Почему не работает теоремма Котельникова при F = 1/2Fs Опции

[Skaf]

Всем привет.

Я только приступаю к изучению ЦОС. Заметил такой факт- в теоремме написано, что частота дискретизации должны быть по крайней мере в 2 раза выше частоты спектра сигнала. Открываю матлаб, набираю там скриптик, где частота дискретизации ровно в 2 раза выше частоты сигнала

Код

t=0:1/8000:0.01;

f1=4000;

x = sin(2*pi*f1*t);

plot(t,x);

Получаю следующий график. Вопрос- почему сигнала практически нет? (10^-14)

Эскизы прикрепленных изображений

 

[MrYuran]

Ну и где удвоенная частота?

[Andron_]

потому что функцию неправильно задаете.

y = sin (2 * pi * F * t / Fd).

[Skaf]

Странно, нам на лекциях давали именно так...

[ataradov]

Странно, нам на лекциях давали именно так...

Записи аналогичны, просто нагляднее действительно так:
t = 0:100;
Fd = 8000;
F = 4000;
x = sin(2*pi*F * t / Fd);
plot(x);

А нули получаются из-за того, что вы всегда в 0 функции попадаете. Добавьте смещение по фазе:

x = sin(2*pi*F * t / Fd + 0.1);

PS: в теореме строгое неравенство.

Сообщение отредактировал Taradov Alexander - Oct 2 2010, 13:29

[V_G]

Вообще-то в теореме Котельникова неравенство строгое. Т.е. в 2 раза больше нельзя, а в 2.001 - можно. Причина строгого неравенства в том, что для исключения наложения спектров в случае равенства пришлось бы применить идеальный фильтр, которого не бывает. Даже цифрового.

[Skaf]

А нули получаются из-за того, что вы всегда в 0 функции попадаете. Добавьте смещение по фазе:

Да видимо в этом и причина. Спасибо.

[Microwatt]

Вообще-то в теореме Котельникова неравенство строгое. Т.е. в 2 раза больше нельзя, а в 2.001 - можно. Причина строгого неравенства в том, что для исключения наложения спектров в случае равенства пришлось бы применить идеальный фильтр, которого не бывает. Даже цифрового.

Да, суть в этом. При теоретической достаточности отсчетов 6800Гц в телефонии берут 8000.

[Aner]

Теорема Котельникова работает, точка! Как то давно в студеньчестве проверяли.
Тогда были доступны 6 порядков после запятой. При отношении 1,999999 не получили. При 2,000001 получили.
Но вот вопрос к студентам, а что же будет при ровном значении 2,000000?
Американцы проверяли при 9 порядках, теорема работает.
Но похоже новые поколения будут таже покушаться на эту теорему.

[Dr.Alex]

Теорема Котельникова работает, точка! Как то давно в студеньчестве проверяли.
Тогда были доступны 6 порядков после запятой. При отношении 1,999999 не получили. При 2,000001 получили.
Но вот вопрос к студентам, а что же будет при ровном значении 2,000000?
Американцы проверяли при 9 порядках, теорема работает.
Но похоже новые поколения будут таже покушаться на эту теорему.

Хорошая шутка!.. :-)))))))))))))))))

[rezident]

Шо, опять???!!! Была обширная тема в оффтопике про теорему Котельникова и ограниченность ее применения. Жаль не ищется поиском она что-то.
Суть ограничения теоремы в том, что там действительно неравенство строгое. Потому, что время в пределе при стремлении частоты сигнала к удвоенной частоте дискретизации стремится к бесконечности. То бишь, для восстановления частоты F при частоте дискретизации 2*F требуется бесконечно большое время.

[тау]

То бишь, для восстановления частоты F при частоте дискретизации 2*F требуется бесконечно большое время.

для абсолютно точного восстановления сигнала по любому потребуется бесконечно большое время.
но если спектр ограничен до Fs/2 , то с заданной точностью восстановить сигнал можно тем быстрее чем больше зазор

[rezident]

для абсолютно точного восстановления сигнала по любому потребуется бесконечно большое время.

Угу. А еще требуется, чтобы исходный сигнал был бесконечный во времени и бесконечное количество дискретных отсчетов

[тау]

Угу. А еще требуется, чтобы исходный сигнал был бесконечный во времени и бесконечное количество дискретных отсчетов

ну тада и 2TΩ ≤1 до кучи

[Oldring]

Теорема работает, но автор, очевидно, использует её неправильную формулировку. Потому что восстановить амплитуду синусоиды с частотой, равной половине дискретизации и произвольной фазой, по ровно двум отсчетам на период, невозможно очевидно.

[Lisitsin]

Теорема работает, но автор, очевидно, использует её неправильную формулировку. Потому что восстановить амплитуду синусоиды с частотой, равной половине дискретизации и произвольной фазой, по ровно двум отсчетам на период, невозможно очевидно.

Можно восстановить если сигнал комплексный.

[Tanya]

Можно восстановить если сигнал комплексный.

Пишите сразу в нобелевский комитет.

[Designer56]

Не пройдет. Нобелевский комитет математикой не занимается.

[mvb]

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%...%BE%D0%B2%D0%B0 :

…если аналоговый сигнал x(t)\; имеет ограниченный спектр, то он может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой строго большей удвоенной максимальной частоты спектра

Всё строго и чётко. Восстановить можно при частоте строго большей.
Синус, дискретизированной с частотой равной его собственной частоте является просто рядом нулей. Естессно, если не добавлять сдвиг фазы.
Чем ближе подбирается полоса сигнала к частоте дискретизации, тем больше времени надо на переходные процессы при включении/выключении. Хорошее и простое объяснение: чем ближе полосу сигнала к частоте дискретизации вы хотите, тем более крутую переходную область у фильтра вам надо, тем длиннее его импульсная характеристика.

[Tanya]

Не пройдет. Нобелевский комитет математикой не занимается.

В этом случае они тоже откажутся от застарелых убеждений.

[DRUID3]

В этом случае они тоже откажутся от застарелых убеждений.

...сам номинант не может выдвигать свою кандидатуру на нобелевку... По правилам. На себя эту роль возлагает обычно одна из общественных организаций.

[Designer56]

В этом случае они тоже откажутся от застарелых убеждений.

Не, не откажутся. Ходят злостные слухи, что какая- то прелестная математичка наставила Нобелю в свое время рога. Вот он и.... Короче, обидел математику в своем завещании.

[DRUID3]

Не, не откажутся. Ходят злостные слухи, что какая- то прелестная математичка наставила Нобелю в свое время рога. Вот он и.... Короче, обидел математику в своем завещании.

...не, не так... Жена Нобеля наставила ему рога с математеГом ... Но "Котельников" и к физике и физико-химии близко примыкает, намного ближе чем думают некоторые...

