Нелинейность функии, никак не соображу...конец рабочего дня видимо:) Опции

[Kris2007]

Есть f(1) , f(4), f(16), f(64). Рассчитать нелинейность функци f(x) x от 1 до 64. В %.

Не помню как не линейность считается и все тут

[Stanislav]

Есть f(1) , f(4), f(16), f(64). Рассчитать нелинейность функци f(x) x от 1 до 64. В %.

Не помню как не линейность считается и все тут

А что конкретно подразумевается под нелинейностью?
Если хотите аппроксимировать последовательность значений функцией какого-либо вида (полиномиального, экспоненциального и т.д.), составьте систему уравнений и решите её...

[Designer56]

Разложите ф-ю в Тэйлора- все, что получается кроме первой степени- нелинейность.

[UMP]

Словестное определение нелинейности таково:
"Нелинейностью функции f(x) на отрезке [a b] называют max|f(x)-L(x)|, где L(x)-прямая наилучшего равномерного приближения функции f(x) на отрезке [a b]" из конспекта лекций, прочитанных в 80-е годы 20 века Германом Карловичем Кругом.

[Kris2007]

Под нелинейность подрузумевается нелинейность!
Я хочу знать насколько дискретная функция четырех значений похожа на прямую. ( четверка значений каждый раз разная а функция в идеальном случае- прямая, нелинейность грубо определит погрешность).
А раскладавтать четыре значения в ряд тейлора и считать остаточный член.... это слишком, должен быть куда более простой выриант.

Все это хорошо конечно ... но даже из определения непонятно а как её считать то?
Не такая простая задачка то оказывается...

[Stanislav]

Я хочу знать насколько дискретная функция четырех значений похожа на прямую. ( четверка значений каждый раз разная а функция в идеальном случае- прямая, нелинейность грубо определит погрешность).

Тогда сначала найдите эту прямую, например, по методу наименьших средних квадратов (другое название - линейная регрессия). Потом вычтите значения полученной линейной функции из исходной в заданных точках, и делайте с разностями всё, что заблагорассудится.

Разложите ф-ю в Тэйлора- все, что получается кроме первой степени- нелинейность.

Не совсем понял, как разложить?.. В окрестности какой точки?

Словестное определение нелинейности таково:
"Нелинейностью функции f(x) на отрезке [a b] называют max|f(x)-L(x)|, где L(x)-прямая наилучшего равномерного приближения функции f(x) на отрезке [a b]" из конспекта лекций, прочитанных в 80-е годы 20 века Германом Карловичем Кругом.

Тут могут быть ньюансы. В задаче речь идёт о точечной функции, а в лекции - о (кусочно-)непрерывной, скорее всего. Отсюда был и мой вопрос: что считать нелинейностью для функции, заданной на конечном множестве точек?

[Designer56]

Не совсем понял, как разложить?.. В окрестности какой точки?

Вопрос интересный... обычно это делается в окрестностях нуля. но автору может понадобиться и по- другому, если у него рабочая точка своя.

[Alex255]

Есть f(1) , f(4), f(16), f(64). Рассчитать нелинейность функци f(x) x от 1 до 64. В %.

Не помню как не линейность считается и все тут

Чтобы получить нелинейность надо понять что такое линейность . Методом наименьших квадратов получаете линейную апроксимацию - y=ax+b. Затем считаете среднеквадратичное отклонение. Если интересует максимальная нелинейность просто находите макс. разность в той или иной точке.

[Santy]

Есть f(1) , f(4), f(16), f(64). Рассчитать нелинейность функци f(x) x от 1 до 64. В %.

Не помню как не линейность считается и все тут

Здесь неплохо было бы понимать что представляет собой например f(3),f(7),f(32) т.е f(n).
Если например f(1),f(2),f(3),f(4),..f(64) имеют линейный характер,но вы ,берете только f(1) , f(4), f(16), f(64),то это отдельный подход.

