Ошибка в теореме Котельникова ? Опции

[andran25]

Как известно из теоремы Котельникова, для того, чтобы аналоговый
сигнал мог быть оцифрован а затем восстановлен, необходимо и
достаточно, чтобы частота дискретизации была больше или равна
верхней частоте аналогого сигнала.
Предположим, у нас есть синус с периодом 1 секунда.
Тогда f = 1 / T = 1 герц, sin( ( 2*pi / T ) * t ) = sin( 2 * pi * t ),
частота дискретизации 2 герца, период дискретизации 0,5 секунды.
Подставляем значения, кратные 0,5 секунды в формулу для синуса
sin( 2 * pi * 0 ) = sin( 2 * pi * 0,5 ) = sin( 2 * pi * 1 ) = 0

Везде получаются нули.
Как же тогда можно восстановить этот синус ?

[Alex Leontyev]

поправлю в два раза больше - но парадокс хороший.

[rezident]

По=моему это уже было. Вот от этого поста и дальше по топику.

[GetSmart]

А я думал будет что-то интересное

[rudy_b]

Ошибки нет. Только не больше или равна, а больше. Но время набора - не оговорено. Чем ближе к границе - тем оно больше. При равенстве - время набора данных станет бесконечным.

[GetSmart]

Ошибки нет. Только не больше или равна, а больше. Но время набора - не оговорено. Чем ближе к границе - тем оно больше. При равенстве - время набора данных станет бесконечным.

В оригинальной формулировке (да и в книжках) Котельникова всё-таки больше (меньше) или равна. Прокомментируйте плиз.

[тау]

если аналоговый сигнал "имеет ограниченный спектр" !
Это означает что синус с Fmax и дискретизация с частотой 2Fmax уже не имеют смысла потому что амплитуда ограниченного идеальным фильтром синуса не определена, так как попадает на границу фильтра. Вообще нельзя восстановить то что не существует Вы видели когда нибудь синусоидальный сигнал 1кГц , ограниченный полосой 1 кГц?
я-нет.

[rudy_b]

Прокомментируйте плиз.

Я уже сказал - при бесконечном времени накопления данных. Следует также учесть, что на границе спектра амплитуда сигнала равна нулю.

[INT1]

Любопытно посмотреть на спектр гармонической ф-ции и его границу. Теорема подразумевает(должна) необходимость и достаточность, знак равенства в формулировке- присутствует.

[GetSmart]

rudy_b, не надо отсебятины. Вы что, умнее Котельникова?

Произвольный сигнал, спектр которого не содержит частот выше Fв Гц, может быть полностью восстановлен, если известны отсчётные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки времени 1/(2Fв) с

1. Спектр не содержит частот выше Fв, то есть имеет право содержать Fв.
2. Выражение может быть полностью восстановлен не позволяет говорить о бесконечном времени, то есть если это действие выполнимо, то время конечно.
3. По этой же причине кол-во отсчётных значений конечно.

А теперь привидите мне литературу, в которой приводятся все ваши оговорки, которые более точно определяют применимость ТК и её ограниченную "точность". Плиз.

если аналоговый сигнал "имеет ограниченный спектр" !

Знаете, для меня этот термин имеет неограниченный смысл Такая искуссная игра слов. Чтоб потом за руку не поймали. Может Вы заодно приведёте более конкретное определение "ограниченного спектра".

Смею предположить (по определению ТК), что спектр ограничен только двумя числами, то есть в диапазоне A..B.

Сообщение отредактировал GetSmart - Jan 18 2009, 05:59

[rudy_b]

Цитата (http://robotcity.ru/content/view/485/32/)
Для полного восстановления непрерывной функции x(t) по значениям ее отсчетов нужно просуммировать бесконечное множество членов ряда (1.69).
См. также http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Котельникова. Здесь, как и во многих учебниках
обычно пропускают индексы в сумме. А они - от минус бесконечности, до бесконечности.

Посмотрите также http://graphics.cs.msu.su/courses/cg_el00/kotelnikov.pdf.

И не путайте формализм с физическим смыслом.

[GetSmart]

Для полного восстановления непрерывной функции x(t) по значениям ее отсчетов нужно просуммировать бесконечное множество членов ряда (1.69).
...
И не путайте формализм с физическим смыслом.

Я не путаю.
Применима ли ТК к конечному множеству отсчётов? Какие при этом возникают ограничения?

[тау]

В оригинальной формулировке (да и в книжках) Котельникова всё-таки больше (меньше) или равна. Прокомментируйте плиз.

Да , дела , пмсм при нулевых отсчетах на синусоиде сколько хошь складывай , а ряд котельникова будет выдавать нули

Ошибка стало быть в условии >= . Равно не катит.

Эскизы прикрепленных изображений

 

[wim]

Применима ли ТК к конечному множеству отсчётов? Какие при этом возникают ограничения?

ТК применяется не к отсчетам, а к функциям, имеющим спектр, т.е. интегрируемым. Непрерывный синусоидальный сигнал к таковым не относится, соответственно и ТК к нему неприменима. Впрочем, если хотите, можете попрактиковаться в рисовании спектра оного синуса, тока будьте осторожны - дельта-функция уходит в бесконечность, как бы в глазик кому не ширнуть.
Из утилитарных соображений - и Шеннон, и Котельников рассматривали сигналы, пригодные для передачи информации. Непрерывный синусоидальный сигнал никакой информации в принципе передавать не может, если бы они знали, что кому-то понадобится "воспроизводить" такой бесполезный сигнал, может и подшаманили бы теорию.

Ошибка стало быть в условии >= . Равно не катит.

Кстати, Гоноровский в своем учебнике убрал "равно". Наверное, достали его студенты вопросами про синус.

[GetSmart]

1. ТК применяется не к отсчетам, а к функциям, имеющим спектр, т.е. интегрируемым.
2. Непрерывный синусоидальный сигнал к таковым не относится, соответственно и ТК к нему неприменима.

Вот это настоящие откровения
1. Я привёл формулировку ТК из учебника Баскакова. В ней же явно говорится об отсчётах. И не о функциях, а о сигналах.
2. Неужели у непрерывного синусоидального сигнала нет спектра? А мужики-то не знают А вообще, сколько людей столько и мнений. Один говорит, что в ТК интегрирование надо делать по бесконечности, то есть синусоида(ы) должны быть непрерывны для правильного результата. Другой говорит, что непрерывные синусоиды не годятся. Вы уж друг с другом определитесь чтобы было о чём спорить.
3. Меня в принципе не особо тревожит частота Fв/2. А под сигналом я подразумеваю сумму любых частот (просто нули тоже могут быть), пускай даже в диапазоне -Fв/2<F<Fв/2. Годится?

Сообщение отредактировал GetSmart - Jan 18 2009, 20:31

[Tanya]

ТК применяется не к отсчетам, а к функциям, имеющим спектр, т.е. интегрируемым. Непрерывный синусоидальный сигнал к таковым не относится, соответственно и ТК к нему неприменима. Впрочем, если хотите, можете попрактиковаться в рисовании спектра оного синуса, тока будьте осторожны - дельта-функция уходит в бесконечность, как бы в глазик кому не ширнуть.

А можно вот про это все подробнее? Что такое "имеющая спектр функция", что такое интегрируемая функция, почему синус не интегрируется... для начала. А то непонятно.
Хотелось бы еще эту дежавю непрерывную перевести в дежавюшнный формат и выложить не всеобщее обозрение или осмеяние... по настроению...

[wim]

А можно вот про это все подробнее? Что такое "имеющая спектр функция", что такое интегрируемая функция, почему синус не интегрируется... для начала. А то непонятно.
Хотелось бы еще эту дежавю непрерывную перевести в дежавюшнный формат и выложить не всеобщее обозрение или осмеяние... по настроению...

Поправка принимается - абсолютная интегрируемость функции. Интеграл от модуля функции по времени от минус бесконечности до плюс бесконечности должен иметь конечную величину. Непрерывный гармонический сигнал к таковым не относится, поэтому его нельзя представить в частотной области в виде обычного спектра Фурье.

1. Я привёл формулировку ТК из учебника Баскакова. В ней же явно говорится об отсчётах. И не о функциях, а о сигналах.

Сигнал, как функция времени - он является первичным. Отсчеты - результат дискретизации, т.е. процесса. Можно дискретизировать непрерывный сигнал и не зная ТК (законом не запрещено).

