Перетекание тока между кондёрами - система дифур для детей., Познавательная разминка для ума Опции

[javalenok]

Два кондёра. В начальный момент один заряженный (U1) другой - нет (U2=0). Их разделяет ключ и катушка (L). На качественном уровне рассуждений, при замыкании ключа, ток из C1 потечёт в C2. Потом он остановиться и потечёт в обратную сторону. Ограничимся одним периодом, поставив идеальный диод в направлении тока.

Поставим кондёры одной ногой на землю. Можно записать следущие уравнения:

Код

(1) di/dt = (U1-U2)/L
(2) dU1/dt = -i/C1   => (дифф по t) => -U1'' = i'/C1 => -C1U1'' = i'
(3) dU2/dt = i/C2   => (дифф по t) => U2'' = i'/C2 => C2U2'' = i'

откуда

(4) (U1-U2)/L = -C1U1'' = C2U2''

Не умею решить систему (4). Может кондёры можно в 1 эквивалентный свести и получить обычный гармонический осциллятор?

К чему я вобще за неё взялся, в чём соль задачи? Недавно познакомился со схемой удвоителя напряжения на конденцаторах. По отзывам рекомендателей - идеальная схема для повышения постоянных напряжений умеренной мощности. При использовании ШИМ позволяет получить любые коэффициенты. Главное достоинство - отсутствие каких-либо шумов. Однако, собственное расследование, с обращеним в всемирному разуму приоткрыло глаза. Оказалось, что она работает более-менее эффективно только благодаря паразитным индуктивностям. Известен курьёзный случай с одним американским оборонным проектом, когда для повышения КПД избавились от индуктивности... и схема перестала работать.

Парадокс в том, что когда у вас есть два, для простоты одинаковых, конденцатора один из которых заряжен до U и следовательно обладает энергией E0 = C*U^2/2, а второй - пустой, то при их соеденении половина заряда перетекает на второй и общая энергия становиться E1 = C*(U/2)^2/2 * 2 = C*U^2/4 = E0/2, т.е. уменьшается вдвое. Другими словами, столб воды высотой 2h вчетверо более энергетичен другого высотой h. По-видимому, при соеденении сосудов нельзя забывать про переходный (колебательный) процесс. Все заряды сперва полностью перетикают в одну ёмкость, затем возвращаются в первую. Инерция - та физическая сущность, что доставляет потенциал из одного места в другое. Процесс останавливается из-за резистивных потерь на трение. Мой интерес узнать сколько энергии теряется за один полупериод колебаний. Ирает ли роль отношение паразитных сопротивления и индуктивности на КПД, в смысле нужно ли ставить дополнительную катушку, для повышения КПД?

Чуть по-позжее, в уравнения нужно будет добавить резистор.

[Andrew10]

Привет!

Из (4) следует закон сохранения заряда:

C1 U1 + C2 U2 = Q0 ( начальный заряд на первом кондерсаторе). Отсюда можно исключить, например, U2 и тогда получится уравнение осциллятора с частотой 1/sqrt(C L), где C = C1 C2/(C1+C2) - емкость последовательно соединенных конденсаторов. Только в правой части будет постоянная величина, пропорциональная начальному заряду, а не нуль. От нее можно избавиться, переходя к новой переменной, отличающейся от U1 на константу.

По поводу парадокса - это известный фокус, связанный с тем, что заряды равны и постоянны (в предположении С1 = С2), если установилось состояние равновесия, для чего нужно учитывать сопротивление. Если сопротивления нет, то в момент, когда Q1 = Q2 обязательно есть также ток через индуктивность, так что энергия в этом случае сохраняется. Но, впрочем, судя по Вашему письму, это Вы и сами понимаете.

[javalenok]

С зарядом - клёво, только он из логики вещей следует. Каким образом вы с такой лёгкостью от вторых призводных избавились, формально?

Теперь, запираем напругу диодом на эквивалентном кондёре. Ток перетечёт в него за полупериод. Вычислим распределиление напряжения U меж двумя физическими кондёрами. Используя сохранение заряда и разделение напряжений между кондёрами получим систему:

(1)
CU = C1U1 + C2U2
U = U1 + U2
C = C1C2/(C1+C2)


Решение:
(C/C1-1)U = (C2/C-1)U2,
(C2/(C1+C2)-1)U = ((C2-C1)/C1)U2,
(-C1/(C1+C2))U = ((C2-C1)/C1)U2,
(C1/(C1+C2))U = ((C1-C2)/C1)U2,

U2 = C1^2/(C1^2-C2^2)U = 1/(1-C1^2/C2^2)U

Получается, что при равенстве ёмкостей, второй зарядится до бесконечности 1/(1-1)

[Andrew10]

Добрый день!

1. Закон сохранения заряда следует из (2) и (3) Вашего первого письма. Складываете их и один раз интегрируете. Константа интегрирования определяется первоначальным зарядом.

2. Рассуждение с включенным диодом не очень понятны. Если нарисуете схему, куда он включен, может станет более понятным.

Сообщение отредактировал Andrew10 - Mar 17 2006, 08:59

[javalenok]

Диод я поставил сразу за катушкой, переносящей заряды между кондёрами C1 и C2, чтобы ток будучи перетекшим из C1 в С через катушку не потёк назад. В механической модели маятник делает одно колебание слева вправо и мы его там заклиниваем. Схема прежняя: два кондёра, из которых один заряжен U1 соеденены одними своими концами. Другие концы разделюет последовательно включёные ключ (извините за тавтологию), катушка и диод. Замыкая ключ, ток пойдёт в одну сторону из заряженного кондёра во второй. Даже когда напряжение на нём упадёт меньше C2, катушка всё равно будет сосать из него заряды. Зарядив кондецаторы, ток спадёт и остановится. Какие напряжения получатся на кондёрах?