[Designer56]

Если f(1) , f(4), f(16), f(64) есть просто значение ф-и в точках, то для оценки нелинейности можно сосчитать коэффициенты прямой, проходящей через f(1), f(64), а затем посчитать разность между точками этой прямой при x= 2,3,...63 и соответствующими значениями ф-и f. Так определяется интегральная нелинейность, например, АЦП или ЦАП. можно ещё привести её к диапазону изменения ф-и f.

[UMP]

 LIN_D.rar ( 17.18 килобайт ) Кол-во скачиваний: 147
В продолжение темы. Прежде чем говорить о нелинейности таблично заданной функции необходимо сформулировать, так называемую "интерполяционную гипотезу", т. е. предположение о поведении функции при значениях аргумента в промежутках между табулированными значениями. Это, пожалуй наиболее тонкий момент, так как для формулировки гипотезы необходимо привлекать дополнительные сведения. Затем необходимо проанализировать данные на предмет случайной погрешности. Если случайная составляющая погрешности пренебрежимо мала, то для аппроксимации применяется наилучшее равномерное приближение. Примеры для этого случая в прикрепленном архиве. Если же случайная составляющая погрешности существенна, то применяют статистические методы аппроксимации, например метод наименьших квадратов, метод наименьших модулей, конфлюентные методы.

[Stanislav]

В продолжение темы. Прежде чем говорить о нелинейности таблично заданной функции необходимо сформулировать, так называемую "интерполяционную гипотезу", т. е. предположение о поведении функции при значениях аргумента в промежутках между табулированными значениями.

Об этом, собственно, и речь.
Только я бы назвал эту гипотезу "аппроксимационной". Потому, как интерполяционный полином существует, и только один (в данном случае, 3-го порядка).

Здесь неплохо было бы понимать что представляет собой например f(3),f(7),f(32) т.е f(n).
Если например f(1),f(2),f(3),f(4),..f(64) имеют линейный характер,но вы ,берете только f(1) , f(4), f(16), f(64),то это отдельный подход.

И в чём же его уникальность?

[Santy]

И в чём же его уникальность?

f(64)-f(16) более точно чем f(16)-f(4), а f(16)-f(4) более точно чем f(4)-f(1).

[Tanya]

 LIN_D.rar ( 17.18 килобайт ) Кол-во скачиваний: 147
В продолжение темы. Прежде чем говорить о нелинейности таблично заданной функции необходимо сформулировать, так называемую "интерполяционную гипотезу", т. е. предположение о поведении функции при значениях аргумента в промежутках между табулированными значениями. Это, пожалуй наиболее тонкий момент, так как для формулировки гипотезы необходимо привлекать дополнительные сведения. Затем необходимо проанализировать данные на предмет случайной погрешности. Если случайная составляющая погрешности пренебрежимо мала, то для аппроксимации применяется наилучшее равномерное приближение. Примеры для этого случая в прикрепленном архиве. Если же случайная составляющая погрешности существенна, то применяют статистические методы аппроксимации, например метод наименьших квадратов, метод наименьших модулей, конфлюентные методы.

Вроде бы автор не говорил ничего об области определения функции... А Вы про интерполяцию.
Может быть, она задана на конечном множестве целых числел? Для ответа на поставленный вопрос надо сначала дать определение расстояния между функциями (метрику) и определение нелинейности...

[Stanislav]

f(64)-f(16) более точно чем f(16)-f(4), а f(16)-f(4) более точно чем f(4)-f(1).

М-да?
А что Вы понимаете под точностью, в таком случАе?

Вроде бы автор не говорил ничего об области определения функции... А Вы про интерполяцию.
Может быть, она задана на конечном множестве целых числел? Для ответа на поставленный вопрос надо сначала дать определение расстояния между функциями (метрику) и определение нелинейности...

Tanya, прочитайте ещё раз условие и не вносите дополнительной путаницы, пожалуйста.
Если ставится именно интерполяционная задача, то она в свете определения из поста №4 (хотя, как мне кажется, оно нуждается в уточнении для реальных физических задач) решение имеет, и оно единственно.