2. Неужели у непрерывного синусоидального сигнала нет спектра? А мужики-то не знают А вообще, сколько людей столько и мнений. Один говорит, что в ТК интегрирование надо делать по бесконечности, то есть синусоида(ы) должны быть непрерывны для правильного результата. Другой говорит, что непрерывные синусоиды не годятся. Вы уж друг с другом определитесь чтобы было о чём спорить.

Таки не спорю, просто высказываю... Допустим, у нас синусоидальный сигнал конечной длительности, т.е. радиоимпульс. Спектр такого сигнала имеет огибающую вида sin(x)/x (симметрично относительно часто F, -F). Если увеличивать длительность импульса, ширина "лепесков" будет уменьшаться, но качественно вид спектра будет оставаться тем же. При увеличении длительности импульса до бесконечности получается качественно иной результат - спектральная плотность обнуляется везде, кроме частот -F, F, а на оных она становится равной бесконечности. Это, собственно, уже не спектр в обычном понимании, а математическая абстракция.

3. Меня в принципе не особо тревожит частота Fв/2. А под сигналом я подразумеваю сумму любых частот (просто нули тоже могут быть), пускай даже в диапазоне -Fв/2<F<Fв/2. Годится?

Тогда уж не частот, а синусоидальных сигналов?

[rudy_b]

Вы пытаетесь влезть в дебри формализма. Для всех затронутых вопросов есть разработанные решения. Но не всегда они имеют физический смысл.

Возьмем теорему Котельникова. Она говорит о ТОЧНОМ восстановлении значений функции. При частотном условии "<=" она отвечает - да, но через бесконечное время. В переводе это означает НЕТ. А вот если только "<" весьма несложно определить, за какое время вы получите ответ С ЗАДАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ. А без задания точности вопрос, опять же, не имеет физического смысла. Но этот вопрос уже не к теореме Котельникова.

[GetSmart]

... А вот если только "<" весьма несложно определить, за какое время вы получите ответ С ЗАДАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ. А без задания точности вопрос, опять же, не имеет физического смысла.

Можно об этом поподробней. Любой пример с заданной точностью и методом решения. Или ссылочку на него. Вся соль в деталях

Поправка принимается - абсолютная интегрируемость функции. Интеграл от модуля функции по времени от минус бесконечности до плюс бесконечности должен иметь конечную величину. Непрерывный гармонический сигнал к таковым не относится, поэтому его нельзя представить в частотной области в виде обычного спектра Фурье.

Откуда взяты эти откровения? ИМХО синусоида, особенно от минус бесконечности до плюс бесконечности является идеальным сигналом для преобразования Фурье. Результатом преобразования будет её амплитуда.

Можно дискретизировать непрерывный сигнал и не зная ТК (законом не запрещено).

Именно это и требуется. Дискретизировать любой сигнал (в диапазоне частот -Fв/2..+Fв/2) и потом его восстановить с максимальной точностью. Как утверждает ТК.

Сообщение отредактировал GetSmart - Jan 19 2009, 06:02

[wim]

Откуда взяты эти откровения? ИМХО синусоида, особенно от минус бесконечности до плюс бесконечности является идеальным сигналом для преобразования Фурье. Результатом преобразования будет её амплитуда.

И.С. Гоноровский. Радиотехнические цепи и сигналы. Е.И. Манаев. Основы радиоэлектроники. Результат преобразования Фурье для синусоиды от минус бесконечности до плюс бесконечности - не "амплитуда", а две дельта-функции на частотах F и -F. Собс-но дельта-функция это определение - как-то надо было назвать то, что получится при применении преобразования Фурье к функциям, для которых оно неприменимо.

Именно это и требуется. Дискретизировать любой сигнал (в диапазоне частот -Fв/2..+Fв/2) и потом его восстановить с максимальной точностью. Как утверждает ТК.

Не любой, а только такой, к которому применимо преобразование Фурье. Для примера - сигнал постоянного уровня. Его "спектр" - дельта-функция, расположенная на нулевой частоте, соответственно и понятия -Fв/2, +Fв/2 для него теряют смысл.

[scifi]

Похоже, тов. GetSmart не очень знаком с дельта-функциями. Кстати, есть вполне математически строгая теория дельта-функций и им подобных - что-то под названием "обобщённые функции" и "функционалы".
Наверняка теорему Котельникова можно расширить на обобщённые функции. Тогда и случай бесконечных синусоид можно было бы рассматривать. Только оно надо? В расширенной формулировке это был бы монстр, а не теорема. А в стандартной формулировке звучит кратко и понятно.

[rudy_b]

Можно об этом поподробней. Любой пример с заданной точностью и методом решения. Или ссылочку на него. Вся соль в деталях

.
Боюсь, что пересказывать вам содержание громадного количества книг, посвященных этой теме будет слишком утомительно. Возьмите на себя труд ознакомится с ними самостоятельно, ссылок в инете много. Ключевые слова - "дискретное преобразование Фурье" и "цифровая обработка сигналов"

[Atridies]

Все гораздо проще. Теорема Котельникова звучит так: "Частота дискретизации должна быть НЕ МЕНЕЕ чем в 2 раза больше самой высокой частоты сигнала". Т.е. если она в 2 раза - еще не факт, что можно гарантированно восстановить. Факт в том, что при Fдискр меньше 2Fmax восстановить сигнал НЕЛЬЗЯ. Именно об этом он писал.
Более того, при Fдискр=2Fmax, удовлетворительно сигнал восстановить можно только в одном случае - если Вы ведете отсчеты по пикам синусоиды. В ЛЮБОМ другом случае - будут ошибки. Крайний случай: отсчеты по нулям - 100% ошибка.
Вообще, принято считать, что для удовлетворительного восстановления сигнала - частота дискретизации должна быть в 4-7 раз больше максимальной частоты в спектре. Вот так.

[GetSmart]

Боюсь, что пересказывать вам содержание громадного количества книг, посвященных этой теме будет слишком утомительно.

Понятно. Когда речь заходит о деталях, сразу нечего сказать. Можете продолжать зубрить "громадное кол-во книг".

Напоследок скажу одну весчь, о которой не писали в книжках. Точно восстановить из ограниченного количества отсчётов можно только ограниченное множество частот в диапазоне -Fв/2..0..Fв/2. То есть диапазон частот получается прерывистый. Остальные частоты будут частично искажены потому как не ортогональны друг к другу. Всё, я пошёл отсюда

Сообщение отредактировал GetSmart - Jan 19 2009, 13:43

[Kompot]

Вообще, принято считать, что для удовлетворительного восстановления сигнала - частота дискретизации должна быть в 4-7 раз больше максимальной частоты в спектре. Вот так.

Именно поэтому CD звук дискретизирован 44.1 KHz

Эээээ.. Где это так принято?

Не забываем, что в исходной постановке вопроса есть существенная деталь: сигнал (или его высшая гармоника)- синусоида. Тогда для восстановления сигнала вообще достаточно знать только его амплитуду. Вот амплитуду и надо воспроизвести. А дальше - дело техники, исходная синусоида из этого отсчета получится ТОЛЬКО ПОСЛЕ соответствующего фильтра низких частот.

Вы про фазу спросите? Так это совсем другая песня. Если модулируете по фазе, в сигнале появляются синусоидальные же компоненты повышенных частот. И требуемая частота дискретизации повышается.

[evgeny_ch]

...
..В которой, как в пресловутой «капле воды», видна ограниченность нашего восприятия Вселенной..

Попробуйте при t≠const.

[wim]

Теорема Котельникова звучит так: "Частота дискретизации должна быть НЕ МЕНЕЕ чем в 2 раза больше самой высокой частоты сигнала". Т.е. если она в 2 раза - еще не факт, что можно гарантированно восстановить. Факт в том, что при Fдискр меньше 2Fmax восстановить сигнал НЕЛЬЗЯ. Именно об этом он писал.

Это - Ваша фантазия. В исходном варианте ТК звучит ТАК:
"Любую функцию F(t) состоящую из частот от 0 до f1 , можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел следующих друг за другом через 1/2f1 сек."
Ее аналог - теорема Шеннона:
"Если функция не содержит частот выше W гц, она полностью определяется своими мгновенными значениями в моменты, отстоящие друг от друга на 1/2W сек.”
Знак равенства присутствует в обоих случаях.

[Jurenja]

Теоремы имеют право быть неправыми. В отличие от аксиом.