С последней моей системой 2-х заряженных кондёров что-то не в порядке. Было бы логично, что при равных ёмскостях (C1 = C2 = C12 = 2*C) напряжения поделятся по-ровну (U1 = U2 = U12 = U/2). Положив U1 = U/2, из (1.2) получаем U2 = U - U/2 = U/2, что логично. Далее, ряд приведений (1.1):

CU = C12U/2 + C12U/2,
C = С12/2 + С12/2 = С12.

Тогда как два равных последовательных кондёра ёмкостью С12 должны давать эквивалентную ёмкость C = С12/2. Система (1) явно не совместна. В каком месте, не подскажете?

[Andrew10]

Ну тогда поехали по полной. См. прикрепленный файл.

Прикрепленные файлы

 1.pdf ( 37.78 килобайт ) Кол-во скачиваний: 184

 

[javalenok]

Перечитал 2-й том Фейнмановских лекций, чтобы вспомнить как подобные дифуры щёлкаются. Интересно пишет. Главное организация поражает. С вращательного движения переходят на осциллятор, затем пересказывается теория чисел с алгеброй и вводятся натуральный логарифм и комплекные чисела. В следующей главе осциллятор добивают резонансом и переходят к переходным решениям.

Глава переходные решения (нас ведь именно такое интересует, а не установившееся) начинается с абзаца об энергии осциллятора. Её итогом является величина Q - отношение накопленной энергии к работе за цикл. При W близкой W0 это отношение равняется добротности контура Q = W0/y = LW/R. Кажется моё предположение о том, что в схеме удвоителя напряжения без индуктивности доля энергии переданной из кондёра в кондёр, т.е. КПД удвоителя, определяется отношением паразитных L/R, оказывается верным.

Прикиньте, провидение у людей. Сначала учат как составлять уравнения и их решать. Потом всё решают за нас. Я в трансе.

[javalenok]

И ещё говорит, что решать линейные уравнения в случае синусоидальнх сил - "десткая забава". Точно наш случай.

[javalenok]

Ну тогда поехали по полной. См. прикрепленный файл.

Что-то прочтение Фейнмна как-то не помогает решать уравнения вида x''+w^2x = const. Когда сила в правой стороне уравнения представлена косинусом или константа 0, то - нет проблем, но когда там константа не равная нулю - проблема. В принципе, нуль можно рассматривать как гармоническое колебание нулевой амплитуды, а любую постоянную как колебание нулевой частоты. Или даже разложить постоянную в ряд фурье на гармонические колебания, решить и сложить решения по принцыпу суперпозиции откликов линейной системы. Вот вы как поступили?

В связи с этим, хочется узнать, как вы решили уравнение u1''+w^2u1 = u01/c2L? Должно быть какое-то известное общее решение. Верно? Как составили - догадался. Из закона сохранения заряда u2 = c1/c2*u1+q0/c2. Подставляем полученное выражение для u2(u1) в i' = (u1-u2)/L = u1/L*(1-c1/c2)-q0/c2L. После чего деффиринцируем u1' = -i/c1, получая u1'' = -1/c1*i' и подставляем наше выражение для тока i(u1): u1'' = -1/c1L *(1-c1/c2)u1 + q0/c1c2L. Частота маятника в механике w=sqrt(k/m), в электричестве аналогом массы является L, а 1/С - аналогом жёсткости пружины, поэтому обозначв (1-c1/c2)/c1 через k и получим u1'' + k/L u1 = u10/c2L, где u10 - начальное напряжение первого конденцатора. Осталось его решить.

Я пощёл по такому пути - продиффиринцировал ещё разок. Получилось u1'''+ k/L u1' = 0, то есть константа справа исчезла. Такие штуки мы решать умеем, просто пишем u1 = A cos(wt) или Aexp(iwt) для понта:
u1' = -w A sinwt;
u1'' = -w^2 A coswt;
u1''' = w^3 A sinwt;

w^3 A sinwt - k/L w A sinwt = 0 | : A w sinwt
w^2 - k/L = 0, откуда частота колебаний w = sqrt(k/L), как и положено.

Но не всё ладно в датском королевстве. Подстановка в исходное диффуро -w^2 A coswt + w^2 A coswt = 0 = u10/c2L, что не верно. Видать, в некоторых случаях нельзя дифференцировать обе части уравнения, во избавлении от нежелательных членов.



Поначалу, я пробавал решить относительно тока. Дифференцируя i' = u1/L*(1-c1/c2) - q0/Lc2 получим i'' = u1'/L*(1-c1/c2) = [u1' = -i/c1] = -i/Lc1*(1-c1/c2). Обозначая по традиции (1-c1/c2)/c1 = k, получаем тривиальное i'' + k/L i = 0. Очевидно, что уравнение совершенно ошибочно, поскольку решение в виде cosWt подразумевает начальнй ток в момент t=0. Вышеприведённый вариант с напряжением пропорциональным косинусу более правдоподобен. Такое чувство что любую линейную систему можно не нарушая правил математики свести к уравнению x'' = - k/L x, хотя это не гарантирует правильного решения. По-видимому уравнения нельзя дифференцировать когда есть независимые члены (от времени).

Чего-то фейнман недоговорил. Или я недоглядел. Неужели физику на это дело надо ещё доплнительный спецкурс математики проходить?

