преобразование лапласа Опции

[srm]

не могу до конца понять смысл преобразования лапласа. все эти преобразования от действительного аргумента к комплексному и обратно - обычные математические действия. не могу понять что за ними стоит с точки зрения физики. сколько справочников и учебников ни смотрел - везде что-тго типа: есть такой-то интеграл - обзавём его изображением и т. д. хотелось бы на примере какой-нибудь простой задачки прочевствовать его суть.

[LiloQQ]

Математическая абстракция, другая форма представления фукнций, перенос функции в систему координат/пространство в которой её решить проще

[srm]

Математическая абстракция, другая форма представления фукнций, перенос функции в систему координат/пространство в которой её решить проще

это понятно. ну вот на простом примере. есть простой четырёхполюсник (в аттаче). его можно представить как некий оператор u(x). на вход подаём сигнал x(t), на выходе - у(t).

y(t) = u(x(t)).

если выполшнить преобразование:

Y(s) = U * X(s)

понятно, что так решать проще, но не понятно откуда следует что в данном случае нужно брать именно комплексное сопротивление в качестве передаточной функции.

вообще, мне нужно решить механическую задачу. есть некая система, состоящая из двух осей. если к одной оси прикладываем момент сил M1, то на второй возникает M2 = u(M1). интересно рассмотреть переходной процесс данной системы для единичной ступеньки.

Эскизы прикрепленных изображений

 

[LiloQQ]

понятно, что так решать проще, но не понятно откуда следует что в данном случае нужно брать именно комплексное сопротивление в качестве передаточной функции.

Не совсем понятно. Если не хотите с комплексными числами работать можете написать дифференциальные уравнения, а потом перейти к операторной форме.

Тайного эзотерического смысла в преобразовании Лапласа в рамках поставленной задачи нет. Переходите от одного оператора к другому для простоты решения.

Сообщение отредактировал LiloQQ - Jan 24 2010, 12:07

[srm]

Не совсем понятно. Если не хотите с комплексными числами работать можете написать дифференциальные уравнения, а потом перейти к операторной форме.

Тайного эзотерического смысла в преобразовании Лапласа в рамках поставленной задачи нет. Переходите от одного оператора к другому для простоты решения.

есть такое понятие - "пример". моей целью не является решение данной задачи. данный пример я привёл для того, чтобы проще было разобраться.
понятно, что можно написать ду и решить задачу в операторной форме. разговор сейчас не об этом.
что касается "Тайного эзотерического смысла смысла нет" - только упрощение решения - тут вы не правы. ведь преобразование лапласа связано с преобразованием фурье. преобразование фурье переводит задачу из временной области в спектральную. аналогично можно сказать и про преобразовапние лапласа.

Сообщение отредактировал srm - Jan 24 2010, 12:28

[LiloQQ]

есть такое понятие - "пример". моей целью не является решение данной задачи. данный пример я привёл для того, чтобы проще было разобраться.
понятно, что можно написать ду и решить задачу в операторной форме. разговор сейчас не об этом.
что касается "Тайного эзотерического смысла смысла нет" - только упрощение решения - тут вы не правы. ведь преобразование лапласа связано с преобразованием фурье. преобразование фурье переводит задачу из временной области в спектральную. аналогично можно сказать и про преобразовапние лапласа.

Так, давай по существу вопрос. Метаешь какие-то пространные вещи и ждешь какой-то конкретики. Какой пример и пример чего тебе нужен?

"Тайного эзотерического смысла смысла нет" - только упрощение решения - тут вы не правы. ведь преобразование лапласа связано с преобразованием фурье.

А ещё все вместе они связаны с арифметическими преобразованиями. Конкретнее вопрос, в чём неясность?

UPD:
Когда при решении задач аналитической геометрии из декартовой системы координат переходят к полярным не говорят о наличии физ. смысла, просто задача преставлена в других перменных и на другой плоскости/пространстве. То же оносится к преобразованию Лапласа. Ты находишь изображение функции в терминах преобразования Лапласа и решаешь задачу, грубо говоря, в этих переменных. Но решаешь ты задачу физический смысл которой тебе известен изначально. В твоём примере это переходный процесс механической/электрической системы.