[729]

Хочу возразить всем, кто считает что в теореме Котельникова должно быть строгое неравенство.
1. Немного странно, но насколько мне известно, ни Котельников ни Шеннон свои первоначальные формулировки теоремы с равенством так и не скорректировали.
2. Теорема Котельникова для сигналов со спектром, содержащим ненулевые комплексные значения на F=1/2*Fs, работает. Возьмите отсчеты функции Котельникова с произвольным некратным 1/Fs смещением по времени (что дает отличный от нуля комплексный спректр в точках +-1/2*Fs) и подставьте в ряд Котельникова - после недолгих преобразований получите равномерно сходящийся ряд (сумма которого приведена в "Интегралы и ряды" Прудникова), суммой ряда будет исходная смещенная по времени функция Котельникова.
3. Очевидно, что дискретизация синуса частоты Fs/2 ведет к потере информации. Также очевидно, что такая потеря возникает из-за наложения спектров при дискретизации. К такому же эффекту приводит и дискретизация косинуса частоты Fs/2 - энергия отсчетов косинуса частоты Fs/2 ровно вдвое больше энергии отсчетов косинуса частоты, например, Fs/4. А если так, то ни синус частоты Fs/2 ни косинус частоты Fs/2 под условия теоремы не попадают. Почему - предлагаю подумать самостоятельно.

Сообщение отредактировал 729 - Oct 4 2010, 10:15

[Tanya]

1. Немного странно, но насколько мне известно, ни Котельников ни Шеннон свои первоначальные формулировки теоремы с равенством так и не скорректировали.

И уже никогда этого не сделают.

[fontp]

3. Очевидно, что дискретизация синуса частоты Fs/2 ведет к потере информации. Также очевидно, что такая потеря возникает из-за наложения спектров при дискретизации. К такому же эффекту приводит и дискретизация косинуса частоты Fs/2 - энергия отсчетов косинуса частоты Fs/2 ровно вдвое больше энергии отсчетов косинуса частоты, например, Fs/4. А если так, то ни синус частоты Fs/2 ни косинус частоты Fs/2 под условия теоремы не попадают. Почему - предлагаю подумать самостоятельно.

3. Авторы возражали в практическом смысле - что восстановить сигнал в действительности не получится, поскольку потребуется и бесконечное время и идеальные прямоугольные фильтры. И они не поспеют за real-time.
Вы же ссылаетесь на математическую формулировку, что какой-то там бесконечный ряд не сходится (или сходится) равномерно

А почему если дискретизация косинуса частоты Fs/2 - энергия отсчетов косинуса частоты Fs/2 ровно вдвое больше энергии отсчетов косинуса частоты, например, Fs/4 - то они под условие теоремы не попадают?
Или это просто так сказано, для красоты и ничего из этого не следует? Энергия косинуса частоты, например, Fs/4 или ещё лучше Fs/3 тоже зависит от фазы дискретизации и с физической энергией не совпадает. Да и в условиях теоремы о них не сказано ничего, как не напрягайся.

[тау]

Хочу возразить всем, кто считает что в теореме Котельникова должно быть строгое неравенство.

+1
Хотя местами далее не совсем согласен с Вами.

Комплексные отсчеты сигнала способны восстановить гармонику Fs/2, хотя бы по той простой причине что в спектре эта гармоника будет стоять только на одном краю (в отличие от вещественного сигнала) . А стало быть спектр получается чисто периодический и без алиасинга на краях. Математика просто обязана сработать, потому что главное в ней ( в теореме) - строгая периодичность спектров. С комплексными отсчетами она соблюдается.

[Oldring]

2. Теорема Котельникова для сигналов со спектром, содержащим ненулевые комплексные значения на F=1/2*Fs, работает. Возьмите отсчеты функции Котельникова с произвольным некратным 1/Fs смещением по времени (что дает отличный от нуля комплексный спректр в точках +-1/2*Fs) и подставьте в ряд Котельникова - после недолгих преобразований получите равномерно сходящийся ряд (сумма которого приведена в "Интегралы и ряды" Прудникова), суммой ряда будет исходная смещенная по времени функция Котельникова.

Вы какую полосу частот для комплексного сигнала рассматриваете, от нуля до Fs или от -Fs/2 до Fs/2? Потому что в первом случае Fs/2 не обладает никакой особенностью, а во втором ваш восстановленный комплексный сигнал будет в какую сторону вращаться, влево или вправо? Но Котельников, вроде бы, ничего про комплексные сигналы и не писал.

По поводу "теорема работает" тоже не могу согласиться.
Речь идёт про Теорему I http://ufn.ru/ufn06/ufn06_7/Russian/r067f.pdf Попробуйте представить с помощью указанного в формулировке теоремы ряда функцию sin(pi*Fs*t)

[729]

3. Авторы возражали в практическом смысле - что восстановить сигнал в дествительности не получится, поскольку потребуется и бесконечное время и идеальные прямоугольные фильтры. Вы же ссылаетесь на математическую формулировку, что какой-то там бесконечный ряд не сходится равномерно

Я ссылаюсь на математическую формулировку, ибо речь шла о ней (формулировке теоремы). Практический смысл только упоминался иногда. Согласитесь, что практического смысла и сам ряд Котельникова не имеет, ибо в общем случае он бесконечный.

Энергия косинуса частоты, например, Fs/4 или ещё лучше Fs/3 тоже зависит от фазы дискретизации и с физической энергией не совпадает.

Имелась в виду энергия отсчетов косинуса частоты Fs/4 и косинуса частоты Fs/2 на интервале, где укладывается целое число периодов обеих частот. А привел только по тому, что удвоение энергии есть результат спектральных наложений при дискретизации косинуса частоты Fs/2. При дискретизации косинуса частоты Fs/4 или Fs/3 спектральных наложений нет. Физическая энергия здесь вообще не причем.

[Oldring]

Энергия косинуса частоты, например, Fs/4 или ещё лучше Fs/3 тоже зависит от фазы дискретизации и с физической энергией не совпадает. Да и в условиях теоремы о них не сказано ничего, как не напрягайся.

Энергию для чистой гармоники сравнивать вообще нельзя, так как она бесконечна. А вот мощность неизбежно совпадает, так как базис Котельникова ортонормирован.

[fontp]

Согласитесь, что практического смысла и сам ряд Котельникова не имеет, ибо в общем случае он бесконечный.

Не соглашусь.
Ряд Котельникова имеет практический физический смысл повсеместно. Там, где с нужной точностью можно приблизить сигнал конечной суммой членов ряда. Бесконечности вообще имеют практический смысл только в смысле предельного перехода, да и то хорошо бы всегда знать как любое епсилон зависит от того N,что когда-то найдётся)) Иначе бесконечности полностью бесполезны

Энергию для чистой гармоники сравнивать вообще нельзя, так как она бесконечна. А вот мощность неизбежно совпадает, так как базис Котельникова ортонормирован.