[wim]

Не забываем, что в исходной постановке вопроса есть существенная деталь: сигнал (или его высшая гармоника)- синусоида. Тогда для восстановления сигнала вообще достаточно знать только его амплитуду. Вот амплитуду и надо воспроизвести. А дальше - дело техники, исходная синусоида из этого отсчета получится ТОЛЬКО ПОСЛЕ соответствующего фильтра низких частот.

Кое-что упустили - частоту синусоиды тоже надо восстановить.

[Designer56]

Это - Ваша фантазия. В исходном варианте ТК звучит ТАК:
"Любую функцию F(t) состоящую из частот от 0 до f1 , можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел следующих друг за другом через 1/2f1 сек."
Ее аналог - теорема Шеннона:
"Если функция не содержит частот выше W гц, она полностью определяется своими мгновенными значениями в моменты, отстоящие друг от друга на 1/2W сек.”
Знак равенства присутствует в обоих случаях.

У Баскакова теорема Котельникова высказывается так: " Произвольный сигнал, спектр которого не содержит частоты выше fв, Гц, может быть полностью восстановлен, если известны отсчетные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки времени 1/(2fв) сек."
У Гоноровского тоже речь идет о конечном спектре. О конечном числе отсчетов речи нет.
Функция, состоящая из частот- мало понятно, для меня, во всяком случае.

Сообщение отредактировал Designer56 - Jan 19 2009, 14:58

[wim]

Напоследок скажу одну весчь, о которой не писали в книжках. Точно восстановить из ограниченного количества отсчётов можно только ограниченное множество частот в диапазоне -Fв/2..0..Fв/2. То есть диапазон частот получается прерывистый. Остальные частоты будут частично искажены потому как не ортогональны друг к другу.

Ошибаетесь - даже через две точки (отсчета) можно провести бесконечное множество, прости господи, частот.

Всё, я пошёл отсюда

Жаль. Без Вашего мощного участия тема быстро заглохнет.

У Баскакова теорема Котельникова высказывается так: " Произвольный сигнал, спектр которого не содержит частоты выше fв, Гц, может быть полностью восстановлен, если известны отсчетные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки времени 1/(2fв) сек."
У Гоноровского тоже речь идет о конечном спектре.
Функция, состоящая из частот- мало понятно, для меня, во всяком случае.

Совершенно верно, просто в те времена, когда была сформулирована теорема Котельникова, спектр сигнала представляли в виде набора отдельных частот. Говорят, были даже попытки отфильтровать сигнал от шума, пропуская его через линейку узкополосных фильтров. Есс-но, на выходе исходный сигнал не "сложился".

[Kompot]

Кое-что упустили - частоту синусоиды тоже надо восстановить.

Посыпаю голову пеплом

Имелось в виду, что есть априорная информация о форме сигнала максимальной частоты - синус.
А для всех частот ниже этой - восстановление будет выполнено автоматически, кусочками этого синуса.

[Designer56]

Совершенно верно, просто в те времена, когда была сформулирована теорема Котельникова, спектр сигнала представляли в виде набора отдельных частот. Говорят, были даже попытки отфильтровать сигнал от шума, пропуская его через линейку узкополосных фильтров. Есс-но, на выходе исходный сигнал не "сложился".

Почему это так Вы думаете? В теореме нет ни слова о непрерывности или разрывности спектра. Ортогональные преобразования были известны задолго до того...

Строго говоря, уже указывалось, гармонические сигналы спектра не имеют. Если не считать уже упомянутое выражение через дельта- функцию.

[Atridies]

Именно поэтому CD звук дискретизирован 44.1 KHz

Эээээ.. Где это так принято?

Вы про фазу спросите? Так это совсем другая песня. Если модулируете по фазе, в сигнале появляются синусоидальные же компоненты повышенных частот. И требуемая частота дискретизации повышается.

Правильно, поэтому ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ полоса CD - это 22,05КГц. Но реально амплитуда частот около верхней границы будет падать. То бишь завал на ВЧ ). И кстати фаза тоже поплывет, но это уже не так страшно, т.к. фазу ухо не слышит.
Смысл теоремы Котельникова: в том что НЕЛЬЗЯ восстановить сигнал, если дискретизировать с меньшей, чем в 2 раза - частотой.
Принято это в цифровой обработе сигналов. Никому в голову не придет дискретизировать с F=2Fmax, разве что известна фаза сигнала.

Ошибаетесь - даже через две точки (отсчета) можно провести бесконечное множество, прости господи, частот.

Жаль. Без Вашего мощного участия тема быстро заглохнет.


Совершенно верно, просто в те времена, когда была сформулирована теорема Котельникова, спектр сигнала представляли в виде набора отдельных частот. Говорят, были даже попытки отфильтровать сигнал от шума, пропуская его через линейку узкополосных фильтров. Есс-но, на выходе исходный сигнал не "сложился".

Все сложится, если правильно фильтровать (конечно с поправками на физическую реализацию фильтров). На этом принципе работаю вокодеры: есть несколько звуковых частот, необходимых для разбора букв. Их определенным образом обозначают, а потом передают только их параметры. Получается гораздо меньший поток.

[wim]

Все сложится, если правильно фильтровать (конечно с поправками на физическую реализацию фильтров). На этом принципе работаю вокодеры: есть несколько звуковых частот, необходимых для разбора букв. Их определенным образом обозначают, а потом передают только их параметры. Получается гораздо меньший поток.

Любой фильтр, независимо от физической реализации осуществляет свертку сигнала со своей передаточной характеристикой, после чего информация о фазе гармонических составляющих исходного сигнала будет безвозвратно утеряна. Вокодер не восстанавливает исходный сигнал, он конструирует сигнал, похожий на исходный. С потерей информации, есс-но.

[Designer56]

Любой фильтр, независимо от физической реализации осуществляет свертку сигнала со своей передаточной характеристикой, после чего информация о фазе гармонических составляющих исходного сигнала будет безвозвратно утеряна. Вокодер не восстанавливает исходный сигнал, он конструирует сигнал, похожий на исходный. С потерей информации, есс-но.

Причем похожесть определяется чисто субъективно. То же касается всех алгоритмов "сжатия"- МП и тому подобных.

[тау]

Сваял в мультисиме аппаратную реализацию

От генераторы синусоиды 950 Гц сигнал проходит через ФВЧ баттерворта 20-го порядка с частотой среза 1 кГц (-6дБ) и неравномерностью 0.01 в полосе.
затем стоит УВХ , на котором получаем типа отсчеты
Отсчеты делаем частотой 2 кГц (зеленая линия - моменты выборок , синяя - сами отсчеты)
после УВХ и повторителя идет такой же фильтр как и на входе, результат см на рисунке желтым цветом.

Симуляция была с шагом 100nS .

Это частный случай , но для GetSmart-а может что прояснит.

балин - а рисунок вставить не могу

[wim]

Почему это так Вы думаете? В теореме нет ни слова о непрерывности или разрывности спектра. Ортогональные преобразования были известны задолго до того...

Строго говоря, уже указывалось, гармонические сигналы спектра не имеют. Если не считать уже упомянутое выражение через дельта- функцию.

Посмотрел исходный текст:
http://ufn.ru/ru/articles/2006/7/h/
Действительно, понимание спектра вполне современное. А терминология практицки везде - "функция, состоящая из частот".

[rezident]

балин - а рисунок вставить не могу

Подсказка по аттачментам там => http://electronix.ru/forum/index.php?s=&am...st&p=530566

[Designer56]

Посмотрел исходный текст:
http://ufn.ru/ru/articles/2006/7/h/
Действительно, понимание спектра вполне современное. А терминология практицки везде - "функция, состоящая из частот".

Лично для меня противоречие совсем не вопрос- в доказательствах и иллюстрациях самой теоремы показана необходимость ограничения спектра и фильтрации для восстановления. При равенстве fв и Fs/2 наблюдается смыкание краев реплик спектра исходного сигнала на частоте fв. Даже фильтр "Кирпичная стена", физически не реализуемый, имеет неопределенное значение своей АЧХ на этой частоте.

[тау]

Подсказка по аттачментам там => http://electronix.ru/forum/index.php?s=&am...st&p=530566

да, недавно точно было , как описано ,
а сейчас "BB Code Help"




Сообщение отредактировал тау - Jan 19 2009, 16:46

[rezident]

да, недавно точно было , как описано ,
а сейчас "BB Code Help"

Какой хелп? Парой строчек ниже кнопка "Обзор" и рядом зеленый прямоугольник для загрузки (UPLOAD, если выбран язык форума English)?

