только 2 точки.
А если говорить о точности апросиксимации, а не о нелинейности, то можно для 4 точек использовать полином 3 степени (все 4 точки используются).

[Stanislav]

Второй приказ выполнен. Освежите и Вы... Вот тут очень доступно написано. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%...%86%D0%B8%D1%8F

Приводящий википедию в качестве аргумента, должен хотя бы разобраться в том, что там написано, дабы не прослыть невеждой.
Раскрываем, к примеру, Семендяева с Бронштейном (М. Наука, 1981).
На странице 663 (п.7.1.2.6. Интерполяция), читаем определение:

"Пусть на сегменте [a,b] заданы n+1 опорных (узловых) точек, a<=x0<x1<x2<...<xn<=b. Пусть, кроме того, заданы n+1 действительных чисел yj (о=0,1,...,n) (например, как значения функции f(x) в узловых точках. Тогда имеем следующую задачу интерполяции.
Найти многочлен In(x) степени не больше n такой, что In(xj)=yj для 0<=j<=n."

Интересно, что здесь может быть непонятного, и что в моих постах противоречит данному определению?

...Ваши разумения про непрерывность и о том, что функция должна... наивны....

Пожалуйста, не нужно о наивности, когда идёт речь идёт об элементарной математической грамотности.

...Автор писал, что имеется только 4 значения. Его функция определена на конечном множестве и не может быть непрерывной.

Tanya, не нужно домыслов. Где автор об этом писал?
Повторяю ещё раз: можно говорить только о нелинейности непрерывной на отрезке [1,64] функции, о чём и написал автор в посте №1. Которую можно найти, в частности, путём решения интерполяционной задачи.

...И ни про какую интерполяцию не спрашивал. Это Вы придумали.

Ничего я не придумывал. Просто предложил как один из подходов.
Автор же, как мне кажется, ещё не определился с тем, что же ему на самом деле нужно.

Но неправильно.

Правильно. См. в справочники.

А спрашивал автор про аппроксимацию ЕГО функции линейной функцией,

Игде спрашивал?
Может, прочитав мой пост №2, Вы скажете, что аппроксимацию я тоже "придумал"?

которая может рассматриваться также определенной только на этом множестве 4 чисел. И она тоже не обязана никому быть непрерывной. И не надо это тоже никому.
А надо автору определиться с метрикой, сначала..., которая и может рассматриваться как мера нелинейности. Только она (метрика) ведь может быть разной... от вкуса зависит...

Я об этом тоже спрашивал. Если хотите - предложите свою метрику. Потому, как с определением нелинейности дискретных функций мне встречаться не приходилось.

...А определение (степени) нелинейности можно давать самое разное... Вот можно через метрику.

Думаю, автор темы будет Вам чрезвычайно признателен. Только, упаси бог, никаких "выдумок".

А Вы разве свое дали? Или есть общепринятый термин? Перечитайте пятый пост... Внимательно...

Прочитал. И что же там не понятого мной содержится?
Вам же порекомендую прочитать ещё раз пост №1.

Лично мне определение из поста №4 нравится - нелинейность определяется как "мера неравномерности" при равномерном приближении функции полиномом 1-й степени на отрезке.
Для практических целей (например, чтобы выразить нелинейность датчика безотносительно его чувствительности) полученную таким образом нелинейность можно нормировать на величину диапазона измеряемых величин. После этого её можно выразить в относительных единицах (%), что гораздо удобнее.
В данной задаче нелинейность можно нормировать модулем разности |F(64) - F(1)|, где F(x) - аппроксимирующая линейная функция. Вырожденный случай F(64)=F(1) при этом не рассматриваем.

Правильно, потому что под нелинейностью понимается отклонение от линейного закона (первая степень). При этом используются только 2 точки.

Ничего не понятно.
Функция задана на множестве из 4-х чисел. Как Вы собираетесь разлагать её в ряд Тейлора?

...А если говорить о точности апросиксимации, а не о нелинейности, то можно для 4 точек использовать полином 3 степени (все 4 точки используются).

Вах-вах...
С помощью интерполяции или аппроксимации мы, грубо говоря, находим недостающие значения функции на отрезке. Которые потом используем для вычисления нелинейности.
Какой способ лучше - решать автору.

[alexander55]

Ничего не понятно.
Функция задана на множестве из 4-х чисел. Как Вы собираетесь разлагать её в ряд Тейлора?

Вариантов несколько:
- по крайним точка
- через одну
- по минимизации суммы среднеквадратичных отклонений и т.д. и т.п.
Речь идет о том, достаточно 2 точки для определения прямой, а если их 4, то появляются варианты.