Это зависит смотря на каком интервале, как объяснил автор.
Практически зависит во всех трёх ваших предложениях)) Не отвлекайте

[729]

Комплексные отсчеты сигнала способны восстановить гармонику Fs/2, хотя бы по той простой причине что в спектре эта гармоника будет стоять только на одном краю (в отличие от вещественного сигнала) . А стало быть спектр получается чисто периодический и без алиасинга на краях. Математика просто обязана сработать, потому что главное в ней ( в теореме) - строгая периодичность спектров. С комплексными отсчетами она соблюдается.

Я говорил про комплексность спектра дискретизируемой функции, но не про комплексность дискретизируемой функции.
Про периодичность спектра - это отдельная тема. Но даже в рамках модели, которая периодизирует спектр при дискретизации, в точках +-Fs/2 ничего страшного не будет - значения ДВПФ от отсчетов косинуса в точках +-Fs/2 будут стремиться к бесконечности в 2 раза быстрее, чем ДВПФ от отсчетов косинуса в точках +-Fs/4 или +-Fs/3. Но ряд Котельникова эту двойку съест и чистый неудвоенный по амплитуде косинус выдаст.

[Oldring]

Это зависит смотря на каком интервале.

Сигнал с конечным носителем во времени неограничен по частоте.

[fontp]

Сигнал с конечным носителем во времени неограничен по частоте.

Спасибо, вашими заботами

[729]

По поводу "теорема работает" тоже не могу согласиться.
Речь идёт про Теорему I http://ufn.ru/ufn06/ufn06_7/Russian/r067f.pdf Попробуйте представить с помощью указанного в формулировке теоремы ряда функцию sin(pi*Fs*t)

Вы невнимательно читаете то, что я написал. А я написал, что sin(pi*Fs*t) НЕ удовлетворяет условиям теоремы.

Энергию для чистой гармоники сравнивать вообще нельзя, так как она бесконечна. А вот мощность неизбежно совпадает, так как базис Котельникова ортонормирован.

Попробуйте посчитать мощность:
1,-1,1,-1
и
1,0,-1,0
Первые - отсчеты на Fs/2, вторые на Fs/4.

[Oldring]

Я говорил про комплексность спектра дискретизируемой функции, но не про комплексность дискретизируемой функции.

Мне кажется, вы заговариваетесь. Начнем с того, что если говорить про "спектр" как про энергетический спектр, то он действителен неизбежно. А если говорить про преобразование Фурье, то оно действительно только для четных действительных функций. Можете сформулировать свои утверждения четко?

[729]

Не соглашусь.
Ряд Котельникова имеет практический физический смысл повсеместно. Там, где с нужной точностью можно приблизить сигнал конечной суммой членов ряда. Бесконечности вообще имеют практический смысл только в смысле предельного перехода, да и то хорошо бы всегда знать как любое епсилон зависит от того N,что когда-то найдётся)) Иначе бесконечности полностью бесполезны

В такой трактовке и я с Вами соглашусь - имеет, конечно. Но сами бесконечности интересны только для теоретических выкладок.

[Oldring]

Вы невнимательно читаете то, что я написал. А я написал, что sin(pi*Fs*t) НЕ удовлетворяет условиям теоремы.

Так а в чём же тогда конструктивный вклад ваших постов в обсуждаемую тему?

Попробуйте посчитать мощность:
1,-1,1,-1
и
1,0,-1,0
Первые - отсчеты на Fs/2, вторые на Fs/4.

Про Fs/2 речь не шла.

[729]

Мне кажется, вы заговариваетесь. Начнем с того, что если говорить про "спектр" как про энергетический спектр, то он действителен неизбежно. А если говорить про преобразование Фурье, то оно действительно только для четных действительных функций. Можете сформулировать свои утверждения четко?

Под спектром всегда понимал спектральную функцию, но не модули и прочие производные от неё.
Утверждение простое. Спектр sin(pi*Fs*t)/(pi*Fs*t) - функции Котельникова - действителен. Спектр смещенной на тау функции Котельникова - sin(pi*Fs*(t-тау))/(pi*Fs*(t-тау)) уже комплексный в точках +-Fs/2, если тау не равно k*1/Fs.
Вы это утверждение имели в виду?

Так а в чём же тогда конструктивный вклад ваших постов в обсуждаемую тему?

В том, что:
1 Равенство в теореме есть и оно работает.
2 Что синус и косинус Fs/2 условиям теоремы не удовлетворяют.

Про Fs/2 речь не шла.

Ну вот... Извиняюсь. Я встрял в Ваш с fontp диалог.

[Oldring]

Под спектром всегда понимал спектральную функцию

Эту?
http://www.answers.com/topic/spectral-function

Я, например, привык под спектром понимать спектр стационарного случайного процесса. Называть "спектром" просто результат преобразование Фурье, наверное, не вполне корректно.

В том, что:
1 Равенство в теореме есть и оно работает.
2 Что синус и косинус Fs/2 условиям теоремы не удовлетворяют.

Так речь в теме шла про строгое неравенство в части границ частотного диапазона. Ваше второе утверждение и означает, что это неравенство строгое. А первое утверждение про какое-то другое равенство-неравенство, наверное.

Ссылку на текст работы Котельникова я привел выше. Давайте отталкиваться от него.

[fontp]

Эту?
http://www.answers.com/topic/spectral-function

Я, например, привык под спектром понимать спектр стационарного случайного процесса. Называть "спектром" просто результат преобразование Фурье, наверное, не вполне корректно.

Нет, вполне.
http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/599002
Спектр это разложение сигнала по любому ортонормированому базису. А то что Вы не вполне корректно называете спектром принято называть спектром мощности. Извиняюсь, что встрял в Ваш диалог)) Тем более что спектр мощности вообще не имеет отношения к делу
Человек говорит, что sin fs/2 нарушает другие условия теоремы при строгой формулировке.

[729]

Я, например, привык под спектром понимать спектр стационарного случайного процесса. Называть "спектром" просто результат преобразование Фурье, наверное, не вполне корректно.

Давайте для определённости считать спектром просто непрерывное преобразование Фурье.

Так речь в теме шла про строгое неравенство в части границ частотного диапазона. Ваше второе утверждение и означает, что это неравенство строгое. А первое утверждение про какое-то другое равенство-неравенство, наверное.
Ссылку на текст работы Котельникова я привел выше. Давайте отталкиваться от него.

Моё утверждение просто до безобразия.
1. Если спектр функции отличен от нуля вне отрезка [-Fh,Fh] (точки +-Fh в этот отрезок входят), то частота дискретизации Fs>=1/(2Fh).
2. Функции синус и косинус Fs/2 дискретизируются со спектральными наложениями, следовательно спектры этих функций за отрезок [-Fh,Fh] "вылазят".