Эскизы прикрепленных изображений

 

[wim]

Лично для меня противоречие совсем не вопрос- в доказательствах и иллюстрациях самой теоремы показана необходимость ограничения спектра и фильтрации для фосстановления. При равенстве fв и Fs/2 аблюдается смыкание краев реплик спектра исходного сигнала на частоте fв. Даже фильтр "Кирпичная стена", физически не реализуемый, имеет неопределенное значение своей АЧХ на этой частоте.

А, я, кажется, понял в чем засада - включать в диапазон частот до fв саму частоту fв или нет. В формулировке Котельникова это неоднозначно, а вот Гоноровский fв изъял и жизнь сразу стала легче.

[rezident]

А, я, кажется, понял в чем засада - включать в диапазон частот до fв саму частоту fв или нет. В формулировке Котельникова это неоднозначно, а вот Гоноровский fв изъял и жизнь сразу стала легче.

ИМХО знак равенства на практике не мешает потому, что реальные сигналы никогда не бывают со строго определенными параметрами, заданными с бесконечно высокой точностью. Всегда существует дисперсия сигнала и восстановить реальный сигнал с частотой fb/2 дискретизированный на частоте fb с определенной (небесконечной) точностью на интервале времени в пределе стремящемся к бесконечности становится возможным. А чтобы и теория тоже была похожа на реальность, знак равенства изъяли Не забываем, что "практика - критерий истины".

[Designer56]

Из самой статьи Котельникова видно, что он имел ввиду обработку сигнала, имеющего ограниченный спектр, т.е. в первую очередь не гармонического. Да и неинтересен гармонический- достаточно передать три числа: амплитуду, фазу и частоту.

[тау]

Rezident, кнопочек обзор у меня сегодня нету , ни в Опере ни в IE
панели соответствующей тоже, сразу ниже идет панель Post Options с "Enable emoticons?"
а еще чуть ниже панель "Post Icons"

На рисунке результат с меандром 160 Гц , без 7-й (-58 дБ) и более высоких гармоник

[Atridies]

Любой фильтр, независимо от физической реализации осуществляет свертку сигнала со своей передаточной характеристикой, после чего информация о фазе гармонических составляющих исходного сигнала будет безвозвратно утеряна. Вокодер не восстанавливает исходный сигнал, он конструирует сигнал, похожий на исходный. С потерей информации, есс-но.

А ФЧХ фильтра зачем? Фаза не теряется безвозвратно - просто она некоторым образом меняется. Более того, этим изменением просто пренебрегают, т.к. оно несущественно. Было бы существенно - рассчитывали бы из этих условий.

Причем похожесть определяется чисто субъективно. То же касается всех алгоритмов "сжатия"- МП и тому подобных.

Правильно, т.к. сознательно выбрасывают несущественные компоненты (несущественные, с т.з. распознавания речи). Если бы этих компонент не было бы - все однозначно бы складывалось (ну конечно, фазы цепей пришлось бы подбирать).

При равенстве fв и Fs/2 наблюдается смыкание краев реплик спектра исходного сигнала на частоте fв. Даже фильтр "Кирпичная стена", физически не реализуемый, имеет неопределенное значение своей АЧХ на этой частоте.

Для теоретически восстанавливаемого сигнала - частота сигнала должна быть в 2 раза меньше. Нет там, и не планируется разрыв. Вот если у Вас сигнал 1Гц (прямо строго), то имея частоту дискр. 2Гц (строго 2Гц) есть шанс восстановить исходный сигнал. А вот имея частоту 1,99Гц. - восстановить можно только относительно небольшой промежуток и ошибка будет накапливаться. При рассмотрении сигнала в безграничных временнЫх пределах - этот сигнал НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫЙ. Вот и все.

В чем противоречие?

[Designer56]

........В чем противоречие?

прочтите сами внимательно- у вас везде противоречия

[INT1]

Мужики, мы ж не в верховной раде, чи там, в думе... Есть формулировка и есть какое то доказательство, это ж математика, а не законы и правила -к-рые можно передергивать. Посмотрите теорему КошИ например, - все четко и ясно, а тут, даже в первом приближении- теотрема не работает. Все это было "узаконено" в протИву Шеннону-типа, и мы не лыком шиты,-это не есть истина, да и не теорема это-в смысле Котельникова. Пусть он и заслуженный товарисчь- но не математик, просто- "заслуженный чиновник от науки" тогО времени.
ЗЫ, ну и, вам привели "примитивную синусоиду" спектр ее известен, что можно сказать ? без всяких заумностей с преобразованиями Фурье?

[Atridies]

прочтите сами внимательно- у вас везде противоречия

Ну укажите мне на них. Только конкретнее.
Я эту теорему знаю не первый год и не вижу в ней противоречий. Все нормально в ней.
Все эти спектры, фазы и пр. - это обыкновенное разложение какой-либо функции в ряд Фурье (таких рядов много и Фурье - один из множества). У рядов есть целая теория - целый раздел математики. Вот там есть некоторые противоречия. В ТК - я их не вижу.
Конечно математика не идеальная наука: если пытаться складывать прямоульный импульс (или даже меандр) из спектра - на каждом фронте будет артефакт (который можно сделать любой минимально желаемой длительности). Но это феномен ряда Фурье, а не ТК.

ЗЫ, ну и, вам привели "примитивную синусоиду" спектр ее известен, что можно сказать ? без всяких заумностей с преобразованиями Фурье?

Котельников на самом деле умный мужик был (академик), да и математика - строгая наука (что не отменяет в ней некоторые парадоксальные феномены).
Да, есть синусоида: берем частоту в два раза больше и дискретизуем. При определенном сдвиге фаз - мы сможем ее восстановить с нулевой погрешностью. Берем частоту в 1,5 раза больше частоты синусоиды: при ЛЮБОМ сдвиге фаз - мы 100% ее не восстановим.
Всё. Это как раз и хотел сказать Котельников своей теоремой.

[INT1]

2Atridies ,я никак не хочу обидеть ни Котельникова , ни его заслуги. Но математика - точная наука, как и физика, и не предполагает что то навроде закона в первом чтении втором, и т.д. "Хотел сказать"- это уже двусмысленность, это уже ,-не математика.
ЗЫ, а вобщето, если говорить о спектре, что и выше и было сказано,то тут тоже работает "принцип неопределенности",
чем короче время его определения(измерения), тем меньше мы можем сказать, как он "выглядит".

[wim]

Мужики, мы ж не в верховной раде, чи там, в думе... Есть формулировка и есть какое то доказательство, это ж математика, а не законы и правила -к-рые можно передергивать. Посмотрите теорему КошИ например, - все четко и ясно, а тут, даже в первом приближении- теотрема не работает. Все это было "узаконено" в протИву Шеннону-типа, и мы не лыком шиты,-это не есть истина, да и не теорема это-в смысле Котельникова. Пусть он и заслуженный товарисчь- но не математик, просто- "заслуженный чиновник от науки" тогО времени.

Котельников не был математиком - это верно, но и чиновником тоже не был. На момент написания статьи он был инженером, так и подписался - "инженер Котельников". Так Вы хотели что-то о его теореме сказать (кстати, - какой именно?). Мы Вас внимательно слушаем.

ЗЫ, ну и, вам привели "примитивную синусоиду" спектр ее известен, что можно сказать ? без всяких заумностей с преобразованиями Фурье?

Продолжаем внимательно слушать. Очень хоцца узнать, как выглядит спектр "примитивной синусоиды". Заодно, если не трудно, - спектр сигнала постоянного уровня.

[andran25]

Раз уж я начал эту тему, то постараюсь внести ясность.
Поскольку я не нашел в интернете ответа на данный вопрос,
то написал небольшую статью, где постарался математически
объяснить в чем проблема. Статью можно найти здесь:

http://andyplekhanov.narod.ru/science/kotelnikov_bug.pdf

или на моей страничке, посвященной науке:

http://andyplekhanov.narod.ru/science/sci.htm

Хотелось бы услышать отзывы.

[rudy_b]

Я бы сказал, что это и верно и неверно. В исходной теореме при наличии граничной частоты требуется бесконечная выборка, т.е. получение результата откладывается навсегда, что эквивалентно невозможности его получения.
Вы сказали практически то же самое - хотите получить результат - убирайте граничную частоту. Но это практическая точка зрения, может быть теоретики усмотрят существенную разницу.