[__Alex]

Закон сохранения энергии ещё никто не отменял .
Составь энерго-баланс системы и шлёпай уравнения .
В момент Т0 вся энергия сосредоточена в первом кондёре .
В момент времени Т1 имеется равенство напряжений у кондёров и сумма энергий : двух кондёров,индуктивности и энергия ушедшая на разогрев воздуха )).
В момент времени Т2 энергия кондёров + тепловая .
Т.к. индуктивность перекачивала заряды от первого кондёра ко второму , то энергия второго кондёра равна энергии к моменту Т1 + энергия индуктивности (теплом в первом приближении можно принебреч )

[javalenok]

Вы мне скажите для начала, в каких случаях диффуро разрешено дифферинцировать и как Андрейка решение получил.

Сообщение отредактировал javalenok - Mar 30 2006, 10:26

[Andrew10]

В момент времени Т2 энергия кондёров + тепловая .
Т.к. индуктивность перекачивала заряды от первого кондёра ко второму , то энергия второго кондёра равна энергии к моменту Т1 + энергия индуктивности (теплом в первом приближении можно принебреч )

Насколько я понимаю, интересует именно влияние сопротивления, поэтому теплом пренебрегать нежелательно.

Для того, чтобы научиться решать дифуры подобного типа, рекомендую книжку
Федорюк. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Это, насколько я помню, физтеховский учебник.

Решение уравнения осциллятора с затуханием и произвольной правой частью может быть выписано в явном виде, благодаря линейности уравнения.
Если уравнение осциллятора имеет вид
,
то его решение, удовлетворяющее условиям x=x0 и dx/dt = v0 при t=0 имеет вид


Здесь

Бери произвольную силу F(t), интегрируй и все.

Для того, чтобы научиться оперировать с такими уравнениями, могу порекомендовать сравнительно новую книгу на русском языке:
Д.И.Трубецков, А.Г.Рожнев. Линейные колебания и волны.
Про осциллятор под внешним воздействием читай главы 5 и 6.

В сети в электронном виде ее нет, поэтому выкладываю файл на webfile.ru. Это рукопись, как она была представлена в редакцию, а не сканы. Ко мне попала от авторов.
Провайдер ограничивает размер отсылаемых файлов, поэтому все разбито на два по 2 Мгб.

_http://webfile.ru/885494 файл будет доступен минимум до 06.04.2006 14:55.
_http://webfile.ru/885565 файл будет доступен минимум до 06.04.2006 15:29

Пароль на архив: electronix.ru

[javalenok]

Спасибо огромное, вы в полной мере удовлетварили мой интерес. Только анализ формулы озадачил маленько. На первый взгляд, всё вроде понятно, смысл всех закорючек ясен. Однако выходит, что если сила потоянная, то второй член суммы, который с интегралом, равен нулю. Значит получается, что значения не имеет и его можно принять нулевым? Когда нет трения остаётся:

x(t) = x0 cos(wt) + v0/w * sin(wt),
w = w0.

Коль скоро ток наш начальный равен нулю, то и синус тоже отпадает. Однако решение u1(t) = u10 cos(w0t) не соответствует приведённому в ПДФ файле. Дополнительное замешательство вызвано реактивным синусом v0/w * sin(wt), который бы вклинился в гармоническое колебание, придай мы нашей катушке начальный ток..

Сообщение отредактировал javalenok - Mar 30 2006, 15:35

[javalenok]

Оба файла в одно папке лежат:

------------------------
! Desktop\oscwave\oscwave.part1.rar: CRC failed in the encrypted file oscwave.pdf (wrong password ?)
! Desktop\oscwave\oscwave.part1.rar: Unexpected end of archive
! CRC failed in the encrypted file oscwave.pdf (wrong password ?)
------------------------

[Andrew10]

Оба файла в одно папке лежат:
------------------------
! Desktop\oscwave\oscwave.part1.rar: CRC failed in the encrypted file oscwave.pdf (wrong password ?)
! Desktop\oscwave\oscwave.part1.rar: Unexpected end of archive
! CRC failed in the encrypted file oscwave.pdf (wrong password ?)
------------------------

1. Не понял этого сообщения. Ты хотел сказать, что файлы повреждены?
Сейчас для проверки скачал назад с webfile.ru и все распаковалось с указанным паролем и pdf-файл открылся. Так что с архивом все в порядке.
Распаковывал WinRar-ом, версия 3.20 beta 4.
На всякий случай, версия pdf 1.6 (Acrobat 7.0)


2. Если F(t) =F0 константа, то интеграл вовсе не равен нулю. Вычислять нужно аккуратнее. Интеграл равен сумме двух слагаемых, одно из которых константа, и равна F0/(w0)^2 - это новое положение равновесия из-за присутствия постоянной силы. Другое слагаемое затухает со временем по экспоненте с показателем (-gamma t). Эта функция по структуре точно такая же, как первая сумма в полном решении из моего предыдущего письма. Объдинив их, получим ччасть решения, описывающего постепенное затухание колебаний вокруг нового положения равновесия.

[javalenok]

Ага, ещё ошибку у себя откопал. У нас k равно (1+с1/с2)/с1, тады стандартная ёмкость двух кондёров с1с2/(с1+с2) правильно вырисовывается.

1. Где вы такой древний winrar откапали 3.20.4? Самый старый на сайте - 3.51.

2. С дуру показалось, что штрих при времени к силе относится. Я бы так последний член расписал: 1/w * int_0^t {exp(γ) * sin (t0-t) F(t) dt}.


Значит, для постоянной силы, t0=0 и нулевого сопротивления, учитывая что производая косинуса F/w^2 * cos' wt = F/w sin(-t), имеем:
F/w int(sin w(-t) dt) = F/w^2 * cos wt|0..t = F/w^2 cos wt | 0..t = F/w^2 (cos wt - 1).