С помощью интерполяции или аппроксимации мы, грубо говоря, находим недостающие значения функции на отрезке. Которые потом используем для вычисления нелинейности.
Какой способ лучше - решать автору.

Согласен.

[_Vladimir_]

Попробуйте просто посчитать углы наклона от точки к точке из a*x + b.
Т. е.
А1 для f(1) - f(4)
А2 для f(16) - f(4)
А3 f(16) - f(4)
А4 для f(64) - f(16)


Как посчитать угол наклона по отрезку надеюсь помните.
Посчитайте Amin/Amax (или наоборот)
Для идеальной прямой это будет 1 (100%).
Для реальной число которое будет "как-то" характеризовать эту нелинейность.

Ну а если есть время и желание, можно обосновывать насколько эта мера адекватна...

[Tanya]

Приводящий википедию в качестве аргумента, должен хотя бы разобраться в том, что там написано, дабы не прослыть невеждой.
Раскрываем, к примеру, Семендяева с Бронштейном (М. Наука, 1981).
На странице 663 (п.7.1.2.6. Интерполяция), читаем определение:

"Пусть на сегменте [a,b] заданы n+1 опорных (узловых) точек, a<=x0<x1<x2<...<xn<=b. Пусть, кроме того, заданы n+1 действительных чисел yj (о=0,1,...,n) (например, как значения функции f(x) в узловых точках. Тогда имеем следующую задачу интерполяции.
Найти многочлен In(x) степени не больше n такой, что In(xj)=yj для 0<=j<=n."

Интересно, что здесь может быть непонятного, и что в моих постах противоречит данному определению?

Пожалуйста, не нужно о наивности, когда идёт речь идёт об элементарной математической грамотности.

Tanya, не нужно домыслов. Где автор об этом писал?
Повторяю ещё раз: можно говорить только о нелинейности непрерывной на отрезке [1,64] функции, о чём и написал автор в посте №1. Которую можно найти, в частности, путём решения интерполяционной задачи.

Ничего я не придумывал. Просто предложил как один из подходов.
Автор же, как мне кажется, ещё не определился с тем, что же ему на самом деле нужно.

Правильно. См. в справочники.

Игде спрашивал?
Может, прочитав мой пост №2, Вы скажете, что аппроксимацию я тоже "придумал"?
Я об этом тоже спрашивал. Если хотите - предложите свою метрику. Потому, как с определением нелинейности дискретных функций мне встречаться не приходилось.

Думаю, автор темы будет Вам чрезвычайно признателен. Только, упаси бог, никаких "выдумок".
Прочитал. И что же там не понятого мной содержится?
Вам же порекомендую прочитать ещё раз пост №1.

Лично мне определение из поста №4 нравится - нелинейность определяется как "мера неравномерности" при равномерном приближении функции полиномом 1-й степени на отрезке.
Для практических целей (например, чтобы выразить нелинейность датчика безотносительно его чувствительности) полученную таким образом нелинейность можно нормировать, например, на величину диапазона измеряемых величин. После этого её можно выразить в относительных единицах (%), что гораздо удобнее.
В данной задаче нелинейность можно нормировать модулем разности |F(64) - F(1)|, например, где F(x) - аппроксимирующая линейная функция. Вырожденный случай F(64)=F(1) при этом не рассматриваем.

Ничего не понятно.
Функция задана на множестве из 4-х чисел. Как Вы собираетесь разлагать её в ряд Тейлора?

Вах-вах...
С помощью интерполяции или аппроксимации мы, грубо говоря, находим недостающие значения функции на отрезке. Которые потом используем для вычисления нелинейности.
Какой способ лучше - решать автору.

Внимательнее читайте посты 1 и 5. В первом автор очень приблизительно выразил свои желания. В 5 он высказался вполне определенно, хотя и нестрого в математическом смысле.
Ну у Бронштейна тоже внимательнее. Внимательнее читайте последнее уравнение из Вашего с Бронштейном текста. Автору НЕ НУЖНО, чтобы Ваша интерполирующая функция попадала во все Его точки (экспериментальные)!
Ему не нужно знать ничего ни про какие "недостающие" значения. Их, вообще, в Природе не существует, если не брать во внимание процессы в мозгах. Ему хочется простого - найти количественный критерий степени разброса точек от ПРЯМОЙ, (которая может вообще не проходить ни через одну из точек) которую он хочет провести для минимизации вот этого самого критерия, который только он сам и должен сконструировать.
Про непрерывность автор ничего не писал ни в одном из двух своих постов, это только Вы.
Ну, а если Вам пока не приходилось встречаться с определением для функции, заданной на конечном множестве, то значит ли это, что Вы знаете определение для функции, заданной на отрезке?
Если да, то напишите. Если Вы про пост номер 4, то его можно легко переформулировать для дискретной функции, более того, к предложенной Вами интерполяции оно не имеет никакого отношения и плохо подходит для приложения к данной задаче.
Я могу дать тоже свое определение. Собственно, уже неявно писала выше... Только почему нельзя никаких "выдумок"? Математика ВСЯ выдумана.
Вот только по поводу невежды (а может и невежи) и грамотности полностью согласная с Вами.