Я бы сказал, что суть понятна и споры о точной формулировке теоремы Котельникова полезны только с учебной точки зрения.

При использовании Фурье возникает очень много гораздо более интересных (и необходимых на практике) нюансов в области его практического использования. Например точное определение частоты синусоидального сигнала и его фазы на конечной выборке при некратных частотах выборки. Очень интересный вопрос, по которому написано-то много, но не сказано почти ничего конкретного. Мы столкнулись с этой задачкой и даже научились ее решать с высокой точностью (на уровне 10^-4-10^-5), но - практически. Внятного теоретического ответа найти не смогли. Может кто-то подскажет?

[INT1]

2wim теорема должна быть поставлена так, чтобы к ней нельзя было придраться. Необходимость выполняется, а достаточность-нет.
Формалист я, вот и придираюсь .

[blackfin]

Например точное определение частоты синусоидального сигнала и его фазы на конечной выборке при некратных частотах выборки. Очень интересный вопрос, по которому написано-то много, но не сказано почти ничего конкретного. Мы столкнулись с этой задачкой и даже научились ее решать с высокой точностью (на уровне 10^-4-10^-5), но - практически. Внятного теоретического ответа найти не смогли. Может кто-то подскажет?

А этого: http://electronix.ru/forum/index.php?s=&am...st&p=402753 - не достаточно?
Или этого: http://electronix.ru/forum/index.php?showt...mp;#entry339537 - для фазы?

Сообщение отредактировал blackfin - Jan 20 2009, 05:45

[scifi]

2wim теорема должна быть поставлена так, чтобы к ней нельзя было придраться. Необходимость выполняется, а достаточность-нет.
Формалист я, вот и придираюсь .

Пожалуйста. Коль скоро в формулировке теоремы речь идёт о спектре сигнала, значит подразумевается, что этот спектр существует. В математически строгих формулировках обычно так и пишут: "если функция непрерывная, абсолютно интегрируемая, и т.д. и т.п., то ...". Выше неоднократно упоминалось, что у бесконечной синусоиды спектр не существует, и строгая формулировка синусоиду отсеет сразу. Следовательно, про такой сигнал теорема ничего не может сказать. Всё.

[GetSmart]

ТК применяется не к отсчетам, а к функциям, имеющим спектр, т.е. интегрируемым. Непрерывный синусоидальный сигнал к таковым не относится, соответственно и ТК к нему неприменима. Впрочем, если хотите, можете попрактиковаться в рисовании спектра оного синуса, тока будьте осторожны - дельта-функция уходит в бесконечность, как бы в глазик кому не ширнуть.

Глупость. Дельта-функция вырождается в натуральное число. Точнее в комплексное. Спектр синусоидального сигнала (множества синусоид) по бесконечности - множество чисел, содержащих частоту, фазу и амплитуду.

Похоже, тов. GetSmart не очень знаком с дельта-функциями.

А ты вообще не вякай

Я бы сказал, что суть понятна и споры о точной формулировке теоремы Котельникова полезны только с учебной точки зрения.

При использовании Фурье возникает очень много гораздо более интересных (и необходимых на практике) нюансов в области его практического использования. Например точное определение частоты синусоидального сигнала и его фазы на конечной выборке при некратных частотах выборки. Очень интересный вопрос, по которому написано-то много, но не сказано почти ничего конкретного. Мы столкнулись с этой задачкой и даже научились ее решать с высокой точностью (на уровне 10^-4-10^-5), но - практически. Внятного теоретического ответа найти не смогли. Может кто-то подскажет?

Споры полезны именно для практического применения.
С тривиальной задачкой, связанной с ТК вы столкнулись. Это т.н. "нулевой уровень". Теперь столкнитесь с задачкой отделения (выяснения спектра) для двух некратных частот в конечном множестве отсчётов. Обычно некратная частота попадается с вероятностью 1. Потом отпишитесь о результате. И продолжим обсуждать ТК.

[Tanya]

Глупость. Дельта-функция вырождается в натуральное число. Точнее в комплексное. Спектр синусоидального сигнала (множества синусоид) по бесконечности - множество чисел, содержащих частоту, фазу и амплитуду.
Потом отпишитесь о результате. И продолжим обсуждать ТК.

Только используя именно такие точные формулировки и можно постичь истину.

[wim]

Раз уж я начал эту тему, то постараюсь внести ясность.
Поскольку я не нашел в интернете ответа на данный вопрос,
то написал небольшую статью, где постарался математически
объяснить в чем проблема. Статью можно найти здесь:

http://andyplekhanov.narod.ru/science/kotelnikov_bug.pdf

или на моей страничке, посвященной науке:

http://andyplekhanov.narod.ru/science/sci.htm

Хотелось бы услышать отзывы.

Это, собс-но, предложение (одно из оных) по расширению области применимости ТК на обобщенные функции. Однако, условие S(w1)=0 фактически предполагает применимость к функции преобразования Фурье. И в таком виде оно практически бесполезно, поскольку известны достаточные условия применимости преобразования Фурье. Если говорить конкретно о непрерырывном синусе, то неприменимость к нему ТК имеет более фундаментальный характер, чем исходные постулаты самой ТК. Остается также вопрос терминологии - что считать частотой w1, например, для дельта-функции расположенной на нулевой частоте. Очевидно, что понятие w1 (аргумент функции) должно быть определено до того, как будет вычислена функция от этого аргумента.

[rudy_b]

А этого: http://electronix.ru/forum/index.php?s=&am...st&p=402753 - не достаточно?
Или этого: http://electronix.ru/forum/index.php?showt...mp;#entry339537 - для фазы?

Это слишком по детски (особенно второе), люди даже не знают про функцию окна. При необходимой точности порядка 10^-5 нужны гораздо более мощные методы. По нашим алгоритмам такая точность получается при наличии белого шума до 1%(амплитуда). А нет-ли чего-нибудь более серьезного?

[blackfin]

Это слишком по детски (особенно второе), люди даже не знают про функцию окна. При необходимой точности порядка 10^-5 нужны гораздо более мощные методы. По нашим алгоритмам такая точность получается при наличии белого шума до 1%(амплитуда). А нет-ли чего-нибудь более серьезного?

Окно не нужно, если измерения проводить на отрезке, кратном периоду sin.
Более серьезное по первой ссылке.

[rudy_b]

Глупость. Дельта-функция вырождается в натуральное число. Точнее в комплексное. Спектр синусоидального сигнала (множества синусоид) по бесконечности - множество чисел, содержащих частоту, фазу и амплитуду.


А ты вообще не вякай


Споры полезны именно для практического применения.
С тривиальной задачкой, связанной с ТК вы столкнулись. Это т.н. "нулевой уровень". Теперь столкнитесь с задачкой отделения (выяснения спектра) для двух некратных частот в конечном множестве отсчётов. Обычно некратная частота попадается с вероятностью 1. Потом отпишитесь о результате. И продолжим обсуждать ТК.

Мне показалось, что уважаемый "guru killer" заявил, что он осчастливил это обсуждение своим отсутствием.

Окно не нужно, если измерения проводить на отрезке, кратном периоду sin.
Более серьезное по первой ссылке.

К сожалению, так не бывает, в этом то и проблема.

Про первую ссылку. При применении любой весовой функции они бы получили намного лучшие результаты. Если важно выделить синус, то наиболее подходит гаусс, он обеспечивает разделение до 80 дБ. Спасибо за попытку помочь.

[petrov]

Про первую ссылку. При применении любой весовой функции они бы получили намного лучшие результаты. Если важно выделить синус, то наиболее подходит гаусс, он обеспечивает разделение до 80 дБ. Спасибо за попытку помочь.

Можно использовать разложение по другим ортогональным функциям которые в частотной области в отличие от синков имеют большое подавление за пределами своей полосы. Смотеть Filter Banks.

[GetSmart]

Мне показалось, что уважаемый "guru killer" заявил, что он осчастливил это обсуждение своим отсутствием.

Ближе к делу.

ЗЫ. С той поры беседа оживилась. И ещё, меня попросили остаться

ЗЗЫ. И не вешайте всем лапшу на уши про точность 10e-5. В лучшем случае на фоне слабого белого шума. В присутствии любого стороннего сигнала точность будет меньше, причём такая, о какой не писали в книжках.