Итого:
x(t) = x0 cos(wt) + F/w^2 (cos wt - 1) = (x0 + F/w^2) cos (wt) - F/w^2

Проверка:
x' = - w (x0 + F/w^2) sin (wt);
x'' = - w^2 (x0 + F/w^2) cos (wt);
x'' + w^2x = - w^2 (x0 + F/w^2) cos (wt) + w^2(x0 + F/w^2) cos (wt) - F = - F;

Решение верно, с точностью до знака -F вместо +F. Я не понял, как от минуса избавиться, однако можно угадать правильное решение. Оно получается, если принять интегральное слагаемое равным F/w^2 (cos (wt) + 1) и соответсвенно
x(t) = (x0 + F/w^2) * cos (wt) + F/w^2.

Идём дальше, подставляем x => u1 и F => u10/Lc2. При этом F/w^2 = u10/Lc2 * Lc1c2/(c1+c2) = u10c1/(c1+c2):
u1(t) = (u10 + u10c1/(c1+c2)) * cos (wt) + u10c1/(c1+c2) = u10c1/(c1+c2) ( ((c1+c2)/c1 + 1) cos wt + 1) = u10c1/(c1+c2) ( (2+c2/c1) cos wt + 1).

Снова расхождение. У вас перед косинусом стоит чисто c2/c1 без +2. Хотя оба решения отвечают уравнению. Вообще, уравнение u1'' + w^2u1 = u10/Lc2 удовлетворяется любым u1(t) = u10c1/(c1+c2) ( (A+c2/c1) cos wt + 1). Кажется ясно, у вас косинус имеет коэффициент -1. Или чуточку по-проще: решением уравнения x1'' + w^2x1 = F является x(t) = F/w^2 + A cos wt. Для того чтобы найти A приходится подставлять x(t0) = F/w^2 + A cos(wt0) = x0, A = (x0-F/w^2)/cos(wt0), несмотря на то что формула решения, имёющаяся в нашем распоряжении, вроде как начальные условия уже учитывает. У нас выходит, что A =c2/(c1+с2). Тогда u1(t) = u10c1/(c1+c2) + A cos wt = u10c1/(c1+c2) (1+ c2/c1 cos wt). Уфф, сошлось.

i' = (u1-u2)/L = u1/L*(1+c1/c2)-u10c1/c2L = u10/L( (1+c1/c2) c1/(c1+c2) (1+c2/c1 cos) - c1/c2) = [(1+c1/c2) c1/(c1+c2) = (c1+c2)/c2 * c1/(c1+c2) = c1/c2] = u10/L * c1/c2 * (1+c2/c1 cos - 1) = u10/L * c1/c2 * c2/c1 cos wt = u10/L cos wt

Для проверки можно взять условие u1' = -i/c1, вычислить производную u1', вызазить ток i и посмотреть совпадёт ли производная тока i' с только что наёденной:
u1' = u10 c1/(c1+c2) c2/c1 (-w) sin wt = -w u10 c2/(c1+c2) sin wt = -i/c1
i = -u1'*c1 = w u10 c1с2/(c1+c2) sin wt = u10 w c sin wt
i' = u10 w^2 c cos wt = [w^2 = / Lc] = u10/L cos wt (Ура! сходится с предидущим результатом)


Заряд произойдёт за время t1 = sqrt(LC)*Pi. И это я ещё не касался сопротивлений.


Есть сильное подозрение, что в интрегале у вас напутано: если заменить переменную интегрирования с t' на t, тогда чётко выходит F/w 0_int_t(sin w(t-t0) dt) = [t0 = 0] = - F/w^2 (cos wt - 1) = F/w^2 - F/w^2 cos wt и свободный член F/w^2 получается положительный, как должно.

Сообщение отредактировал javalenok - Mar 31 2006, 18:50

[Andrew10]

Нет, формула правильная. Вы неверно интегрируете. Если gamma=0, то слагаемое с интегралом имеет вид
(F0/w0) int( sin(w0(t-t1)) dt1),
причем интегрирование ведется именно по t1 в пределах от 0 до текущего значения t. После интегрирования получаем
(F0/w0^2)(cos(t-t1)|t..0=F0/(w0^2)(1-cos(w0 t))
(подстановка делается для t1!).. Это, как легко убедиться, решение уравнения без затухания, удовлетворяющее начальным условиям с нулевым смещением и нулевой скоростью при t=0. Вместе со слагаемыми, содержащими x0 и v0, получается решение, удовлетворяющее нужным ненулевым начальным условиям.

Предлагаю, чтобы не плодить дальше флуда, если у Вас остались вопросы, пишите в ПМ.

Сообщение отредактировал Andrew10 - Mar 31 2006, 19:44

[javalenok]

Терь понял, что имелось ввиду. Та t, что в пределе, она же и в формуле. Спасибо, пойду вспоминать как по частям интегрировать.

[javalenok]

Я тут покумекал, можно ли заменять конденцаторы одним с С = с1с2/(с1+с2) и детские болезни всплыли.

