Приведение в полярных координатах Опции

[Misile_Inc]

Здравствуйте, есть такая задача:
Начальные условия:
Два орудия направлены в одну точку на расстоянии N метров от линии их стояния.
Известны углы, на которые повернуты оба орудия.
Расстояния N, расстояние между точками стояния орудий не известны и не могут быть введены в систему оператором орудий.
Таких точек можно получить несколько на этапе настройки.


Задача:
В "рабочем" режиме дно из орудий постоянно поворачивается и сообщает свои координаты по каналу связи (является ведущим).
Необходимо перемещать ведомое орудие так, чтобы точка пересечения осей стволов обоих орудий (точка, в которую смотрят оба ствола) перемещалась по линии, параллельной линии стояния орудий и находящейся на расстоянии N метров от линии стояния.


Беда в том, что вычислительные возможности системы управления ведомым, реализованной на 8-бит микроконтроллере, очень скудны (она к тому же еще кучу функций выполняет).
Подскажите, как лучше решить задачу, сэкономив вычислительные ресурсы.

Надеюсь, не запутал.
Спасибо!

Сообщение отредактировал Misile_Inc - Jul 19 2012, 13:58

[Misile_Inc]

Еще вопрос: Я так понимаю, если потребуется выбирать цель не параллельно линии стояния, а на заданном радиусе от ведущего (ведущий и ведомый внутри окружности), подход к решению задачи будет аналогичен решению этой?

[Tanya]

Надеюсь, не запутал.
Спасибо!

Тоже надеюсь, что не только меня.

[Misile_Inc]

Попробую нарисовать.
Вот. Известно несколько пар (a;b). Далее по введенному a надо найти b.
Пары углов получаем вручную при установке оборудования.
При следующем включении взаимное расположение оборудования может измениться.
Расстояние до целевой линии тоже

Вот иллюстрация второй задачи.

Сообщение отредактировал Misile_Inc - Jul 19 2012, 14:32

Эскизы прикрепленных изображений

 

[Tanya]

Попробую нарисовать.

А где N?

Вот. Известно несколько пар (a;b). Далее по введенному b надо найти a.

Так кто ведущий, а кто ведомый?

[Misile_Inc]

А где N?

N- расстояние между черными параллельными линиями в первой задаче (которые соединены цветными лучами).
Но оно не известно, как говорилось выше.
Известны только пары углов (a;b).

Так кто ведущий, а кто ведомый?

Поправил. Но ведь это не существенно для решения задачи.

[_Ivana]

Я бы делал "в лоб" - при включении инициализация, нахождение текущего (на данный сеанс работы) N - аналитически по тригонометрии (должно решаться тривиально), в железе - по таблично заданной функции. А далее просто - b является при известном N функцией от a, аналитически она выразится через какую-то тригонометрию, эту функцию в виде таблицы закладываете хоть в ведущего хоть в ведомого (у кого ресурсов больше), вычисляете b. Если нужна точность - интерполируете эту таблично заданную функцию до нужной степени точности на этапе расчета b. Повторюсь что сам расчет можно вести хоть в ведущем, хоть в ведомом, хоть половину там и там.

Для случая прямой уравнение связи параметров такое: ctg(a) + ctg( = M/N, где M - расстояние между орудиями (5-й класс средней школы). При стартовой привязке по нескольким парам углов вычисляете поточнее ваше значение M/N для данной конфигурации, запоминаете его и все. Расчет угла ведомого: считаете (по таблице с интерполяцией) котангенс угла ведущего, вычитаете его из имеющегося параметра M/N и берете арккотангенс результата (по таблице с интерполяцией).
Для других случаев просто будут другие уравнения связи параметров. И можно рисовать любые фигуры, которые луч ведущего пересекает только один раз при любом своем угле.

[Misile_Inc]

_Ivana, спасибо большое! буду вспоминать 5й класс.

[_Ivana]

Пожалуйста Кстати, для случая окружности с центром в одном из орудий уравнение выглядит так:

Код

ctg(b) = (M/R - cos(a))/sin(a)

M/R аналогично находите из первых привязок, далее по a получаете b через пару табличных функций (для sin и cos одна таблица четверти периода). Только пара моментов:
1) если решать относительно a (с центром в ведомом), то придется численно решить вышеприведенное уравнение относительно a, что немного сложнее
2) нули синуса (как теоретические так и машинные) = бесконечность котангенса и, как следствие, +- нулевой угол, обойдете при реализации самостоятельно, это просто.

