Определить импульсный отклик линейной-стационарной системы, Вычислить h(t) Опции

[BlackOps]

Предположим система описана следующим уравнением: y(t) = Integral[-Inf, t: e^(-(t-Tao)) * x(Tao - 2) dTao] и мне нужно определить импульсный отклик системы h(t). К примеру я начинаю заменять переменные:
Tao' = Tao-2
Tao = Tao'+2
dTao'=dTao

и теперь мое уравнение выглядит так:

y(t) = Int[?, ?: e^(-(t-2-Tao')) * x(Tao') dTao'

но...как теперь быть дальше? как правильно определить новый лимит интегрирования и вычислить ?

спасибо!

[scifi]

Для начала нужно доработать уравнение, описывающее систему: нужно, чтобы это уравнение также описывало и внешнее воздействие. Ну а потом решить это уравнение с внешним воздействием нужной формы (дельта-функция для импульса) и правильными начальными условиями.

[SSerge]

С точки зрения математики нужно интегрировать до t-2.
Если же посмотреть в учебнике тему про интеграл Дюамеля, то выяснится что верхний предел интегрирования можно сделать и t, и даже бесконечность. Нужно только доопределить импульсную характеристику h(t) так, чтобы при t<0 она была тождественно равна нулю (условие физической реализуемости).
В исходной формуле это обеспечивается автоматически, за счёт предела интегрирования.
Ответ:
h(t) = 0 при t<2;
h(t) = exp(-(t-2)) при t>=2;

[thermit]

достаточно будет привести этот интеграл к классической свертке, и сомножитель, который не x будет являться импульсной характеристикой системы.

заменяем t-tau+2 на s:

ds=-dtau s=t-tau+2 tau=t-s+2

нижний предел t+inf+2 ->inf верхний t-t+2 ->2. Меняем пределы местами и убираем минус.

int(2,inf,x(t-s)*exp(2-s) ds)

h(t) = exp(2-t) при t>=2, 0 - иначе.


Как-то таг...

Сообщение отредактировал thermit - Sep 29 2010, 10:04

[BlackOps]

thermit, SSerge, scifi!! Спасибо огромное всем! Да, я должен был заметить что надо произвести замену переменных!

У меня теперь такой вопрос, который относится как к этой проблеме так и вобщем ко многим аналогичным. Ну, скажем у нас уже есть импульсный отклик который нам известен. Теперь предположим я подаю на эту систему сигнал х(t) который длится от -1 до 2. Или же:
h(t) = ( e^(-(t-2)) )* u(t-2)
x(t) = u(t+1) - u(t-2)

Мне теперь нужно вычислить y(t). Я теперь хочу подробно написать как это делаю и где именно затрудняюсь, и если можно подскажите пожалуйста правильную методику.

1. Я переписываю мои данные заменяя t на tao:
x(tao) = u(tao+1) - u(tao-2)
h(tao) = ( e^(-(tao-2)) ) * u(tao-2)

2. теперь перед тем как произвести свертку я должен сместить один из сигналов на t - tao. т.к. свертка обладает свойством коммутативности, я могу вибрать любой сигнал. скажем я выбираю x(tao). теперь я имею:
x(t-tao) = u(t-tao+1) - u(t-tao+2)

3. а теперь я формирую общий интеграл на всем протяжении времени.
y(t) = Int[t=-Inf, Inf: {( e^(-(tao-2)) ) * u(tao-2)} * {u(t-tao+1) - u(t-tao+2)} dtao
(также прикрепил картинку чтобы было лучше видно)


4. а теперь, мне нужно идентифицировать промежутки и пределы интегрирования. И вот сдесь то я и застреваю! Если посмотрите на картинку, то увидите что перед этим я начинаю идентифицировать интервалы, и таким образом имею:
tao > 2
tao < t+1
tao < t-2

Вопрос: На данной стадии, Как определить сколько у меня промежутков? И как правильно выбрать пределы интегрирования для каждого промежутка?

Если сделать это правильно то остается только решить эти интегралы, что вобщемто дело техники.
И такие ситуации я сейчас вижу часто, я думаю если выработаю технику правильного выбора промежутков и пределов интегрирования то проблем не будет! т.к. все эти случаи аналогичные!
Иногда например на данной стадии после решения неравенств внутри скобок я получаю:
tao > 2
tao < 5
ну тогда вполне ясно что у меня один промежуток от 2 до 5, и предел интегрирования будет от 2 до 5 .

А в приведенном мною примере, сразу видно что там не один промежуток будет, и нужно идентифицировать правильно эти промежутки и пределы интегрирования каждого! я пробовал например делать диаграмму и графически оттуда опознавать промежутки.. но тогда неясно в качестве оси на этих диаграммах выбирать t или tао? Одним словом не выработал я пока нормальной техники для решения данного типа задач

Подскажите пожалуйста правильную методику! спасибо!

Сообщение отредактировал BlackOps - Sep 29 2010, 18:56

Эскизы прикрепленных изображений