По условию, вся первоначальная энергия колебательного контура сконцентрирована в первом конденцаторе: Е(с1) = 1/2*c1u10^2. Эта же энергия в эквиваленте С запишется: Е = 1/2 сu0^2, откуда новое напряжение u0 = u10√(c1/c2+1). То есть, при уменьшении ёмкости кондерцатора в N раз, дабы сохранить энергию, напряжение на нём возрастает в корень из N раз, а заряд соответственно уменьшится в корень из N раз. То есть, сохранение энергии входит в конфликт с сохранением напряжения и заряда. Получается, что если на голову пустого кондёра поставить заряженный, напряжение на последовательно включённой паре конденцаторов увеличится с U10 до U0. Как это происходит? А тот закон, что падение напряжения на участке последовательно включённых элементах линейной цепи равняется сумме падений на каждом, выходит не очень-то и выполняется. Так? Применительно к нашему случаю, значит ли сие, что мы не можем так просто заменить последовательные конденцаторы эквивалентом (ну, хотя бы для того чтобы ток i(t), например, вычислить по упрощённой схеме)?


Ещё более детский вопрос. Касаемся одной клеммой заряженного конденцатора до пустого. Произойдёт ли при этом перезаряд (перегруппировка заряда)? Ведь, какова механическая модель конденцатора - ёмкость с пружинной мембраной - при протекании тока мембрана смещается, на ней возникает сила. При внедрении в поток ещё одной мембраны жёсткость конструкции (k=1/c) возрастёт, поскольку толкать две пружины тяжелее - ёмкость уменьшается. Висячие концы можно рассматривать как соединение через ещё один конденцатор нулевой ёмкости, который останавливает любой ток. По идее, разрыв цепи должен блокировать движение мембран (забудем про утечки). Но червь под названием "школьная физика электропроводников" заставляет думать, что электроны, накопленные на одной пластине, будут притягивать или отталкивать электроны в проводе, соеденяющем конденцаторы, и вызывать изменение потенциала на висячей пластине второго конденцатора на противоположный соедениельному проводу. Выходит, что кондецаторные мембраны всё же могут смещатся в отсутствии замкнутой цепи. Так же правильно?

Сообщение отредактировал javalenok - Apr 3 2006, 19:42

[Andrew10]

Добрый день!


1. Мне кажется, что если не учитывать "вылезание" поля за пределы конденсатора, то при подсоединении к заряженному конденсатору незаряженного ничего не произойдет. Заряд так и останется на внутренней поверхности пластин первого конденсатора. Для реальных конденсаторов если и будет перетекание, то очень маленькое по сравнению с тем количеством заряда, которое перераспределится по замкнутой цепи.
Поэтому все рассуждения в предыдущем письме теряют смысл.

2. Большая просьба писать конденСатор через "c", а то можно одуреть от чтения "конденЦаторов".


Всего наилучшего!

[javalenok]

Добрый день!

И вам.

1. Мне кажется, что если не учитывать "вылезание" поля за пределы конденсатора, то при подсоединении к заряженному конденсатору незаряженного ничего не произойдет.

Если электрическое поле как-то прорывается через изолятор, то сквозь проводник оно распространяется не встречая преград. Поэтому, электроны, залитые на пластину со стороны висячего конца первого кондёра, будут отталкивать электроны со второй пластины, и те скопятся на пластине пустого кондёра, а та в свою очередь создаст напряжение на парной пластине. Ведь говорят же иногда "заряд накапливается в сегменте проводника, когда втекающий заряд превышает вытекающий". Не вижу, как это согласуется с мембранной моделью конденсатора, в которой протекающий ток напрягает внутренюю мембрану, т.е. ток одинаков во всех точках контура.

Поэтому все рассуждения в предыдущем письме теряют смысл.

И попытка заменить последовательную пару эквивалентом тоже обречена на провал? Если фактом можно так просто отменить любые рассуждения, может и физику детям в школе заменить практическими занятиями? Типа, модели - бессмысленная трата времени, берите конденцаторы, вольтметры и смотрите, что реально получиться. Всё сразу станет ясно.


И ещё такой вопрос. Когда имеем дело с вынужденными колебаниями без затуханий, т.е. когда груз колеблется под действием силы F = cos(wt), то отклик равняется x(t) = Fcos(wt)/m(w0^2-w^2). Амплитуда будет ограничена только разницей между вынуждающей и собственной частотами. Но сила действует постоянно, поэтому должна выполнятся какая-то работа. Как вычислить эту работу силы, на что она тратится если размах колебаний не увеличивается? Как понять "возврат энергии реактивной нагрузкой", в чём его нежелательность? Как можно подключать генератор к городской электросети, ведь например запрещается закорачивать выходы испочников постоянного тока.

Сообщение отредактировал javalenok - Apr 4 2006, 19:31

[Andrew10]

Ответ в ПМ

[javalenok]

Итак, вот что у меня получилось.

-- Система уравнений --

Ur = iR;
i' = (u1 - u2 - Ur)/L;
u1' = -i/c1;
c1u1 + c2u2 = c1u10.


Преобразуем:

u2 = c1/c2 u10 - c1/c2 u1;
i = -c1u1';
i' = u1/L (1+c1/c2) - u10/L c1/c2 - iR/L.


-- Уравнение --

u1' = -i/c1 => u1'' = -i'/c1 = - u1/Lc1 (1+c1/c2) + u10/Lc2 + iR/Lc1 = - u1/Lc1 (1+c1/c2) + u10/Lc2 - u1'R/L =
= -u1/Lc + u10/Lc2 - u1'R/L,

где с = с1с2/(с1+с2). Перенося в правую часть все переменные слагаемые:

: u1'' + R/L u1' + 1/Lc u1 = u10/Lc2

или, произведя замены R/L = 2y, 1/Lc = w0², F0 = u10/Lc2 и x = u1:

: x'' + 2y x' + w0² x = F0.