[_Ivana]

Поставил Матлаб, нравится, балуюсь
Для линии:

CODE

M = 5;
N = 3;

x_i = zeros(1, 2);
x_i(2) = M;
y_i = zeros(1, 2);
x = 0;
y = 0;
al_eps = 0.01*pi;
al = al_eps;
while al <= (pi - al_eps)
be = acot(M/N - cot(al));
% if be < 0 be = be + pi; end

k1 = tan(al);
k2 = -tan(be);
x0 = k2*M/(k2 - k1);
x = [x x0];
y = [y x0*k1];

al = al + 0.001*pi;
end
x(1) = []; y(1) = [];

figure(1)
clf reset
p_y_i = plot(x_i, y_i, 'or');
set(p_y_i,'LineWidth', 4);
title('Линия на расстоянии 3 от линии ведущий - ведомый')
xlabel('Ведущий: 0, ведомый: 5')
text(1, -2, 'A')
text(x_i(2) + 1, -2, 'B')
hold on
plot(x, y, '-x')
hold off
grid on
axis equal

Для окружности:

CODE

M = -2;
N = 3;

x_i = zeros(1, 2);
x_i(2) = M;
y_i = zeros(1, 2);
x = 0;
y = 0;
al = 0;
while al <= 2*pi
be = acot( (M/N - cos(al)) / sin(al) );
% if be < 0 be = be + pi; end

k1 = tan(al);
k2 = -tan(be);
x0 = k2*M/(k2 - k1);
x = [x x0];
y = [y x0*k1];

al = al + 0.001*pi;
end
x(1) = []; y(1) = [];

figure(1)
clf reset
p_y_i = plot(x_i, y_i, 'or');
set(p_y_i,'LineWidth', 4);
title('Окружность радиуса 3 с центром в ведущем')
xlabel('Ведущий: 0, ведомый: -2')
text(0.1, -0.2, 'A')
text(x_i(2) + 0.1, -0.2, 'B')
hold on
plot(x, y, '-x')
hold off
grid on
axis equal

Эскизы прикрепленных изображений

 

[_Ivana]

UPD все-таки непривычно мыслить многомерными векторами.... Вот так получше будет, методически правильнее

CODE

M = 5;
N = 3;
al = 0.01*pi:0.001*pi:(pi - 0.01*pi);
be = acot(M./N - cot(al));
x = -tan(be).*M./(-tan(be) - tan(al));
y = x.*tan(al);

clf reset
set(plot([0, M], [0, 0], 'or'), 'LineWidth', 4);
title('Линия на расстоянии 3 от линии ведущий - ведомый')
xlabel('Ведущий: 0, ведомый: 5')
text(1, -2, 'A')
text(M + 1, -2, 'B')
hold on
plot(x, y, '-x')
hold off
grid on
axis equal

CODE

M = -2;
N = 3;
al = 0:0.001*pi:2*pi;
be = acot( (M./N - cos(al)) ./ sin(al) );
x = -tan(be).*M./(-tan(be) - tan(al));
y = x.*tan(al);

clf reset
set(plot([0, M], [0, 0], 'or'), 'LineWidth', 4);
title('Окружность радиуса 3 с центром в ведущем')
xlabel('Ведущий: 0, ведомый: -2')
text(0.1, -0.2, 'A')
text(M + 0.1, -0.2, 'B')
hold on
plot(x, y, '-x')
hold off
grid on
axis equal

[_Ivana]

Наконец-то я частично решил эту примитивную задачку
Если исходная кривая задается в аналитическом (или табличном) виде в полярных координатах с центром в ведущем - например как r(a), то угол b ведомого, расположенного в точке (М, 0) будет выражаться: b = acot( (M/r(a) - cos(a)) / sin(a) )

Эскизы прикрепленных изображений

 

[Mrrl]

Вот только параметры функции r(a)/M придется как-то получать ("на этапе настройки"). Для приведенных картинок это может быть не совсем тривиально

[_Ivana]

Очень просто. Считаем r(a) = N*r1(a), где r1(a) - "единичная" функция фигуры, N - коэффициент её масштаба. При привязке задаем любой a0, считываем соответствующий ему b0, по ним из уравнения (что тривиально делается аналитически) находим M/N - наш неизвестный безразмерный коэффициент, определяющий масштаб фигуры относительно расстояния между орудиями.

[Mrrl]

Да, если ведущий действительно в центре подобия, и ориентация фигуры ему известна.

[_Ivana]

Поэтому я и писал про частичное решение. Если ведущий не в центре подобия - тогда... надо подумать Овалы я вроде так рисовал, а в общем случае... Есть одна идейка, также на уровне 5-го класса, если получится - сейчас проверю.
Ну а если ему неизвестна ориентация фигуры - тогда, простите, решения не существует - фигуры нет как таковой

ЗЫ - вот, действительно снова 5 класс. И смещение из центра подобия ведущего, и поворот.

Эскизы прикрепленных изображений

 

[Mrrl]

Фигура есть, просто у нее больше параметров. И для настройки потребуется больше одной точки. Например, цель движется по произвольной кривой второго порядка - ну и что, за 5 прицелов функцию a®/M можно найти. Но лучше это делать не на борту, а на командирском лаптопе.

[_Ivana]

Вы расширяете задачу весьма. Хорошо, я согласен, если фигура и орудия заданы стационарно - то можно привязаться по большему числу точек - если заранее известны параметры фигуры. Кстати, если неизвестны - то метод привязки по большому числу точек вырождается в простое очерчивание - то есть прогоняем ведущего по всему кругу с малым шагом, запоминаем отсчеты ведомого - и потом интерполируем эту таблицу при работе. Но ведь вы же сейчас скажете - а если фигура нестационарна?