Сообщение отредактировал GetSmart - Jan 20 2009, 12:59

[777777]

В оригинальной формулировке (да и в книжках) Котельникова всё-таки больше (меньше) или равна. Прокомментируйте плиз.

Огласите весь списочек, пжлст ©. В каких книжках такое утверждается? Частота должна быть строго больше, хоть на миллионную долю. Если она равна, то восстановление невозможно по очевидным причинам, приведенным в посте #1

[тау]

Можно использовать разложение по другим ортогональным функциям которые в частотной области в отличие от синков имеют большое подавление за пределами своей полосы. Смотеть Filter Banks.

Можно то оно можно, только вряд-ли получится лучше.

Я тут просто просимулировал восстановление 2-х перемешанных синусов 500 и 800 Гц с частотой квантования от 2 до 3 кГц.
Так вот наиболее похожий результат получился после фильтра Баттерворта 4 го порядка (после дискретизатора).
Чебышев 10 порядка, горааааздо хуже.
а 20-го порядка совсем неважно.
Жаль что синки по простому в симулятор не вставляются.

[rudy_b]

Можно использовать разложение по другим ортогональным функциям которые в частотной области в отличие от синков имеют большое подавление за пределами своей полосы. Смотеть Filter Banks.

Мы проверили и такое решение. Но, если на входе синусоидальный сигнал с невысоким уровнем гармоник и требуется высокая точность, оно оказывается слишком неэкономным. Простое фурье с правильной весовой функцией и некими эмпирическими махинациями при обработке результата дает значительно более высокую точность при меньших затратах.

[blackfin]

К сожалению, так не бывает, в этом то и проблема.

Напротив, это происходит довольно часто..

Очень часто измерение физических параметров какого-либо объекта сводится к измерению АЧХ(f) и ФЧХ(f) этого объекта. Это и всевозможные дефектоскопы, и металлоискатели, и лазерные дальномеры, и классические измерители элементов матрицы рассеяния S₁₁, S₁₂, и пр.. При этом измерительный прибор является одновременно и генератором и "потребителем" тестового гармонического сигнала частота которого, ессно, выбирается самим измерительным прибором и, следовательно, известна априори. А раз так, мы всегда можем точно указать длительность отрезка времени, для которого данный гармонический сигнал будет являться одной из базисных функций на этом отрезке, и найти скалярное произведение между зондирущим гармоническим сигналом и гармоническим сигналом полученным в результате воздействия на объект, что, ессно, поволит нам вычислить искомые АЧХ(f) и ФЧХ(f) исследуемого объекта.

Так что, никаких сожалений и никаких проблем..

[ReAl]

У Баскакова теорема Котельникова высказывается так: " Произвольный сигнал, спектр которого не содержит частоты выше fв, Гц, может быть полностью восстановлен, если известны отсчетные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки времени 1/(2fв) сек."

Неплохо бы составить коллекцию формулировок ТК :-)

Ф.Е.Темников и др.
"Теортеические основы информационной техники", М., "Энергия", 1971
стр. 75

Если непрерывная функция f(t) удовлеворяет условию Дирихле (ограничена, кусочно-непрерывна и имеет конечное число экстремумов) её спектр ограничен частотой w_m, то существует такой максимальный интервал, при котором имеется возможность безошибочно восстановить

и т.д.
Интервал равен 1/2f_m (а не "не больше"), спектр не равен 0 в интервале -w_m ... w_m
т.е. неравенства везде нестрогие.
Но - имеет конечное число экстремумов явно не про синусоиду, причём даже "низкой" частоты (в этом смысле ограничение спектра строгим неравенством выглядит менее жёстким ). Это в идельном мире математики.
Дальше идёт текст про ограничения в реальной жизни от предсказуемости функций с ограниченным спектром до неограниченности спектра функций конечной длительности ("являющися носителями сообщений"), которые лень набирать (да и тут уже припоминалось) и бесконечное время работы идеального фильтра, заканчивающиеся таким:

Приведенные замечания свидетельствуют, что применение теоремы Котельникова вызывает определённые трудности в том случае, когда она рассматривается как точное утверждение ... можно рассматривать как приближённую для функций с неограниченным спектром.

и отсылка к Железнову.

Огласите весь списочек, пжлст ©. В каких книжках такое утверждается? Частота должна быть строго больше, хоть на миллионную долю. Если она равна, то восстановление невозможно по очевидным причинам, приведенным в посте #1

Вот я и огласил

[Designer56]

Кстати, а с чего некоторые уважаемые коллеги зациклились на конечном числе отсчетов? В ТК об этом ни слова. Да и как можно представлять бесконечный по времени сигнал ( при ограниченном в частотной области спектре) конечным числом отсчетов? Разумеется, речь идет об абсолютно точном представлении (восстановлении).

[ReAl]

Кстати, а с чего некоторые уважаемые коллеги зациклились на конечном числе отсчетов? В ТК об этом ни слова.

Так это само собой (и само собой на практике уже неприменимо). Просто "та" синусоида даже при бесконечном числе отсчётов не восстанавливается.

[wim]

Неплохо бы составить коллекцию формулировок ТК :-)

Рановато - мы тут ишо со спектром синуса не разобрались. Есть предложение вычислять оный "без всяких заумностей с преобразованиями Фурье". Ждем результатов вычисления. А лично меня еще интересует наивысшая частота спектра сигнала постоянного уровня (никак не могу добиться ответа от актуальных товарищей). Неровен час придется его дискретизировать, а мы тут в полных непонятках.

[Designer56]

Так это само собой (и само собой на практике уже неприменимо). Просто "та" синусоида даже при бесконечном числе отсчётов не восстанавливается.

Применимо- с разумными оговорками, разумеется...Вы же разговариваете по телефону ч/з цифровые каналы? И практически можно это делать бесконечно долго...Особенно это женщин касается.

[Atridies]

Например точное определение частоты синусоидального сигнала и его фазы на конечной выборке при некратных частотах выборки. Очень интересный вопрос, по которому написано-то много, но не сказано почти ничего конкретного

Если Фурье крутить на бесконечном отрезке (-бесконечность...+бесконечность) тогда при конечной длительности синусоиды спектр будет не прямая линия, а функция вида sin(x)/x - это известно. Если надо точно измерить - надо крутить ПФ только на отрезке реализации синусоиды. В этом случае будет одна-единственная прямая. Кроме того, для улучшения точности результатов - надо увеличить частоту дискретизации, чтобы увеличить статистику (чтобы шаг спектральных составляющих был маленьким). Теоретически, можно получить любую точность, практически - лучше 10^-6 наверное сложно будет получить, ввиду погрешностей Fдискр, шума квантования и пр.пр.пр.

Выше неоднократно упоминалось, что у бесконечной синусоиды спектр не существует, и строгая формулировка синусоиду отсеет сразу

Спектр бесконечной синусоиды - это просто число. # 5 Гц. Вот спектр ЧМ - это функция, а спектр синусоиды - это число. Т.е. функция не равна нулю только в оной точке. И равна она в ней - амплитуде синусоиды.

А лично меня еще интересует наивысшая частота спектра сигнала постоянного уровня (никак не могу добиться ответа от актуальных товарищей).

Шутить изволите

На мой взгляд, ТК наверное сформулирована чуть-чуть некорректно. Такое бывает и в математике и в физике (что нисколько не умаляет вклад в науку Котельникова). Основной ее смысл: что нельзя, ни теоретически, ни практически восстановить сигнал, частота которого больше Fдискр/2. А вот если равна - сфазируйте правильно - и будет Вам счастье.
Это также как и неявное следствие из линейных и нелинейных цепей: главное отличие с т.з. сигналов, что одни добавляют новые частоты в спектр, а другие - модифицируют спектр без этого.

[Tanya]

Применимо- с разумными оговорками, разумеется...Вы же разговариваете по телефону ч/з цифровые каналы? И практически можно это делать бесконечно долго...Особенно это женщин касается.

Лучше тут женщин не касаться... Не отклоняйтесь от темы.
Мужчины вот, оказывается, могут бесконечно долго писать про свои заблуждения в интерпретации давным-давно доказанного. При этом явно видна сезонная периодичность. Поэтому выдвигаю...
Пока в качестве ...
Гипотеза о выборках (моя).
Если брать только каждый десятый (а может быть... сотый или тысячный) пост про это, то будут исчерпаны все "идеи" всех остальных постов. Надо только подождать...
Конца ведь не будет...?