-- Решение --

Общее решение великодушно представлено андрейкой. Интеграл в нём равен:

S = exp(y(t'-t))/w0² * (γsin w(t-t') + wcos w(t-t')),
S|0..t1 = w/w0² * (1-exp(-yt)(y/wsin wt - cos wt) ).


Решение, опуская для краткости арг. (wt) в тригофункциях:

x(t) = exp(-yt) (x0 cos + x0y/w sin) + F0/w0^2 * (1 - exp(-yt) (y/w sin + cos)) = exp(-yt) [x0(cos + y/w sin) - F0/w0² * (y/w sin + cos)] + F0/w0² = exp(-yt) (cos + y/w sin) (x0 - F0/w0²) + F0/w0² =
= (x0w0²- F0)/w0² * exp(-yt) (cos + y/w sin) + F0/w0² = x(t).


x' = (x0w0² - F0)/w0² * exp(-yt) (-y(cos + y/w sin) -w sin + ycos) = (x0w0² - F0)/w0² * exp(-yt) (-sin) (y² +w²)/w = [w0 сокр.] =
= (x0w0² - F0) * exp(-yt) (-1/w * sin) = x'.

x'' = (x0w0² - F0) * exp(-yt) (y/w sin - cos).

Проверка: при подстановке в уравение (x'' + 2y x' + w0² x) сходится к F0:
x'' + 2y x' + w0² x = (x0w0^2 - F0) * exp(-yt) (y/w sin - cos - 2 y/w sin + cos + y/w sin) + F0 = F0.


Переходя назад к электрическим напряжениям:
u1(t) = u10/(c1+c2) * (c2 exp(-yt) (cos + y/w sin) + c1), что при отсутствии трения (y=0) вырождается в u10/(c1+c2) * (с1/c2 cos +1).
u2(t) = u10 c1/(c1+c2) (1 - exp(-yt) (cos - y/w sin)).
i(t) = u10/wL exp(-yt) sin.


В решении x(t) удачно совпадают два затухающих отклика. Ведь первую часть формулы, где x0 фигурирует, можно наверное рассматиривать как отклик на начальное смещение x0, а интегральное слагаемое - отклик на F0? Хотя любопытно, почему система уравнений разделяет начальное смещение U10 на x0 = U10 и постоянную силу F0 = U10/C2L? Думается, что в системе должна быть точка, задав начальное напряжение которой, F0 получится равным 0. Если бы нам удалось отыскать эту точку, то сила бы обнулилась и решение линейного диффуро стало бы тривиальным делом (дифференцирование комплексной экспоненты сводится к домножению на показатель степени). Фактически, постоянная сила F0 - смещение, вокруг которого происходят колебания, оно пропорционально начальному заряду. Когда они полностью затихнут, кондёры остануться заряженными. На обоих будет напряжение lim(u1, t -> ∞) = lim(u2, t -> ∞) = c1u10/(c1+c2). Значит, надо определить ту точку равновесия, где колебания происходять относительно нуля.

Подозрительны две вещи. Во-первых, у Фейнмана что чисто затухающий маятник, что под действием косинусоидальной силы, что предоставленный самому себе оставался косинусом. От трения изменялась только частота. У нас же в ряду появилась ещё одна гармоника y/w sin. Во-вторых, когда γ становилась больше w0, колебания исчезали и наблюдалось чисто экспоненциальное затухания. Это запомнилось очень отчётливо, поскольку тут лишний раз обращалось внимение на тесную математическую связь гармонических колебаний с экспонентой, которая физически себя часто проявляет именно таким переходом. Что-то я не вижу, как экспозатухания тут получить. Но положив γ > w0, с частотой действительно проблемы возникнут - обратится в комплесную. Фейнман-то хитрил, сразу в комплексном виде решать начал, действительная часть комплексных величин была реальным решением, отрицательное значение под знаком корня сокращало комлексную степень вовсе. А что делать, когда мы только с действительными числами работаем и вдруг в теоретических рассчётах всплывает комплексность (частота W в нашем случае)?

w = √(w0²-y²) = 2R/L √(4L/CR² - 1). Частота равняется нулю w=0, колебания прекращаются, когда 4L/R = CR, тогда exp(-y*(pi/0)) = exp(-∞) = 0 и напряжение u2(pi/w) = c1/(c1+c2)u10, то есть сразу примет предельное значение. Но что станется с частотой, когда 4L/R < CR, что такое комплексная частота?



-- Перезаряд без трения --

При R=0 имеем y=0 и
: w = w0 = 1/LC;
: u1 = u10/(c1+c2) * (c1/c2 cos+1);
: u2 = u10c1/(c1+c2) * (1 - cos);
: i = u10/wL sin = √(C/L) u10 sin.


Важны значения напряжений в момент, когда заряд перетечёт из 1-го конденсатора во второй и ток остановится. Ток мы вычислили ток i(t), он захочет потечь назад через полупериод t = pi/w. В этот момент cos(wt) = -1 и на конденсаторах будет напр.:

: u1(pi/w) = (c1-c2)/(c1+c2) u10;
: u2(pi/w) = 2 c1/(c1+c2) u10.


Как эти напряжения зависят от отношения ёмкостей конденсаторов?

Код

|           u2  |   u1
----------------+------
c1 >> c2 | 2u10 |  u10
c1 =  c2 |  u10 |    0
c1 << c2 |    0 | -u10

Оказывается, удвоить напряжение можно за один полупериод взяв второй кондёр много меньше первого! Более того, источник постоянного напряжения можно представить себе как бесконечно большой конденсатор. Значит, заряжая его через диод от источника постоянного напряжения, получим двойное напряжение! Если же конд. соеденять к источнику без диода, то должны налюдаться колебания. Их отсутствие означает потерю половины энергии. По-моему архиважный результат.