[Alex255]

Непонятно из-за чего сыр бор на пустом месте. Задачу можно решить лишь в тех рамках, в которых она задана. Остальное от лукавого. А тут и ряды, и интерполяция
"Я хочу знать насколько дискретная функция четырех значений похожа на прямую." Куда тут дальше... Один крокодил зеленый другой налево...

[UMP]

Уважаемые коллеги!
Полагаю, что в случае, когда интересны лишь дискретные значения функции, определение налинейности может быть естественным образом уточнено, например так

"Нелинейностью функции f(x) на дискретном множестве значений аргумента Х называют max|f(x)-L(x)|, где L(x)-прямая наилучшего равномерного приближения функции f(x) на множестве Х"
На практике это означает, что при построении прямой L(x) будут приниматься во внимание лишь ее значения из таблицы аргументов. Именно с таким расчетом был выбран шаг сканирования по аргументу в приведенном мною ранее примере.

[_Vladimir_]

Уважаемые коллеги!
Полагаю, что в случае, когда интересны лишь дискретные значения функции, определение налинейности может быть естественным образом уточнено, например так

"Нелинейностью функции f(x) на дискретном множестве значений аргумента Х называют max|f(x)-L(x)|, где L(x)-прямая наилучшего равномерного приближения функции f(x) на множестве Х"
На практике это означает, что при построении прямой L(x) будут приниматься во внимание лишь ее значения из таблицы аргументов. Именно с таким расчетом был выбран шаг сканирования по аргументу в приведенном мною ранее примере.

IMHO, Это самое лучшее решение.
Разве что дополнить как max|(f(x)-L(x))/L(x)|
Т. е. в относительных.

[Kris2007]

Попробуйте просто посчитать углы наклона от точки к точке из a*x + b.
Т. е.
А1 для f(1) - f(4)
А2 для f(16) - f(4)
А3 f(16) - f(4)
А4 для f(64) - f(16)
Как посчитать угол наклона по отрезку надеюсь помните.
Посчитайте Amin/Amax (или наоборот)
Для идеальной прямой это будет 1 (100%).
Для реальной число которое будет "как-то" характеризовать эту нелинейность.

Ну а если есть время и желание, можно обосновывать насколько эта мера адекватна...

Я примерно так и сделал уже.

[Tanya]

IMHO, Это самое лучшее решение.
Разве что дополнить как max|(f(x)-L(x))/L(x)|
Т. е. в относительных.

Нет, не все так просто.
Вот утрированный примерчик.
Пусть функция задана такой табличкой (x,y)=(0, 0) (1, 1) (99, 0) (100, 1)
Насколько эта функция нелинейна?
В такой постановке однозначный ответ дать нельзя.
Вот если точность (доверительный интервал) 0.001 - пусть будет одинаковая для всех точек, то это страшно нелинейная функция, а если точность 10, то очень даже линейная. А цитируемая оценка этого не учитывает.
Для интересующихся. В классической книге Химмельблау "Анализ процессов статистическими методами" МИР, 1973, глава "Линейные модели с одной переменной" занимает почти сотню страниц. Куда и отсылаю. Там очень подробно - с примерами.

[tyro]

Под нелинейность подрузумевается нелинейность!
Я хочу знать насколько дискретная функция четырех значений похожа на прямую. ( четверка значений каждый раз разная а функция в идеальном случае- прямая, нелинейность грубо определит погрешность).