Сообщение отредактировал 729 - Oct 4 2010, 12:16

[Oldring]

Нет, вполне.
http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/599002
Спектр это разложение сигнала по любому ортонормированому базису. А то что Вы не вполне корректно называете спектром принято называть спектром мощности. Извиняюсь, что встрял в Ваш диалог)) Тем более что спектр мощности вообще не имеет отношения к делу

Я вас могу отправить к "Справочнику по математике для научных работников и инженеров" Корнов за определением понятия "спектральная функция"? Кстати, коэффициенты разложения по базису - это последовательность, а не функция в обычном смысле.

Человек говорит, что sin fs/2 нарушает другие условия теоремы при строгой формулировке.

Про это все говорят, как оказалось.
А, впрочем, каким же именно "другим условиям теоремы" в оригинальной формулировке Теоремы I в работе Котельникова, ссылку на которую я привел выше, они противоречат?

Моё утверждение просто до безобразия.
1. Если спектр функции отличен от нуля вне отрезка [-Fh,Fh] (точки +-Fh в этот отрезок входят), то частота дискретизации Fs>=1/(2Fh).
2. Функции синус и косинус Fs/2 дискретизируются со спектральными наложениями, следовательно спектры этих функций за отрезок [-Fh,Fh] "вылазят".

Прежде всего, ваше утверждение нечеткое до безобразия.

[729]

Прежде всего, ваше утверждение нечеткое до безобразия.

В чем же?

[Oldring]

В чем же?

В том что непонятно, что вы хотите сказать. Чётко сформулированные математическим языком утверждения я обычно понимаю.

[fontp]

Давайте для определённости считать спектром просто непрерывное преобразование Фурье.
Моё утверждение просто до безобразия.
1. Если спектр функции отличен от нуля вне отрезка [-Fh,Fh] (точки +-Fh в этот отрезок входят), то частота дискретизации Fs>=1/(2Fh).
2. Функции синус и косинус Fs/2 дискретизируются со спектральными наложениями, следовательно спектры этих функций за отрезок [-Fh,Fh] "вылазят".

1. Если спектр отличен от нуля только внутри отрезка [-Fh,Fh]
и кроме того
2. Выполняются ещё какие-то условия, по сходимости например или что не содержит дискретных(сингулярных) компонент спектра на Fh
(они же не "вылазят" из [-Fh,Fh] они вылазят только из (-Fh,Fh] т.е под условие 1 не попадают)

то сигнал можно представить в каком то смысле интерполяционной формулой Уиттекера-Найквиста-Котельникова-теоремы отсчетов

Вообще-то так как она сформулирована у Котельникова там строго должно быть (-Fh, Fh)
Никаких других условий 2 вроде не было в оригинале, по ссылке, что приведена Олдрингом -
"состоящую из частот от 0 до f1".

[729]

В том что непонятно, что вы хотите сказать. Чётко сформулированные математическим языком утверждения я обычно понимаю.

Куда уж четче. Попробую еще раз.
1. Если спектральная плотность (в терминологии Харкевича) или спектр (в терминологии Шеннона) некоторой функции (имеющей непрерывное ПФ) отличны от нуля на отрезке частот [-Fh,Fh], то ряд Котельникова по мгновенным значениям функции, взятым с частотой Fs большей или равной 2Fh, сходится равномерно к самой функции.
2. Спектры функций (в смысле ПФ обобщенных функций по Колмогорову с Фоминым) синус Fh и косинус Fh отличны от нуля за пределами отрезка частот [-Fh,Fh], поэтому их дискретизация с частотой 2Fh приводит к спектральным наложениям. И если косинус Fh рядом Котельникова восстанавливается точно, то синус Fh не восстанавливается вообще, ибо дискретизируется в нули.
Так понятней?

[fontp]

2. Спектры функций (в смысле ПФ обобщенных функций по Колмогорову с Фоминым) синус Fh и косинус Fh отличны от нуля за пределами отрезка частот [-Fh,Fh], поэтому их дискретизация с частотой 2Fh приводит к спектральным наложениям. И если косинус Fh рядом Котельникова

К наложениям приводят.
Но разве они за пределами [-Fh,Fh] ? Они лежат на -+Fh (т.е. внутри замкнутого интервала), в смысле обобщенных функций-сингулярностей
Другое дело что их спектральная плотность бесконечна

[729]

1. Если спектр отличен от нуля только внутри отрезка [-Fh,Fh]

Действительно ошибся. Спасибо, что поправили.

и кроме того
2. Выполняются ещё какие-то условия, по сходимости например или что не содержит дискретных(сингулярных) компонент спектра на Fh
(они же не "вылазят" из [-Fh,Fh] они вылазят только из (-Fh,Fh] т.е под условие 1 не попадают)

то сигнал можно представить в каком то смысле интерполяционной формулой Уиттекера-Найквиста-Котельникова-теоремы отсчетов

Вообще-то так как она сформулирована у Котельникова там строго должно быть (-Fh, Fh)
Никаких других условий 2 вроде не было в оригинале, по ссылке, что приведена Олдрингом -
"состоящую из частот от 0 до f1"

Там и нет более никаких условий, кроме того, что у дискретизируемой функции должен каким-то образом определен спектр (у Котельникова - это интеграл Фурье, у Шеннона - это ПФ по комплексным экспонентам). Но Котельников с Шенноном поставили знак равенства при том, что спектр может быть отличным от нуля в +-Fh, то есть в f1.

[thermit]

729:
Спектры функций (в смысле ПФ обобщенных функций по Колмогорову с Фоминым) синус Fh и косинус Fh отличны от нуля за пределами отрезка частот [-Fh,Fh]

С этого места можно подробнее? Каким образом спектры этих функций становятся отличны от 0 вообще при f != +- Fh?

[fontp]

Действительно ошибся. Спасибо, что поправили.



Там и нет более никаких условий, кроме того, что у дискретизируемой функции должен каким-то образом определен спектр (у Котельникова - это интеграл Фурье, у Шеннона - это ПФ по комплексным экспонентам). Но Котельников с Шенноном поставили знак равенства при том, что спектр может быть отличным от нуля в +-Fh, то есть в f1.

Думаю они просто не рассматривали функций с бесконечной спектральной плотностью на +-Fh. А с конечной плотностью значение в точке не имеет значения - вклад в точке бесконечно мал, если на пальцах.В большинстве источников, чтобы не морочить людям голову строго пишут - строго меньше

[729]

К наложениям приводят.
Но разве они за пределами [-Fh,Fh] ? Они лежат на -+Fh (т.е. внутри замкнутого интервала), в смысле обобщенных функций-сингулярностей
Другое дело что их спектральная плотность бесконечна

Вот и получается, что если положить, что не за пределами, а только в точках, то поимеем дело с неким неопознанным объектом в виде числа дельта-функция(0). Ну и невыполнения интеграла от дельта-функции = 1.