Значит все эти схемы конденцаторных удвоителей предполагают равные конденцаторы. И то верно что трудно удовлетворить условию Cn >> C(n+1) в многоуровневом каскаде конденсаторных умножителей.

В проведённом мною эксперименте с конденсаторами c1=1000μF -> c2=20μF без катушки индуктивности, двукратного перехлёста напряжения замечено не было. Напряжение u2 повторило сообщённое u1. Видать, затухание происходит очень быстро. Попробую с дросселем.


-- Перезаряд с трением --

Мы уже вычислили зависимость напряжений от времени. Осталось узнать его уровни в момент t=pi/w. Cos (pi) = -1, sin(pi) = 0 и

: u1(t=pi/w) = U10/(c1+c2) (c1 - с2 exp(-yt) ),
: u2(t=pi/w) = с1/(c1+c2) U10 (1 + exp(-yt)),
: -yt = -y/w*pi = pi/√(4L/CR²-1) = pi/√(4Q/T-1),

где добротность Q = L/R, постоянная времени T = CR. Как и ожидалось, u2 зависит от отношения L/R. Амплитуда напряжения экспоненциально затухает обратно пропорционально корню квадратному из добротности (энергия обратно добротности).

Дополнив паразитную индуктивность введением катушки, мы можем гарантировать индуктивность >> паразитного сопротивления проводов, тем самым 4L/R >> CR, 4L/CR² ≈ ∞, exp(-1/∞) = exp(0) = 1 и u2(pi/w) = 2 с1/(c1+c2) U10. То есть перезаряд будет происходить как будто трения не существует. Таким образом теория подтверждает интуитивную догадку о том, что эффективность перезарядки зависит от отношения индуктивности к трению и КПД можно считать близким к 100% когда L >> R.

Однако, увеличение L увеличивает так же период колебания, поэтому инд. нельзя увеличивать до бесконечности. Более того, использование слишком большого конденсатора, означает большую постоянную его заряда RC, которая обесценивает увеличение индуктивности, также увеличивая период pi/w. Получается, что большие конденсаторы способствуют затуханию. Вспомним, что неравенство CR>4L/R определяет условие чисто экспоненциального затухания. Может быть поэтому мой эксперимент не показал перехлёста напряжения, c2=20μF - слишком большая ёмкость? Каков порядок паразитного сопротивления R?


-- Энергия --

Посмотрим, как сильно уменьшится энергия E0 = ½ c1 u10² к моменту первой перезарядки t = pi/w. В этот момент тока нет, стало быть вся энергия, что есть сконцентрирована в кондёрах. Найдём энергию, воспользовавшись формулами для моментального напряжения в момент t=pi/w:
: E(pi/w) = E1(pi/w) + E2(pi/w) = ½c1u1² + ½c2u2² = ½u10²c1/(c1+c2)² [(c1-c2exp(-pi*y/w))² + с1с2(1+exp(-pi*y/w))²] = ½u10²c1/(c1+c2)² [c1² - 2c1c2exp(-pi*y/w) + c2²exp(-2pi*y/w) + c1c2 + 2c1c2exp(-pi*y/w) + c1c2exp(-2pi*y/w)] = ½u10²c1/(c1+c2)² (c2exp(-2pi*y/w)(c1+c2) + c1(c1+c2)) = ½u10²c1/(c1+c2)² (c2exp(-2pi*y/w) + c1)(c1+c2) = ½u10²c1/(c1+c2) (c2exp(-2pi*y/w) + c1) = ½ C u10² (exp(-2pi*y/w) + c1/c2) = E(pi/w).

КПД перезарядки:
: η = E(pi/w)/E0 = C(exp(-2pi*y/w) + c1/c2)/c1 = c2/(c1+c2) * (exp(-2pi*y/w) + c1/c2).

Потери. На сколько же уменьшилась энергия за первый полупериод?
: ∆E(0..pi/w) = E0 - E(pi/w) = ½c1u10²(1 - (c2exp(-2pi*y/w) + c1)/(c1+c2) ) = ½ c1/(c1+c2) u10² (c2 - c2exp(-2pi*y/w)) = [вынос c2] = ½ C u10² (1 - exp(-2pi*y/w)) = ∆E.


Выпишем так же рассеиваемую мощность, для порядка. Рассеяние в каждый момент времени если и просиходит, то только на ресзисторе. Зная ток легко вычислить:
: P(t) = i(t)Ur = i²R = (u10/wL exp(-yt) sin)² * R.
Найдём энергию, которая теряется в промежутке времени t=[a..b]. Для этого радо вычислить интеграл мощности:
: dEr(t) = P(t)dt,
: Er(t1..t2) = SP(t)dt|t1..t2 = (u10/wL)² * R * Sexp(-yt)sin²(wt)dt
Интеграл произведения эксоненты на синус можно просто вычислить взяв вспомнив формулу Эйлера exp(ibt) = cos(bt) + isin(bt), ((exp(ibt) + exp(-ibt))/2)² = cos²(bt), sin²(bt) = 1-cos²(bt) = 1 - ¼(exp(ibt) + exp(-ibt))² = 1 - ¼(exp(2ibt) + 2 + exp(-2ibt)).

Итак интеграл:
Sexp(-at)sin²(bt)dt = Sexp(-at)(1-cos²)(bt)dt = -exp(-at)/a - ¼Sexp(-at)[exp(i2bt) + 2 + exp(-i2bt)]dt =
-exp(-at)/a - ¼(exp((i2b-a)t)/(i2b-a) - 2exp(-at)/a - exp(-(i2b+a)t)/(i2b+a))dt =
= -¼(2exp(-at)/a + exp((i2b-a)t)/(i2b-a) - exp(-(i2b+a)t)/(i2b+a)).