Сообщение отредактировал LiloQQ - Jan 24 2010, 14:07

[srm]

Так, давай по существу вопрос. Метаешь какие-то пространные вещи и ждешь какой-то конкретики.

приведён конкретный пример.

Конкретнее вопрос, в чём неясность?

не понятно откуда следует что в данном случае нужно брать именно комплексное сопротивление в качестве передаточной функции.

почему в качестве передаточной функции берём j*w*R*C/(j*w*R*C + 1)?

что получаенм с моего пимера.

коэффициент передачи j*w*R*C / (j*w*R*C + 1)
ДУ: y(t)' + y(t)/RC = x(t)'
x(t) - напряжение на входе четырёхполюсника. y(t) - напряжение на выходе.
задача - по известному x(t) найти y(t).
можно решить ДУ непосредственно - получаем y(t) = (Int((diff(x(t), t))*exp(t/(R*C)), t)+_C1)*exp(-t/(R*C))
чтобы применить преобразование лапласа, как я понимаю, нужно сначала домножить уравнение на exp(-s*t), затем проинтегрировать. - получим другое уравнение - уже в терминах изображений. так?

[Tanya]

почему в качестве передаточной функции берём j*w*R*C/(j*w*R*C + 1)?

Это потому, что некто раньше решил дифференциальное уравнение для гармонического напряжения на каждом элементе, а потом другой некто записал это решение, использую комплексные числа.
Автор, может Вы интересуетесь интегралом Дюамеля, но сами этого не осознаете?

[srm]

Это потому, что некто раньше решил дифференциальное уравнение для гармонического напряжения на каждом элементе, а потом другой некто записал это решение, использую комплексные числа.
Автор, может Вы интересуетесь интегралом Дюамеля, но сами этого не осознаете?

да мне не особо важно как это называется. просто хочу понять связь между комплексным сопротивлением и преобразованием лапласа. по сути дела, изображение ведь тоже является некой частотной характеристикой оригинала? если я ошибаюсь, то по крайней мере изображение содержит информацию о ней, т.к. есть связь с преорбразованием фурье.

s*Y(s) + 1/RC * Y(s) = s*X(s)
Y(s) = X(s) * [s * R * C / (s * R * C + 1)]
сравниваем с передаточной функцией, полученой по методу комплексных амплитуд k = j*w*R*C/(j*w*R*C + 1)

Сообщение отредактировал srm - Jan 24 2010, 15:25

[blackfin]

просто хочу понять связь между комплексным сопротивлением и преобразованием лапласа.

А Вы теорию линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами изучали?

Сообщение отредактировал blackfin - Jan 24 2010, 15:22

[EUrry]

по сути дела, изображение ведь тоже является некой частотной характеристикой оригинала?

Так аргумент p и называется комплексной частотой. Многие интегралы, не "берущиеся" обычным способом, легко вычисляются с помощью перехода к комплексным изображениям и обратно. Да и те, которые "берутся", могут значительно проще вычисляться с применением данного аппарата.

[srm]

мне не понятно - используем преобразование лапласа, а передаточную функцию вычисляем из метода комплексных амплитуд. то, что всё правильно и всё сходится - у меня сомнений нет. но как так получается - вопрос.

метод комплексных амплитуд исходит из того, что через цепь пропускаем сигнал заданной частоты - из этого и получаем сопротивление индуктивных и емкостных элементов. для произвольных периодических сигналов делаем преобразование фурье и пользуясь принципом суперпозиции полагаем что фильтр воздействует на каждую гармонику независимо.
преобразование лапласа, как мне многократно отвечали в данной теме - всего лишь математический метод. так почему тогда в этом математическом методе берутся данные, которые находились для конкретной физической задачи о прохождении тока постоянной частоты через контур?

Сообщение отредактировал srm - Jan 24 2010, 16:04

[Methane]

Если честно, то я бы тоже хотел чтобы кто-то объяснил преобразования лапласа, "на пальцах", в понятиях, понятных электронщику. Потому что я хоть и пользовался, но полного понимания у меня нет. Так, на ощущениях.

[EUrry]

преобразование лапласа, как мне многократно отвечали в данной теме - всего лишь математический метод.