Постановка задачи.
Дано: N отсчетов
Найти: насколько дискретная функция четырех значений похожа на прямую.
Решение:
Пусть Z[i] - i - тая из N точек. Если зависит от одного параметра, то она лежит на одном векторе параметра i и всегда прямая.
Если зависит от двух параметров, то запишем ее так Zi[Xi;Yi], где i меняется от 1 до N.
Вспомним, что линия определяется двумя точками и назовем выражение:
Lj=((Xi+1)-(Xi))/((Yi+1)-(Yi)) - линейностью по параметру Y, где j меняется от 1 до N-1.
Если все Lj равны, то это прямая. Вспомним, что дифференциал это в некоторой степени разность, тогда
D= ((|(Lj) - (Lj+1)|) + ... + (|(Ln-2) - (Ln-1)|))/(N-2) можно назвать дифференциальной нелинейностью по параметру Y.
Вспомнив, что интеграл от линейной функции есть квадратичная зависимость напишем:
I = sqrt{(|(Lj) - (Lj+1)|)* (|(Lj) - (Lj+1)|) + ... + (|(Ln-2) - (Ln-1)|))*(|(Ln-2) - (Ln-1)|))}/(N-2)
и назовем это интегральной нелинейностью по параметру Y.
Если точка определяется несколькими параметрами, то можно определить нелинейность по каждому из параметров.

[alexander55]

"Я хочу знать насколько дискретная функция четырех значений похожа на прямую."

Да, с этого надо начать.
Я тоже считаю, что вначале надо понять, действительно ли параметр линейно зависит от времени или это притянуто за уши для наукоподобия.

[tyro]

Да, с этого надо начать.
Я тоже считаю, что вначале надо понять, действительно ли параметр линейно зависит от времени или это притянуто за уши для наукоподобия.

А почему от времени? В принципе от любого параметра.

[alexander55]

А почему от времени? В принципе от любого параметра.

Вы правы, но только в принципе.

[blackfin]

"Приходит к психиатру мужик. У него на кулак натянут носок. Садится и печально говорит:
- Доктор, у меня на кулаке носок, он мне мешает...
- Ну снимите его, раз мешает...
Тот снимает носок - и радостно кивая головой:
- Спасибо, доктор...
Выходит за дверь.
Доктор сидит и полминуты тупо смотрит на дверь. Потом не выдерживает,
скакивает, рвёт на себе рубашку и, опрокидывая стол, орёт:
- БЛИИИИИИИН!!!!!!! ЗАМУЧИЛИ ПСИХИИИИИ!!!"


PS. По мотивам fontp.

[Stanislav]

Внимательнее читайте посты 1 и 5. В первом автор очень приблизительно выразил свои желания. В 5 он высказался вполне определенно, хотя и нестрого в математическом смысле.

Ну, так разъясните сирому, в чём заключается определённость этого "нестрогого" высказывания? Почему интерполяцию делать нельзя?

...Ну у Бронштейна тоже внимательнее. Внимательнее читайте последнее уравнение из Вашего с Бронштейном текста.

Моя фамилия не Семендяев, Tanya. Это я заявляю Вам со всей ответственностью.
И что же вы такого усмотрели в последнем уравнении?

...Автору НЕ НУЖНО, чтобы Ваша интерполирующая функция попадала во все Его точки (экспериментальные)!

В который уж раз задаю вопрос. Откуда. Вы. Это. Знаете?

...Ему не нужно знать ничего ни про какие "недостающие" значения. Их, вообще, в Природе не существует, если не брать во внимание процессы в мозгах.

Уточним: в мозгах некоторых "телепатов".

...Ему хочется простого - найти количественный критерий степени разброса точек от ПРЯМОЙ, (которая может вообще не проходить ни через одну из точек) которую он хочет провести для минимизации вот этого самого критерия, который только он сам и должен сконструировать.

Ваши высказывания относятся к категории весьма смелых гипотез. Автор сказал: ему нужно измерить нелинейность. В свете Определения, данного в посте №4, я предложил два способа, как это можно сделать. Вы же не привели никакого определения, в контексте которого Ваши гипотезы и утверждения можно было бы считать не лишёнными смысла.

...Про непрерывность автор ничего не писал ни в одном из двух своих постов, это только Вы.

Правильно, не писал. Но нелинейность определена только для непрерывной на отрезке функции.
Кстати, Tanya, прямая тоже непрерывна.

...Ну, а если Вам пока не приходилось встречаться с определением для функции, заданной на конечном множестве,

Не понял, из чего сделан такой вывод? Потрудитесь объясниться, пожалуйста.

то значит ли это, что Вы знаете определение для функции, заданной на отрезке?

По-Вашему, отрезок - конечное множество?

...Если да, то напишите. Если Вы про пост номер 4, то его можно легко переформулировать для дискретной функции, более того, к предложенной Вами интерполяции оно не имеет никакого отношения и плохо подходит для приложения к данной задаче.

Ну, так переформулируйте, пожалуйста. С нетерпением ждём-с.

...Я могу дать тоже свое определение. Собственно, уже неявно писала выше... Только почему нельзя никаких "выдумок"? Математика ВСЯ выдумана.
Вот только по поводу невежды (а может и невежи) и грамотности полностью согласная с Вами.