Думаю они просто не рассматривали функций с бесконечной спектральной плотностью на Fh. А с конечной плотностью значение в точке не имеет значения - вклад в точке бесконечно мал.В большинстве источников, чтобы не морочить людям голову строго пишут - строго меньше

Пишут. И, вероятно, они правы. Но при этом тень на Котельникова с Шенноном ложиться, а это не хорошо.

[Oldring]

2. Спектры функций (в смысле ПФ обобщенных функций по Колмогорову с Фоминым) синус Fh и косинус Fh отличны от нуля за пределами отрезка частот [-Fh,Fh],

Теперь гораздо лучше, но теперь очевидно и легко доказуемо, что ваше утверждение ошибочно. ПФ чистого синуса с частотой Fh в смысле обобщенных функций есть обобщенная функция с точечным носителем D={-Fh,+Fh}, и на всём остальном открытом множестве R-D равно нулю в смысле определения, данного на стр. 23 в книге Владимирова "обобщенные функции в математической физике" 1976 года издания. D является подмножеством отрезка [-Fh,Fh], поэтому на R-[-Fh,Fh] ПФ от рассматриваемого синуса (а равно и косинуса) равно нулю, что заканчивает опровержение вашего утверждения.

[fontp]

Вот и получается, что если положить, что не за пределами, а только в точках, то поимеем дело с неким неопознанным объектом в виде числа дельта-функция(0). Ну и невыполнения интеграла от дельта-функции = 1.

В процессе предельного перехода к дельта-функции вылазят, а в конечном положении - нет
Значит, если допускать обобщенные функции условие (1) должно быть строгое
А если условие (1) нестрогое нужно придумывать ещё и какое-то условие (2)

[Oldring]

К наложениям приводят.

Это какие же две различные положительные частоты накладываются там друг на друга, позвольте поинтересоваться?

[fontp]

Это какие же две различные положительные частоты накладываются там друг на друга, позвольте поинтересоваться?

Хвосты колокольчика, стремящегося к дельта-функции накладываются.
Если вернуться к реальной физической модели чистого синуса нет, не бывает. Это такой спектральный узенький колокольчик, который всё сильнее сжимается, превращаясь в дельта-функцию только посредством идеализма

[Oldring]

Хвосты колокольчика, стремящегося к дельта-функции накладываются.
Если вернуться к реальной физической модели чистого синуса нет.

У меня нет никакого "колокольчика". Обобщенная функция - это линейный непрерывный функционал на пространстве пробных функций, и точка!
Если вернуться к "реальной физической модели", функций с ограниченным спектром нет.

[fontp]

Если вернуться к "реальной физической модели", функций с ограниченным спектром нет.

Это другой вопрос. Как и функций бесконечных во времени.
Обычно говорят, что можно немного отбросить и будет как надо))
Для любого "немного" когда-то найдется такое дельта и N

[Oldring]

Это другой вопрос, как и функций бесконечных во времени

Нет, это тот же самый вопрос, что и про "спектр синуса".

[729]

С этого места можно подробнее? Каким образом спектры этих функций становятся отличны от 0 вообще при f != +- Fh?

При работе с объктами типа дельта-функции Дирака (лучше бы с ней вообще не работать) эту самую функцию нужно всегда определять очень четко. Иначе обязательно попадется въедливый математик, который "закопает" все выводы, и будет прав.
Все спецы по анализу 3 (функциональный анализ), с которыми довелось общаться на эту тему, рассказывают про эту дельту разное - нету у них единого мнения. И в основном весь сыр-бор из-за возможности или невозможности интегрировать её в конечных пределах. Но все в один голос говорят, что если её определить через предел (в ЦОС лучше всего синка), то всё становится на свои места. И тут, как мне кажется, тот самый случай.
Посчитаем спектр радиоимпульса ограниченной длительности с частотой заполнения Fs/2, посчитаем интеграл от спектра в пределах -inf, -Fs/2. Интеграл имеет место быть и конечен. Равен (при правильной нормировке синка) примерно 1/2*1/2. При этом интеграл в приделах -inf,0 равен примерно 1/2. Загоним длительность импульса в бесконечносмть - получим предел первого интеграла точно 1/4, а второго точно 1/2. Вот и всё - половина площади того, что мы называем дельта-функция в спектре синуса или косинуса Fs/2, лежит левее Fs/2, а вторая половина правее Fs/2.
По крайней мере такой подход в данном вопросе всё ставит на свои места.

Теперь гораздо лучше, но теперь очевидно и легко доказуемо, что ваше утверждение ошибочно. ПФ чистого синуса с частотой Fh в смысле обобщенных функций есть обобщенная функция с точечным носителем D={-Fh,+Fh}, и на всём остальном открытом множестве R-D равно нулю в смысле определения, данного на стр. 23 в книге Владимирова "обобщенные функции в математической физике" 1976 года издания. D является подмножеством отрезка [-Fh,Fh], поэтому на R-[-Fh,Fh] ПФ от рассматриваемого синуса (а равно и косинуса) равно нулю, что заканчивает опровержение вашего утверждения.

ГДЕ у Владимирова написано, что носитель обобщенной функции есть точечное множество?

[Oldring]

посчитаем интеграл от спектра в пределах -inf, -Fs/2.

"от спектра" в каком именно смысле?

ГДЕ у Владимирова написано, что носитель обобщенной функции есть точечное множество?

Не всякой обобщенной функции, но некоторого класса обобщенных функций с точечным носителем, которые, в соответствии с написанным у Владимирова на страницу 49, однозначно представимы в виде суммы некоторого счетного количества дельта-функций и их производных с некоторыми константными коэффициентами. А где написано у Владимирова определение равенства нулю обощенной функции на открытом множестве я написал чуть выше.

[729]

"от спектра" в каком именно смысле?

В прямом - интеграл от спектра по частоте в указанных пределах.

Не всякой обобщенной функции, но некоторого класса обобщенных функций с точечным носителем, которые, в соответствии с написанным у Владимирова на страницу 49, однозначно представимы в виде суммы некоторого счетного количества дельта-функций и их производных с некоторым коэффициентами. А где написано у Владимирова определение равенства нулю обощенной функции на открытом множестве я написал чуть выше.

Это там, где (у меня издание Владимирова другое - 1979г.) в ряд Фурье раскладывается периодическая последовательность дельта-функций? Но не вижу там точечности носителя дельта-функции, а вижу как раз обратное - дельта-функция разрывов не имеет.