У меня тоже такое впечатление, но если всё-таки есть какой-то физический смысл, то было бы интересно узнать. результат прямого преобразования Фурье сигнала во временной области имеет физический смысл спектра. По поводу преобразования Лапласа я такого сказать не могу, вполне возможно, что просто не встречался, а может его и нет. Но упрощение некоторых задач налицо, так что может так оно и есть - просто удобный инструмент.

[srm]

У меня тоже такое впечатление, но если всё-таки есть какой-то физический смысл, то было бы интересно узнать. результат прямого преобразования Фурье сигнала во временной области имеет физический смысл в виде спектра. По поводу преобразования Лапласа я такого сказать не могу, вполне возможно, что просто не встречался, а может его и нет. Но упрощение некоторых задач налицо, так что может так оно и есть - просто удобный инструмент.

блин. я ведь написал почему это не просто удобный инструмнт. есть связь между передаточной функцией, полученной по методу комплексных амплитуд и через преобразование лапласа. два совершенно разных метода, тем не менее, для электрических цепей ДУ никто никогда не пишет, а пользуются сразу методом комплексных ампилитуд и рассчитывают передаточную функцию по нему. потом лишь только выполняют обратное преобразование лапласа.

[EUrry]

... тем не менее, для электрических цепей ДУ никто никогда не пишет,...

Умный в гору не пойдет, умный гору обойдет. Давно поняли, как проще решать, так и решают. Зачем излишне умничать, если результат один, а времени отводимого на решение столько же.

[srm]

Умный в гору не пойдет, умный гору обойдет. Давно поняли, как проще решать, так и решают. Зачем излишне умничать, если результат один, а времени отводимого на решение столько же.

за тем, что некоторые берут формулы из справочника, подставляют в них цифры и решают, а таким *** как я интересно откуда эти формулы и почему именно так, а не иначе.

P.S. это не лабораторная работа и не контрольная. передо мной не стоит цели сдать и отделаться. поэтому я и не считаю себя "умным" и не хочу "обходить гору". я просто хочу разобраться в том, чего до конца не понимаю.

кое-что уже дошло. хотя, не знаю - может быть я ошибаюсь.
ещё я терпеть не могу пижонство, типа: "А Вы теорию линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами изучали?". да, изучал. многое уже не помню. точнее, помню очень немногое. и что? если есть что ответить - отвечайте, если нечего - не нужно тыкать что я чего-то не знаю. именно потому что я что-то не знаю - я захожу на форум и задаю здесь вопрос. очень рад за ваши знания в теории дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентыми.

Сообщение отредактировал srm - Jan 24 2010, 18:39

[=GM=]

Смысл преобразования Лапласа - переход от решения дифуравнения к решению алгебраической задачи.

Вот вам ещё один пример для понимания. Простой контур - R, L и C соединённые последовательно. Найти частоту свободных колебаний.

Решение. Напишем уравнение для контурного тока I(p)==i(t). RI+pLI-I/pC=0. Имеем R+pL-1/pC=0, отсюда LCp^2+RCp-1=0. Решение квадратного уравнения по теореме Виета p=sqrt(1/LC+(R/2L)^2)-R/2L=w. Теперь попробуйте решить диффур напрямую.

[kamil_yaminov]

Суть любого преобразования - в переходе в другую систему координат. Лаплас удачно выбрал преобразование, которое при переходе в свою систему давало замену производной на умножение, интегрирования на деление. При этом дифуры переходят в обычные алгебраические уравнения. Его ученик Фурье слегка модифицировал преобразование Лапласа, в итоге получили преобразование Фурье, которое переводит временную ось, на которой нанесена равномерная насечка, в пространство, где базисом являются переодические функции. В итоге оказалось, что удобно использовать преобразование Фурье для частотного анализа.

[Methane]

Суть любого преобразования - в переходе в другую систему координат. Лаплас удачно выбрал преобразование, которое при переходе в свою систему давало замену производной на умножение, интегрирования на деление. При этом дифуры переходят в обычные алгебраические уравнения. Его ученик Фурье слегка модифицировал преобразование Лапласа, в итоге получили преобразование Фурье, которое переводит временную ось, на которой нанесена равномерная насечка, в пространство, где базисом являются переодические функции. В итоге оказалось, что удобно использовать преобразование Фурье для частотного анализа.