[Designer56]

Лучше тут женщин не касаться... Поэтому выдвигаю...
Пока в качестве ...
Гипотеза о выборках (моя).
Если брать только каждый десятый (а может быть... сотый или тысячный) пост про это, то будут исчерпаны все "идеи" всех остальных постов. Надо только подождать...
Конца ведь не будет...?

А как выбирать? раномерно- удаленно?

[GetSmart]

На мой взгляд, ТК наверное сформулирована чуть-чуть некорректно. Такое бывает и в математике и в физике (что нисколько не умаляет вклад в науку Котельникова). Основной ее смысл: что нельзя, ни теоретически, ни практически восстановить сигнал, частота которого больше Fдискр/2. А вот если равна - сфазируйте правильно - и будет Вам счастье.

Хватит зацикливаться на самом мелком баге ТК. Я же ткнул пальцем в баг гораздо серьёзней. Еще в другой теме, ссылочка где-то в первых постах есть. Это баг - всем багам баг В сложных сигналах при любом количестве взятых отсчётов будут некратные частоты, которые частично неортогональны. Поэтому вычислить точный спектр после дискретизации (отделить одну частоту от другой) не представляется возможным никакими методами. Котельников об этом явно был не в курсе поэтому и облажался. Кстати, даже на бесконечности этот баг присутствует.

Сообщение отредактировал GetSmart - Jan 20 2009, 17:55

[Tanya]

А как выбирать? раномерно- удаленно?

Очевидно, что при большой выборке можно выбирать произвольно. Ведь видов заблуждений не так много...

[andran25]

Это, собс-но, предложение (одно из оных) по расширению области применимости ТК на обобщенные функции. Однако, условие S(w1)=0 фактически предполагает применимость к функции преобразования Фурье. И в таком виде оно практически бесполезно, поскольку известны достаточные условия применимости преобразования Фурье. Если говорить конкретно о непрерырывном синусе, то неприменимость к нему ТК имеет более фундаментальный характер, чем исходные постулаты самой ТК. Остается также вопрос терминологии - что считать частотой w1, например, для дельта-функции расположенной на нулевой частоте. Очевидно, что понятие w1 (аргумент функции) должно быть определено до того, как будет вычислена функция от этого аргумента.

Обобщенные функции тут ни при чем. Косинус тоже имеет образом дельта функцию, однако с ним
таких проблем не возникает.

[wim]

Спектр бесконечной синусоиды - это просто число. # 5 Гц. Вот спектр ЧМ - это функция, а спектр синусоиды - это число. Т.е. функция не равна нулю только в оной точке. И равна она в ней - амплитуде синусоиды.

Хорошо, можно и так - угловая модуляция синусоидальным сигналом с индексом m<1 - спектр содержит составляющую на несущей частоте и две боковые. Если уменьшать частоту модуляции, "боковушки" будут приближаться к центральной составляющей. В пределе частота модуляции становится бесконечно малой - так вот хоцца понять, как эти три спектральные составляющие превратятся в одно число.
P.S. А у этого числа частота есть или только амплитуда?

Обобщенные функции тут ни при чем. Косинус тоже имеет образом дельта функцию, однако с ним
таких проблем не возникает.

Еще раз - существуют достаточные условия применимости к функции преобразования Фурье. Достаточность означает, что можно заранее определить - применимо к данной функции преобразование Фурье или нет. Если оно неприменимо, то автоматически неприменима и базирующаяся на нем ТК, после чего нет никакой нужды в дополнительных ограничениях в виде необходимых условий к самой ТК.
P.S. По-прежнему интересуюсь верхней граничной частотой дельта-функции.

[andran25]

Хорошо, можно и так - угловая модуляция синусоидальным сигналом с индексом m<1 - спектр содержит составляющую на несущей частоте и две боковые. Если уменьшать частоту модуляции, "боковушки" будут приближаться к центральной составляющей. В пределе частота модуляции становится бесконечно малой - так вот хоцца понять, как эти три спектральные составляющие превратятся в одно число.
P.S. А у этого числа частота есть или только амплитуда?


Еще раз - существуют достаточные условия применимости к функции преобразования Фурье. Достаточность означает, что можно заранее определить - применимо к данной функции преобразование Фурье или нет. Если оно неприменимо, то автоматически неприменима и базирующаяся на нем ТК, после чего нет никакой нужды в дополнительных ограничениях в виде необходимых условий к самой ТК.
P.S. По-прежнему интересуюсь верхней граничной частотой дельта-функции.

Дельта функция от какой переменной ? Времени ?
Тогда для delta(t - t0) C=cos(omega*t0) S=sin(omega*t0) АЧХ=1

Сообщение отредактировал andran25 - Jan 20 2009, 19:07

[тау]

А лично меня еще интересует наивысшая частота спектра сигнала постоянного уровня (никак не могу добиться ответа от актуальных товарищей). Неровен час придется его дискретизировать, а мы тут в полных непонятках.

=0

Сообщение отредактировал тау - Jan 20 2009, 19:07

[GetSmart]

wim, ширина спектра любой частоты по бесконечности равна нулю. В том числе и постоянки (0-частоты). Спектр любой одиночной частоты - точка на шкале частот. Спектр сигнала из нескольких гармоник - множество точек.

[тау]

... баг - всем багам баг В сложных сигналах при любом количестве взятых отсчётов будут некратные частоты, которые частично неортогональны. Поэтому вычислить точный спектр после дискретизации (отделить одну частоту от другой) не представляется возможным никакими методами. Котельников об этом явно был не в курсе поэтому и ....

сорри , туплю наверное
а это что ? Разве не ОНО

Прикрепленные изображения

 

[wim]

Дельта функция от какой переменной ? Времени ?
Тогда для delta(t - t0) C=cos(omega*t0) S=sin(omega*t0) АЧХ=1

От частоты. Мы проверяем Вашу поправку к ТК не на той функции, на которой она была выведена (синусе), а на другой. Если поправка верна, значит можно найти частоту дискретизации и для сигнала постоянного уровня (чем он хуже других?). Вот я и интересуюсь - как Вы представляете себе w1 для дельта-функции на нулевой частоте?

wim, ширина спектра любой частоты по бесконечности равна нулю. В том числе и постоянки (0-частоты). Спектр любой одиночной частоты - точка на шкале частот. Спектр сигнала из нескольких гармоник - множество точек.

У дельта-функции нет ширины спектра, потому что это понятие к ней неприменимо. И по этой причине существуют функции, для которых неприменима ТК. Не потому, что у нее "баг", просто такое вот ограничение.

[rudy_b]

...Так что, никаких сожалений и никаких проблем..

У нас сигнал внешний, а частота дискретизации собственная. Попытки присинхронизации предпринимались неоднократно и не только нами. Результат плачевный по вполне объяснимым и понятным причинам. Поэтому и приходится использовать разные махинации с фурье.

[GetSmart]

У дельта-функции нет ширины спектра, потому что это понятие к ней неприменимо.

А к функции SinX/X применим аргумент = 0 ? Однако его используют.
ИМХО ширины спектра нет только у пустого множества.

И по этой причине существуют функции, для которых неприменима ТК. Не потому, что у нее "баг", просто такое вот ограничение.

Я такие даже не рассматривал никогда. ТК применима (обязана быть) к гармоническим сигналам (sin,cos). Но даже с ними есть проблемы. А другие функции не стоит вообще обсуждать. Лишнее.

[wim]

ТК применима (обязана быть) к гармоническим сигналам (sin,cos).

Не обязана, поскольку непрерывный синус имеет неограниченную энергию, поэтому спектр, ограниченный диапазоном частот, на какой-то частоте получит бесконечно большую спектральную плотность. Без нелюбимой Вами дельта-функции не обойтись.

[andran25]

От частоты. Мы проверяем Вашу поправку к ТК не на той функции, на которой она была выведена (синусе), а на другой. Если поправка верна, значит можно найти частоту дискретизации и для сигнала постоянного уровня (чем он хуже других?). Вот я и интересуюсь - как Вы представляете себе w1 для дельта-функции на нулевой частоте?

Функция должна быть интегрируемой от минус бесконечности до
плюс бесконечности. Постоянная функция не удовлетворяет этому условию.

[fontp]

Не обязана, поскольку непрерывный синус имеет неограниченную энергию, поэтому спектр, ограниченный диапазоном частот, на какой-то частоте получит бесконечно большую спектральную плотность. Без нелюбимой Вами дельта-функции не обойтись.