Простите, но за две страницы обсуждения Вы не написали ничего ни полезного, ни просто разумного.
Призываю Вас - заканчивайте флейм и потрудитесь заняться чем-либо более полезным.

[Alex255]

..Возможно, для начала неплохо определить, «..насколько дискретная функция ..трех значений похожа на прямую»..

Примерно настолько же, насколько божий дар похож на яичницу, а мягкое на теплое
Дайте определения того и другого, может тогда понятно будет.

[Stanislav]

IMHO, Это самое лучшее решение.
Разве что дополнить как max|(f(x)-L(x))/L(x)|
Т. е. в относительных.

На делить, по-моему, неправильно. Нужно делить именно на , где и - минимальное и максимальное значение аргумента.

Уважаемые коллеги!
Полагаю, что в случае, когда интересны лишь дискретные значения функции, определение налинейности может быть естественным образом уточнено, например так

"Нелинейностью функции f(x) на дискретном множестве значений аргумента Х называют max|f(x)-L(x)|, где L(x)-прямая наилучшего равномерного приближения функции f(x) на множестве Х"

Строго говоря, определение не совсем удачно. Ибо равномерное приближение определяется тоже для непрерывных на отрезке функций.
Для того, чтобы придать ему "законную основу", требуется определить и равномерное приближение для функций, заданных конечным множеством значений.
Впрочем, это также сделать не сложно.

С принятием указанных допущений задача имеет достаточно простое решение. Насколько оно хорошо практически - судить с ходу трудно.

Нет, не все так просто.
Вот утрированный примерчик.
Пусть функция задана такой табличкой (x,y)=(0, 0) (1, 1) (99, 0) (100, 1)
Насколько эта функция нелинейна?
В такой постановке однозначный ответ дать нельзя...

Как это нельзя, Tanya?
В этой постановке однозначный ответ существует, уверяю Вас.
Учите арифметику внимательнее...

[Alex255]

Однозначного ответа здесь нет. Хотя бы потому, что нет однозначного определения что такое "прямая наилучшего равномерного приближения функции f(x) на множестве Х". Кстати, строго говоря, прямая здесь не причем. Мы можем говорить о дискретной линейной функции типа Yi=aXi+b, но никак не о прямой, заметьте. И чего стоят горы здесь нагроможденные?

[_Vladimir_]

Кажется действительно мы сдесь уже начали путать "божий дар с яичницей", несмотря на замечания автора темы. Конкретнее...

1. Конечо, можно выяснять и строить критерий /меру + мат. аппарат
оценки нелинейности "произвольной функции".
Если этого нет (или уже есть в математике - а я так понял, что именно в этом русле ушла дискуссия),
то надо делать как и положено в математике - сформулировать все термины и определения, сформулировать критерии и т. п.
Ну а далее. вплоть до диссертации :-)...

2. Автору надо решить не такую уж сложную практическую задачу, в которой как я понял о мат. стат. аппарате говорить не приходится (какая статистика для 4 точек ?).
Скорее всего, измеряемая зависимость монотоная, "почти" линейная или "практически" линейная или линейность несколько искажается. И надо просто выводить некоторое число "лучше/хуже" - "примлемо/неприемлемо". И функция с экстремумом (Tanya) вряд ли будет практически встречаться в этой задаче.
И какая может быть (кроме 0) степень линейности для функции с экстремумом?
Для нее устройство вполне может показать 0 а не 0.95 или "зажечь красную лампу".

3. В этом случае вполне можно использовать один из двух методов, о которых упоминал в предыдущих постах.
Конечно они отнюдь не универсальны.
НО. Ценность модели не только в универсальности, а и в четкой детерминированости границ где
она работает. Пусть это примитивно, с некоторым лукавством в отношении мат. корректности.
Но если "это работает" в задаче, то в чем дело?
Профессионализм - не только "абсолютное" решение, но и четкое ПОНИМАНИЕ границ где можно еще так "лукавить" с математикой" а где нет, где это будет работать, а где нет.

Кстати, Tanya:
>Нет, не все так просто.
>Вот утрированный примерчик.
>Пусть функция задана такой табличкой (x,y)=(0, 0) (1, 1) (99, 0) (100, 1)
>Насколько эта функция нелинейна?
В Вашем примере коэф. меняет знак - и тот примитивный критерий вполне сработает,
так как отношение мин/мах будет меньше нуля.
Конечно там надо немного причесать (например модули и т. п.)

Это просто мое мнение...
А так дискуссия была интересна и полезна.

P/ S. - Kris2007, не забудте анализ знаков и деление на 0.