Так в теории, все в общем-то понятно. И на практике понятно: была формула с логарифмами и всякими там e^x, перевели в лапласа, и только и делай что умножай да складывай за квант времени.

[srm]

=GM= kamil yaminov вопрос не в этом. это вы о математике.

[kamil_yaminov]

Можно попробовать объяснить преобразование Лапласа на пальцах, если вспомнить интеграл Дюамеля-Карсона (если не вру). Для начала достаточно взять преобразование от единичной ступеньки, которую подали (допустим на вход схемы) в момент времени T - получим образ exp(-pT). Тогда интеграл Лапласа есть ни что иное как разложение сигнала по ступенькам (см. рис.)
Говоря математическим языком, взяв преобразоавание от функции 1(t), мы получили базисную функцию пространства, куда преобразует Лаплас, поэтому можно сказать что разложение по экспоненте в пространстве Лапласа, есть разложение по ступенькам во временном пространстве. Что очень удобно, ибо фурье позволяет работать только с периодическими сигналами, но кроме периодических процессов имеются процессы коммутации. В экспоненте p - комплексное число, мнимая часть отвечает за колебания, а действительная - за всякие скачки. Вот что я надумал. Надеюсь изложил просто и ясно.

Эскизы прикрепленных изображений

 

[Dima_Ag]

приведён конкретный пример.

почему в качестве передаточной функции берём j*w*R*C/(j*w*R*C + 1)?

Передаточная функция в операторной форме будет выглядеть несколько иначе.
Передаточная функция будет K(p) = (R*p*C)/(R*p*C + 1)

Сопротивление конденсатора в операторной форме - это 1/(p*C)
Сопротивление резистора в операторной форме - это R

Сопротивление любого элемента в операторной форме получается из ОТНОШЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ напряжения к току
Z(p) = U(p)/I(p)
У конденсатора, как в Вашем примере, напряжение = int(ток(t) dt)
Исходя из того, что интегрирование в операторной форме - это умножение изображения на (1/p),
можно легко вывести сопротивление конденсатора в операторной форме,
это будет Zc = 1/(p*C).

[Methane]

Говоря математическим языком, взяв преобразоавание от функции 1(t), мы получили базисную функцию пространства, куда преобразует Лаплас, поэтому можно сказать что разложение по экспоненте в пространстве Лапласа, есть разложение по ступенькам во временном пространстве. Что очень удобно, ибо фурье позволяет работать только с периодическими сигналами, но кроме периодических процессов имеются процессы коммутации. В экспоненте p - комплексное число, мнимая часть отвечает за колебания, а действительная - за всякие скачки. Вот что я надумал. Надеюсь изложил просто и ясно.

У меня в общем понимание схожее, но как оно до конца работает, как-то не понятно.

[Dima_Ag]

У меня в общем понимание схожее, но как оно до конца работает, как-то не понятно.

Посмотрите этот документ. По-моему, написано достаточно наглядно и понятно!

http://www.dspguide.com/CH32.PDF

[srm]

вобщем-то всё достаточно просто плучается. разложение в преобразовании лапласа идёт не по синусам, а по э-синусоидам, что и даёт комплексное сопротивление для конденсатора и катушки, аналогичное преобразованию фурье + учитывает начальные условия за счёт экспоненты. вобщем вот, довольно хорошая статья - в ней про операторный метод хорошо описано.

http://model.exponenta.ru/bt/bt_001124.html

По-моему, написано достаточно наглядно и понятно!

Когда ж переходят к научной теме,
им рамки русского узки;
с Тифлисской Казанская академия
переписывается по-французски.

(С) Маяковский.

Сообщение отредактировал srm - Jan 25 2010, 15:48

[haker_fox]

В экспоненте p - комплексное число, мнимая часть отвечает за колебания, а действительная - за всякие скачки.

Как я понимаю, действительная часть - логарифмический декремент затухания, а мнимая - частота этих колебаний. Это из того, что при частотном анализе комплексная переменная s = b +jw, заменяется на jw.