[Oldring]

Это там, где (у меня издание Владимирова другое - 1979г.) в ряд Фурье раскладывается периодическая последовательность дельта-функций? Но не вижу там точечности носителя дельта-функции, а вижу как раз обратное - дельта-функция разрывов не имеет.

У меня раздел называется "обобщенные функции с точечным носителем". Последний раздел параграфа 2 "дифференцирование обощенных функций". ПФ обощенных функций начинается у меня с гравы 2, страница 100.

В прямом - интеграл от спектра по частоте в указанных пределах.

От ПФ по частоте? И при этом только с одной стороны? Он же комплексным в общем случае будет?

[729]

У меня раздел называется "обобщенные функции с точечным носителем". Последний раздел параграфа 2 "дифференцирование обощенных функций". ПФ обощенных функций начинается у меня с гравы 2, страница 100.

Сейчас буду искать.

От ПФ по частоте? И при этом только с одной стороны? Он же комплексным в общем случае будет?

Да и не важно, а важно, что нулю он не будет равен.

[Oldring]

Да и не важно, а важно, что нулю он не будет равен.

Всё равно не понимаю. А сходимость при этом доказуема? Или вы предлагаете устремить края радиоимпульса в бесконечность строго симметрично?

[729]

Всё равно не понимаю. А сходимость при этом доказуема? Или вы предлагаете устремить края радиоимпульса в бесконечность строго симметрично?

Именно так. Сходится в точках +-Fs/2 будет к бесконечности, собственно, как и все дельта последовательности.

Но из доказанной у Владимирова теоремы о разложении функции с точечным носителем в сумму с дельта-функцией совсем не следует, что носитель дельты точечный.

[Oldring]

Именно так. Сходится в точках +-Fs/2 будет к бесконечности, собственно, как и все дельта последовательности.

То есть в терминах матанализа, расходиться?
Ну и мне очень не нравится требование симметричности устремления в бесконечность. Потому что если устремлять несимметрично - интегралы будут умножаться на какие-то фазовые множители, то есть рассматриваемый предел на самом деле не существует.

Но из доказанной у Владимирова теоремы о разложении функции с точечным носителем в сумму с дельта-функцией совсем не следует, что носитель дельты точечный.

Верно, только намекает на то, что носитель дельта-функции есть точечное множество. На самом деле то, что носитель дельта-функции есть одна нулевая точка, легко доказывается из определения носителя обощенной функции, так как у любой другой точки есть окрестность, в которой дельта-функция равна нулю.

[GetSmart]

2. Функции синус и косинус Fs/2 дискретизируются со спектральными наложениями, следовательно спектры этих функций за отрезок [-Fh,Fh] "вылазят".

Щас спою... Не, не так. Щас скажу...
Котельников в этом споре неправ. Дело не в том, что входит или выходит за диапазон +-F. Дело в том, что частоты +F и -F уже "сливаются" вместе в одну. И уже это для сигнала недопустимо. А насколько у синусов узкий спектр вообще к делу не относится. Формально sin(F) имеет спектр нулевой ширины. Я бы сказал псевдо-нулевой. Точка. Собсно несколько лет назад об этом на форуме уже перетирали ("Ошибка в теореме Котельникова").

Другими словами, операция "ограничения спектра" сигнала уже сливает вместе частоты +F и -F. Поэтому, тот, кто говорит о том, что частоты +F и -F допустимы во входном сигнале, тот неправ. И дело совсем не в бесконечности по времени, то есть не в практической стороне дела, а в математической.

Сообщение отредактировал GetSmart - Oct 4 2010, 19:18

[bahurin]

я для себя случай представления гармоники сигнала с частотой fs/2 посредствам отсчетов с частотой fs определил следующим образом. Идеальный ФНЧ на частоте fs/2 имеет разрыв. Поэтому на частоте fs/2 к-т передачи идеального фнч не определен, он может принять любое значение от 0 до 1 в зависимости от фазы гармоники на частоте fs/2. Поэтому на fs/2 возникает неопределенность и каждый кто начинает экспериментировать с рядом Котельникова рано или поздно продискретизирует синус в нулях и косинус в еденицах. Но если возьмете случайную начальную фазу, то увидете что сигнал на выходе фнч будет от 0 до 1 амплитуды. Это НЕ ОШИБКА теоремы Котельникова. Для представления сигнала необходимо чтобы частота дискретизации была БОЛЬШЕ удвоенной верхней частоты. Почитайте Финк "сигналы помехи ошибки" там целая глава написана про теорему Котельникова, а также про работы Агеева и как ее надо и не надо интерперетировать. Есть еще очень хорошая книга Хургин Я.И., Яковлев В.П.. Финитные функции в физике и технике.

Сообщение отредактировал bahurin - Oct 4 2010, 18:48

[GetSmart]

Это НЕ ОШИБКА теоремы Котельникова. Для представления сигнала необходимо чтобы частота дискретизации была БОЛЬШЕ удвоенной верхней частоты.

Спор вроде о том, что в формулировке нет СТРОГОГО меньше. А есть НЕ БОЛЬШЕ.
Вы тут уже перевираете формулировку.
729 тоже неправ.
ФНЧ вообще в этом вопросе никому не поможет.
Ограничение спектра чем-то похоже на сворачивание оси частоты на спектре в круг/трубку. При этом частоты +F и -F уже занимают одну и ту же позицию. Кроме этого появляются alias-ы на частотах внутри +-F, которые были выше |F|. Короче, будь то синус, реальный сигнал, спектр сигнала/синуса (не важно какой ширины), ширина дельта функции, и прочее, всё это не имеет вообще никакого значения к вопросу о строгости определения.

[729]

То есть в терминах матанализа, расходиться?
Ну и мне очень не нравится требование симметричности устремления в бесконечность. Потому что если устремлять несимметрично - интегралы будут умножаться на какие-то фазовые множители, то есть рассматриваемый предел на самом деле не существует.

Для простоты можно вообще взять не радиомпульс, а просто симметричный импульс единичной амплитуды и длительности тау. Тогда, если спектр импульса отнормирован так, что площадь его в бесконечных пределах равна 1, то площадь спектра справа и слева от нуля уже будет просто равна 1/2 и не будет зависеть от длительности импульса.

Верно, только намекает на то, что носитель дельта-функции есть точечное множество. На самом деле то, что носитель дельта-функции есть одна нулевая точка, легко доказывается из определения носителя обощенной функции, так как у любой другой точки есть окрестность, в которой дельта-функция равна нулю.