Продолжим вычисление Er
Er(t1..t2) = (u10/wL)² * R * Sexp(-yt)sin²(wt)dt |t1..t2 = [a=2y, b=w] = (u10/wL)² * R (-¼)(2exp(-2yt)/2y + exp((i2w-2y)t)/2(iw-y) - exp(-2(iw+w)t)/2(iw+y)) |t1..t2 = [w²+y² = w0²] =
= -1/8R (u10/wL)² exp(-2yt) (2/y - [(iw-y)exp(iw2t) - (iw+y)exp(-i2wt)]/w0²) |t1..t2.

Как и положено энергия убывает в два раза быстрее напряжения. Желающи могут избавиться от комплексных экспонент:
Er(t1..t2)= -1/8R (u10/wL)² exp(-2yt) (2/y - ((iw(exp(iw2t) - exp(-i2wt)) -y(exp(iw2t) - exp(-i2wt))/w0²) |t1..t2 = -1/8R (u10/wL)² exp(-2yt) (2/y -(iw2sin(2wt) - y2cos(2wt))/w0²) |t1..t2 =
= -¼R (u10/wL)² exp(-2yt) (/y -(iwsin(2wt) - ycos(2wt))/w0²) |t1..t2 = Er(t1..t2).

Плоностью избавиться от джина комплексности, которого мы выпустили для решения интеграла, не удалось. Чтоб значит "за период t1..t2 выделилась такая-то комплексная энергия"? В правильности полученной формулы можно убедится, подсчитав потери за первый полупериод:

Er(0..pi/w) = -¼R (u10/wL)² {exp(-2pi*y/w)[1/y - (iw sin(2pi) - y cos(2pi))/w0²] - exp(0)[iw*0 - y*1)/w0²]} = [cos(2pi)=1, sin(2pi)=0] = -¼R (u10/wL)² {exp(-2pi*y/w)[1/y - (-y)/w0²] - [1/y - (-y)/w0²]} = -¼R (u10/wL)² (1/y + y/w0²)(exp(-2pi*y/w) - 1) = [1/y + y/w0² = (w0²-y²)/(yw0²) = w²/(yw0²), y=R/2L, w0²=1/LC] = ¼Ru10²2LLC/(RL²)(1-exp(-2pi*y/w)) = ½u10²C(1-exp(-2pi*y/w)) = ∆E(0..pi/w).

Ладушки, потери энергии действительно сошлись.


На этом, пожалуй, с теорией можно закончить.

[javalenok]

Эксперимент неудачный, двойного перезаряда не получается из-за дребезга контактов кнопки. Да и шотки диод не понятно как сказывается...

[Andrew10]

Титанический труд

Несколько комментариев:

1. У Фейнмана в решении только косинус, так как он рассматривает частный случай : в начальный момент маятник отклонен, и его отпускают без начальной скорости. Для произвольных условий, если и скорость не равна нулю, то нужно писать и sin и cos.

2. Записанное общее решение в одном из моих предыдущих постов годится и для случая большого затухания, когда $\gamma > \omega_0$. От всех комплексностей можно избавиться с помощь перехода от обычных sin и cos к гиперболическим.
Но на границе (т.е. при $\gamma = \omega_0$) в решении появляется неопределенность типа 0/0, которую нужно аккуратно раскрыть по правилу Лопиталя. И тоже получится правильное решение.

3. Интересно полюбопытствовать, для чего Вам это нужно? Если с какой-нибудь практической целью, то, может быть, пора посмотреть соответствующию литературу, где описаны практические конструкции умножителей? Это несколько далеко от моей тематики, но я знаю, что подобные многоступенчатые и даже распределенные накопители используются в качесте источников высокого напряжения для запитки пушек в релятивистских электронных ускорителях и СВЧ-генераторах (линии Блюмляйна). У меня есть книга по релятивистским пучкам, где есть параграф, посвященный этому. Но она на работе и точную ссылку пришлю попозже.

[javalenok]

Титанический труд

Когда приступал, думал - пара пустяков.

1. У Фейнмана в решении только косинус, так как он рассматривает частный случай : в начальный момент маятник отклонен, и его отпускают без начальной скорости. Для произвольных условий, если и скорость не равна нулю, то нужно писать и sin и cos.

У нас-то начального тока нет v0=0. Синус тут из-за сопротивления: x(t) = x0(cos + (v0+y)/w sin) + S. Даже когда скорость равна нулю, синус всё равно вмешивается. Впрочем, я поглядел по-внимательнее, там где у него переходное решение затухающих колебаний с начальными параметрами, там именно эта формула с синусом выводится.

2. Записанное общее решение в одном из моих предыдущих постов годится и для случая большого затухания, когда $\gamma > \omega_0$. От всех комплексностей можно избавиться с помощь перехода от обычных sin и cos к гиперболическим.
Но на границе (т.е. при $\gamma = \omega_0$) в решении появляется неопределенность типа 0/0, которую нужно аккуратно раскрыть по правилу Лопиталя. И тоже получится правильное решение.

Значит, там где у нас энергия содержит мнимую часть, после гиперпреобразования действительная может измениться? Физики не говорят, как нам быть с Ети, они просто чтут действительную часть. Было бы логично, еслиб в таком случае никакие математические манипуляции с комплексной величиной не изменяли бы её действительной части.

3. Интересно полюбопытствовать, для чего Вам это нужно?

Не могу сказать. Разминка для мозгов.