А за нелюбимой дельта-функцией возникнет вопрос, а что значит восстановить сигнал?

Появится интегрирование по Лебегу и сходимость "почти везде", по которой вклад в непрерывный спектр сигнала синусоиды частоты Fd/2 можно вообще отбросить (энергия бесконечно мала в интервале df) и не морочить голову ни себе ни другим :-)

Ох гурукилер этого не любит, интегрирование по Лебегу и обобщенных функций, ох не любит...

Я бы сказал так: Для реальных функций у реальных пацанов (как гурукилер) частоту Fd/2 нужно исключить из ТК. А для обобщенных функций - и так сойдёт, можно включить и всё будет строго в метрике L2

Бесконечная синусоида конечной амплитуды реальной функцией для реальных пацанов не является, у неё сингулярность в спектре

[blackfin]

Ох гурукилер этого не любит, интегрирование по Лебегу и обобщенных функций, ох не любит...

Он ещё Гуру не любит, - они ему напоминают дельта-функции..

[wim]

Функция должна быть интегрируемой от минус бесконечности до
плюс бесконечности. Постоянная функция не удовлетворяет этому условию.

Как и непрерывный синусоидальный сигнал - он тоже не удовлетворяет. Поэтому к нему неприменимо преобразование Фурье, а, следовательно и ТК.

[andran25]

Как и непрерывный синусоидальный сигнал - он тоже не удовлетворяет. Поэтому к нему неприменимо преобразование Фурье, а, следовательно и ТК.

Неправда. Синусоидальный удовлетворяет. Получается дельта функция -
везде ноль кроме точки где частота равна частоте синуса.

[RadioJunior]

Как известно из теоремы Котельникова, для того, чтобы аналоговый
сигнал мог быть оцифрован а затем восстановлен, необходимо и
достаточно, чтобы частота дискретизации была больше или равна
верхней частоте аналогого сигнала.
Предположим, у нас есть синус с периодом 1 секунда.
Тогда f = 1 / T = 1 герц, sin( ( 2*pi / T ) * t ) = sin( 2 * pi * t ),
частота дискретизации 2 герца, период дискретизации 0,5 секунды.
Подставляем значения, кратные 0,5 секунды в формулу для синуса
sin( 2 * pi * 0 ) = sin( 2 * pi * 0,5 ) = sin( 2 * pi * 1 ) = 0

Везде получаются нули.
Как же тогда можно восстановить этот синус ?

Возможно здесь есть найдете ответ на этот вопрос: h*t*t*p://prodav.exponenta.ru/read/info02.htm

[fontp]

Неправда. Синусоидальный удовлетворяет. Получается дельта функция -
везде ноль кроме точки где частота равна частоте синуса.

А в этой точке её значение (спектральной плотности) равно бесконечности. Это ничего? Чистая бесконечная синусоида - это абстракция. В реальности у неё обязательно есть фазовый шум и сингулярность размажется в спектральную линию. Или она должна рассматриваться на конечном интервале времени и снова получится спектральная линия конечной (не бесконечно узкой) ширины.

И вклад одиночной частоты Fd/2 в энергию этого сигнала будет бесконечно малым. Вот математики и говорят, что в смысле метрики L2 одна спектральная точка не играет роли, она ничтожна. Интервал частот решает

В Теореме Котельникова ошибок нет. Это в мозгах ошибки неадекватности моделей

В интерпретации Теоремы есть проблема, связаная с тем что реальные сигналы вроде бы должны быть ограничены во времени, не только по спектру. Ведь бесконечности нет, это всегда абстракция в смысле предельного перехода. В формулировке теоремы есть практическая, "инженерная" бесконечность. Т.е. рассматриваемых в Теореме сигналов строго говоря не существует в природе. Но она работает и для реальных сигналов - ограниченых сначала по частоте, потом по времени. И это строго доказывается. Но это сложно, и инженеров этому не учат

[wim]

Неправда. Синусоидальный удовлетворяет. Получается дельта функция -
везде ноль кроме точки где частота равна частоте синуса.

Получается две дельта-функции, вторая - на отрицательной частоте. Но это непринципиально - синус, как и постоянный уровень не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости. Следовательно ... и дальше идем опять по кругу. Лучше подождем GetSmartа - он что-нить новенькое придумает, чтоб поднять тему на новый виток диалектицкой спирали.

[GetSmart]

Но она работает и для реальных сигналов - ограниченых сначала по частоте, потом по времени. И это строго доказывается. Но это сложно, и инженеров этому не учат

Другими словами, в сугубо инженерной книге Радиотехнические цепи и сигналы даётся неадекватная интерпретация ТК применительно к реалиям. Приведена только идеализированная интерпретация, но о никаких ограничениях, возникающих на практике не говорится, как будто их нет в принципе?! Почему?

А в этой точке её значение (спектральной плотности) равно бесконечности. Это ничего? Чистая бесконечная синусоида - это абстракция. В реальности у неё обязательно есть фазовый шум и сингулярность размажется в спектральную линию. Или она должна рассматриваться на конечном интервале времени и снова получится спектральная линия конечной (не бесконечно узкой) ширины.

Ширина спектральной "линии" идеальной синусоиды обратнопропорциональна временному интервалу. При устремлении интервала в бесконечность ширина падает до "нуля" и превращается в точку. Но. Она существует! Да, и не надо её бояться. На шкале спектральной мощности она зашкаливает и напоминает сингулярность, хотя и имеет некий числовой коэффициент для дополнительных математических операций (типа если пять бесконечностей поделить на одну бесконечность, будет 5 ). На шкале спектральной амплитуды для бесконечной синусоиды будет обычное число. Вообще красотища.

Хотел спросить Вас лично. Проблема неортогональности гармоник в дискретизированном сигнале является проблемой какой теоремы? Котельникова? Фурье? или кого-то ещё?

Сообщение отредактировал GetSmart - Jan 21 2009, 15:50

[wim]

... Проблема неортогональности гармоник в дискретизированном сигнале является проблемой какой теории? Котельникова? Фурье? или кого-то ещё?

Вы бы огласили проблему с конкретными примерами, а то не весь народ в курсе.

[fontp]

Другими словами, в сугубо инженерной книге Радиотехнические цепи и сигналы даётся неадекватная интерпретация ТК применительно к реалиям. Приведена только идеализированная интерпретация, но о никаких ограничениях, возникающих на практике не говорится, как будто их нет в принципе?! Почему?

Это уже вопрос философский. В конечном счете оправдание науки вообще не в изложении "истины", а в практической полезности. Инженеров учат тому, что может быть полезно в практической деятельности и стараются не забивать работающие приёмчики деталями

Ширина спектральной "линии" идеальной синусоиды обратнопропорциональна временному интервалу. При устремлении интервала в бесконечность ширина падает до "нуля" и превращается в точку. Но. Она существует! Да, и не надо её бояться. На шкале спектральной мощности она зашкаливает и напоминает сингулярность, хотя и имеет некий числовой коэффициент для дополнительных математических операций (типа если пять бесконечностей поделить на одну бесконечность, будет 5 ). На шкале спектральной амплитуды для бесконечной синусоиды будет обычное число. Вообще красота.

Мантры.
Везде, где появляется бесконечность, реально это означает предельный переход. Нет бесконечности во Вселенной Бесконечность - это свернутое представление о процессе предельного перехода. Иероглиф

Хотел спросить Вас лично. Проблема неортогональности гармоник в дискретизированном сигнале является проблемой какой теории? Котельникова? Фурье? или кого-то ещё?

Проблема неортогональности гармоник ? Это что за зверь?

Отрезок сигнала ограниченый во времени разлагается в ряд Фурье.
Можно было бы в интеграл Фурье, но это практически нереально для дискретного представления (после дискретизации)
В любом случае ДПФ - это дискретный аналог ряда Фурье, а не интеграла Фурье. И в этом ряде дискретный набор частот.
Если Вы имели в виду, что в ДПФ нет непрерывных промежуточных частот, то ответ состоит в том, что Фурье и Котельников не виноваты, просто мы практически используем не идеальный инструментарий. Он не негодный - мы собираем реально в каждый спектральный отсчет вклад от всех частот каждого частотного бина, т.е. с некоторым разрешением оцениваем интеграл Фурье, который следовало бы строго говоря считать физическим спектром