И не намекает Владимиров ни на что. То, что в доказательстве той теоремы есть предельный переход, говорит только об одном, что в утверждении теоремы недаром стоит слово "представляется" суммой (по памяти говорю, книги под рукой сейчас нет). Это как в классическом доказательстве того, что пространство непрерывных функций не является гильбертовым (некая аналогия и не более того) - приведена сходящаяся последовательность непрерывных функций, которая имеет пределом разрывную функцию. Однако при этом все функции последовательнсти остаются непрерывными.
Или по другому. Спектр Т-периодической функции (Т не равен 0) в смысле ПФ обобщенных функций есть взвешенная сумма дельта-функций. Но нули у этой взвешенной суммы дельт образуют счетное множество (рациональное) по отношению к частоте 1/T в виду того, что Т не равна нулю. Во все остальных точках оси частот (иррациональных) нулю равен только предел соответствующих дельта последовательностей.
И если допустить точечность носителя дельты, то я уже писал, во что Вы упрётесь, пытаясь показать результат наложения спектров при дискретизации синуса частоты Fs/2 - упрётесь в суммирование объектов типа А*дельта(0). А это уже не функционал, а черти-что.

[Oldring]

Это как в классическом доказательстве того, что пространство непрерывных функций не является гильбертовым (некая аналогия и не более того) - приведена сходящаяся последовательность непрерывных функций, которая имеет пределом разрывную функцию. Однако при этом все функции последовательнсти остаются непрерывными.

Кстати, пространство обобщенных функций полное. А сумма у Владимирова в упомянутом разложении произвольной обобщенной функции с точечным носителем {0} по производным дельта-функции и вообще содержит конечное число членов, так как любая обобщенная функция с компактным носителем имеет конечный порядок. А дельта-функция имеет нулевой порядок, поэтому её разложение сводится к тривиальному delta(x)=delta(x)

И если допустить точечность носителя дельты, то я уже писал, во что Вы упрётесь.

Давайте по-порядку. Разберемся сначала с носителем дельты, потом можно будет переходить к ПФ.

Я утверждаю, что носитель дельта-функции есть множество из одной точки {0}. По определению этого понятия, "допускать" тут ничего не нужно. Действительно, хотите оспорить? Если хотите - мне придется написать доказательство со ссылкой на определение. Кстати, доказывается тривиально. Когда я это докажу - вам придется изменить ваши формулировки, чтобы в них не было утверждения про неточечность носителя дельта-функции, не так ли? Так зачем их писать раньше времени в некоректном виде?

[fontp]

Спор вроде о том, что в формулировке нет СТРОГОГО меньше. А есть НЕ БОЛЬШЕ.
Вы тут уже перевираете формулировку.

Нет никакого НЕ БОЛЬШЕ в оригинальной формулировке:
"состоящая из частот от 0 до f1".
Это можно понимать кому как угодно - и как строго меньше и как "меньше или равно". Автор не заморачивался
этой двусмысленностью

Короче, будь то синус, реальный сигнал, спектр сигнала/синуса (не важно какой ширины), ширина дельта функции, и прочее, всё это не имеет вообще никакого значения к вопросу о строгости определения.

Чисто синус как и дельта функция его спектра - это фантом. Как минимум он ограничен во времени и тогда спектр его синк.
Рассматривайте реальные сигналы с конечной спектральной плотностью без особенностей в +-fh - и Вас перестанет волновать строгость формулировки в этой точке. Если же стремиться к математической точности в пространстве обобщенных функций, то это уже совсем другой вопрос - нужен точный матаппарат, а не форумный флейм.
Образно считайте что половина дельта-функции в fh (односторонняя) находится с одной стороны, а половина заворачивается. Тем самым дельта-функция уже не удовлетворяет Образное мышление в математике часто обманывает, но пусть будет как эмпирическое правило для запоминания.

Вообще, это всё такая ерунда по сравнению с тем, что сигнал в теореме бесконечен во времени. И это значительно больший логический отрыв от реальности. Откуда следует что переход к большому, но ограниченому времени реально живущих сигналов позволит хоть как-то приблизить эту примерно финитную функцию рядом Котельникова? Бессмертная теорема Котельникова сформулирована только для вечности и к бренному миру ей нету дел. Кто доказал, что всегда можно отбросить бесконечное число членов этого ряда на краях? А иначе всем этим великолепием никак нельзя воспользоваться. Только "финитные функции в физике и технике" позволяют убрать этот разрыв через анализ точности путём разложения по функциям с двойной ортогональностью

Почитайте Финк "сигналы помехи ошибки" там целая глава написана про теорему Котельникова, а также про работы Агеева и как ее надо и не надо интерперетировать. Есть еще очень хорошая книга Хургин Я.И., Яковлев В.П.. Финитные функции в физике и технике.

[thermit]

Блин. Ну дык кто-нить может ответить на 1 частный вопрос:

Почему cos(Fd/2) можно представить рядом котельникова и восстановить его по к-там ряда, а все что отличается от cos(Fd/2) по фазе - нет?

[Tanya]

Блин. Ну дык кто-нить может ответить на 1 частный вопрос:

Почему cos(Fd/2) можно представить рядом котельникова и восстановить его по к-там ряда, а все что отличается от cos(Fd/2) по фазе - нет?

Не мешайте людям развлекаться... в мире абстрактных заблуждений.
В эквивалентной формулировке - нельзя восстановить гармоническую функцию, если доступны только измерения сигнала с удвоенной частотой.
Допустим противное, как бы это ни было противно...
Вот Вы и я измеряем это бесконечно долго и пользуемся одинаковыми формулами для вычислений. Только сигнал к нам приходит с разной задержкой (фазой). Мы получим периодическую знакопеременную последовательность равных по модулю чисел. Только этот модуль у нас будет разный. (Функция должна быть линейна по амплитуде)
Совершенно ясно, что и ответы у нас будут разные. Что и требовалось доказать.

[GetSmart]

Нет никакого НЕ БОЛЬШЕ в оригинальной формулировке:
"состоящая из частот от 0 до f1".
Это можно понимать кому как угодно - и как строго меньше и как "меньше или равно". Автор не заморачивался этой двусмысленностью

Есть конечно. Без указания исключения всегда считается "включительно". То есть здесь автор неявно (то бишь без букав), но указал, что от 0 до f1 включительно.

Вообще, это всё такая ерунда по сравнению с тем, что сигнал в теореме бесконечен во времени. И это значительно больший логический отрыв от реальности. ...

Де-Жа-Вю....

Мне тоже не нравится такое непродуманное перенесение математических абстракций на реальные сигналы. Ну и раз пошла такая пьянка, то цепляться надо по полной. И за нестрогую формулировку, которую перепечатывают где попало даже не задумываясь. Если б Котельников понимал различия математики и реальных сигналов, то во второй и третьей теореме чётко бы описал это. Они уже касаются не абстрактной математики, а реальных сигналов.
Халтурщик.

Почему cos(Fd/2) можно представить рядом котельникова и восстановить его по к-там ряда, а все что отличается от cos(Fd/2) по фазе - нет?