ЗЫ вы, кстати, случайно не начальник автора темы?

[Mrrl]

Случайно нет. Да, в обеих формулировках задачи ведущий находится в центре подобия, и калибровать нужно только один параметр (кстати, из исходной формулировки не следует, что известно направление прямой, соединяющей орудия - но это уже вопрос к автору).
В случае нестационарной фигуры задача неразрешима. В случае, когда луч, проведенный из ведущего, пересекает фигуру в двух и более точках (как у вас на последних картинках) - тоже.

[_Ivana]

кстати, из исходной формулировки не следует, что известно направление прямой, соединяющей орудия - но это уже вопрос к автору

Следует и известно. Просто у автора неявно полагается, что углы a и b отсчитываются именно от прямой соединяющей орудия. Но если расширить задачу и считать что это не так - придется вводить прямую отсчета углов относительно фигуры и линии орудий.

В случае нестационарной фигуры задача неразрешима.

Очень даже разрешима. Только добавляется параметрические зависимости параметров системы (расстояния между орудиями, вид/положение/направление/размер фигуры) от времени. Если все эти зависимости известны - решение то же самое. Хотя с привязкой немножко посложнее

В случае, когда луч, проведенный из ведущего, пересекает фигуру в двух и более точках (как у вас на последних картинках) - тоже.

Ну, смотря что считать решением. Если только строгую однорзначную функциональную зависимость b(a), то нет. А если допускать счетную неоднозначность решения - 2 угла b при одном a, или же если считать задачу не потенциальной - то есть зависимой от пути прихода a в свое значение (как у меня на последних картинках и сделано) - то все очень даже имеет решение - что и демонстрируют мои последние картинки

[Mrrl]

Как только зависимость b(a) перестает быть однозначной - мы приходим к нелинейным уравнениям и прочм неявным функциям. А это уже не 5-й класс (в отличие от котангенса) По картинкам трудно понять, а что же именно там сделано

[_Ivana]

Согласен и с тем и с другим
В последних картинках фигура задается (в системе с центром в ведущем) параметрическими уравнениями [r(w), a(w)], которые получаются из исходного уравенения фигуры r'(a') в системе координат с центром в другой точке (там же определяется масштаб и поворот фигуры) через перевод в декартову систему координат, линейное смещение осей и перевод обратно в полярную систему с центром в ведущем С точки же зрения ведущего, в дальнейшей работе надо "всего лишь" определить в каком текущем множестве кейсе пересечения линий фигуры лежит луч ведущего (из истории его изменения после привязки) и в текущем изменении внутри границ кейса считать по формуле, а при переходе границы кейса - менять кейс

[Mrrl]

"считать по формуле"? По какой? Даже в простейшем случае окружности со смещенным центром (в точку (c,a0) относительно ведущего) мы имеем уравнение
r(a)^2-2*c*r(a)*cos(a-a0)+(c^2-R^2)=0, где R - радиус окружности. При этом величины R,c,a0 и M (расстояние до ведомого) заранее не определены. Ну, квадратное уравнение мы решить можем. Но что за формула будет в случае сердечек и звездочек, боюсь даже представить

[_Ivana]

Насчет "заранее не определены" - да, я уже отмечал что привязка несколько усложнится
А насчет "по какой формуле" - давайте декомпозируем задачу. Допустим, мы знаем при любом a длину отрезка r от точки ведущего до нужной точки фигуры - то есть знаем r(a), даже в случае неоднозначного функционального определения - через кейсы и путь прихода в данный угол (разумеется, считая что a изменяется непрерывно от времени а не скачками). Так вот, если мы знаем r(a) для любого a, то b считается по формуле, написанной на предыдущей странице. Теперь остается только вопрос определения r(a) при сложных фигурах и неоднозначных функциях. Тут можно посоветовать следующее (это не единственный вариант) - вместо прямого расчета r(a) с такими фигурами, мы составляем таблицу (хоть через то же наше параметрическое задание фигур) с необходимым шагом по a (точнее с необходимым шагом по параметру, приводящему к необходимому шагу по a) и при работе по нашему текущему a получаем текущее r любым из методов интерполяции
UPD это все просто в случае заранее известных всех параметров фигуры относительно ведущего - но при этом расстояние ведущий-ведомый может плавать, т.к. оно вообще не фигурирует при определении фигуры относительно ведущего и используется только при финальном расчете b. В случае же заранее неизвестных каких-либо параметров фигуры при известных некоторых её показателях (фразу звучит забавно, но это из серии "некая кривая второго порядка" ) задача действительно ещё немножко усложняется, примерно как вы показали на примере окружности заранее неизвестного радиуса и центра Но тут уже все определяется соотношением того, что мы заранее знаем о фигуре а что нет.

В принципе, при статической фигуре мы можем вообще просто воткнуть ведомого в любое место, пробежать многочисленными привязками пар a-b по всей фигуре, получить таблицу r(a) с учетом всех кейсов и неоднозначностей, и в дальнейшем использовать её для любого положения ведомого M.