Теорема в оригинальной формулировке содержит баг. Достаточно?

Чисто синус как и дельта функция его спектра - это фантом. Как минимум он ограничен во времени и тогда спектр его синк.

Не фантом. Возьмите дискретную последовательность чисел, множества и прочую фигню. Там есть обыкновенное число, являющееся спектром синуса. Одно число. Даже наверное спект = множество, в частном случае содержащее одно число. (нулевой ширины или еденичной, как душе угодно)
ЦОС тоже оперирует с дискретными числами. Так что в ЦОС частично те же правила, и это не фантомы.

Сообщение отредактировал GetSmart - Oct 5 2010, 06:16

[thermit]

Цитата(thermit @ Oct 5 2010, 09:41) *
Почему cos(Fd/2) можно представить рядом котельникова и восстановить его по к-там ряда, а все что отличается от cos(Fd/2) по фазе - нет?

Теорема в оригинальной формулировке содержит баг. Достаточно?

Может и содержит. Однако, вопрос был не о баге в формулировке теоремы.

зы

В выше обозначенном документе есть как оригинальная формулировка, так и оригинальное доказательство.
Если гармоники граничных частот интервала не попадают под действие теоремы - этот факт должен выплыть в процессе доказательства.

[Oldring]

Не мешайте людям развлекаться... в мире абстрактных заблуждений.

Разжевывать, что синусоиду нельзя восстановить никакими методами или теоремами по двум точным отсчетам на период, людям, которые это сразу не видят, уж очень скучно.

[thermit]

Oldring:
Разжевывать, что синусоиду нельзя восстановить никакими методами или теоремами по двум точным отсчетам на период, людям, которые это сразу не видят, уж очень скучно.

Гы. А вдруг можно? Ведь многие надеяцца, верят... Попутно вспоминая нехорошими словами старика Котельникова.

[тау]

Разжевывать, что синусоиду нельзя восстановить никакими методами или теоремами по двум точным отсчетам на период, людям, которые это сразу не видят, уж очень скучно.

Oldring, этот вопрос будет всегда возникать у новых поколений студентов и не только. Обсуждение его хотя и скучно, возможно, но не бесполезно.
Скажите лучше пожалуйста, в каком месте приложенного варианта доказательства теоремы присутствует неточность. Неужели в допущении при переходе от интегралов к рядам Фурье?
Спасибо.

Прикрепленные файлы

 kotelnikov.pdf ( 139.51 килобайт ) Кол-во скачиваний: 137

 

[Oldring]

Гы. А вдруг можно? Ведь многие надеяцца, верят... Попутно вспоминая нехорошими словами старика Котельникова.

Эти "многие" могут попытаться задействовать для начала собственные мозги. Взять в руку карандаш, бумажку, сесть и спокойно подумать, как выглядят два отсчета на период и нет ли синусоид с разными амплитудами и фазами, которые по этим отсчетам неотличимы.

[thermit]

тау:
Неужели в допущении при переходе от интегралов к рядам Фурье?

Почти. В формулировке традиционно присутствует замкнутый интервал. [-omega omega].
В пункте 1 доказательства функция G определяется на интервале [-2*omega 2*omega] волшебным образом исключая точки +-omega. Сплошные неточности.

[Oldring]

Oldring, этот вопрос будет всегда возникать у новых поколений студентов и не только. Обсуждение его хотя и скучно, возможно, но не бесполезно.
Скажите лучше пожалуйста, в каком месте приложенного варианта доказательства теоремы присутствует неточность. Неужели в допущении при переходе от интегралов к рядам Фурье?

Знаете, если уж на то пошло, мне интереснее оригинальная работа Котельникова, а не краткие изложения современных авторов: http://ufn.ru/ufn06/ufn06_7/Russian/r067f.pdf

Читаем начало доказательства Теоремы I:

Любая функция F(t), удовлетворяющая условиям Дирихле, и интегрируемая в пределах от минус бесконечности до плюс бесконечности, что всегда в электротехнике имеет место, может быть представлена интегралом Фурье

Останавливаемся и задумываемся над выделенной мною фразой. Интегрируем ли чистый синус в указанных пределах? Нет, не интегринуем. Существует ли его преобразование Фурье? В классическом анализе не существует, существует только в аппарате обобщенных функций, который во времена написания Котельниковым этой статьи ещё только зарождался. Поэтому чистые гармоники очевидно не попадают под условия теоремы Котельникова, а в противном случае нет никакой разницы, строгое там неравенство или нет, потому что для образа ПФ если за пределами отрезка должен быть строгий ноль - то и на границе отрезка будет ноль ввиду непрерывности ПФ "хороших" сигналов.

Кстати, помарка в этом доказательстве у Котельникова всё-таки есть, так как он пишет про "интегрируемость", подразумевая "абсолютно интегрируемость".

[729]

Давайте по-порядку. Разберемся сначала с носителем дельты, потом можно будет переходить к ПФ.

Я утверждаю, что носитель дельта-функции есть множество из одной точки {0}. По определению этого понятия, "допускать" тут ничего не нужно.

Дельта имеет точечный носитель, согласно определению носителя обобщенной функции. Согласно этому определению носителем является и точка 0 для функции х^2.
Но "носитель дельта-функции есть множество из одной точки" неверно. Из этого утверждения вытекает, что дельта =0 везде кроме точки x=0.
Если под фразой "носитель дельта-функции есть множество из одной точки" Вы понимаете что-то другое, то поясните.

Идеальный ФНЧ на частоте fs/2 имеет разрыв. Поэтому на частоте fs/2 к-т передачи идеального фнч не определен, он может принять любое значение от 0 до 1 в зависимости от фазы гармоники на частоте fs/2.

ПФ симметричного относительно 0 синка в точках +-Fs/2 берется на бумаге и равно 1/2.

Котельников в этом споре неправ. Дело не в том, что входит или выходит за диапазон +-F. Дело в том, что частоты +F и -F уже "сливаются" вместе в одну. И уже это для сигнала недопустимо.

Я выше уже приводил пример восстановления рядом Котельникова функции с произвольными значениями спектра в точках +-Fs/2.

Короче, будь то синус, реальный сигнал, спектр сигнала/синуса (не важно какой ширины), ширина дельта функции, и прочее, всё это не имеет вообще никакого значения к вопросу о строгости определения.

Действительно не имеет.
Значение имеет только то, что примерами с синусом и косинусом Fs/2 опровергнуть равенство в теореме нельзя.

Вообще, это всё такая ерунда по сравнению с тем, что сигнал в теореме бесконечен во времени. И это значительно больший логический отрыв от реальности.

Ну, считайте, что мгновенные значения (отсчеты, а не сама функция) во все прошлые времена и после окончания наблюдения реального сигнала равны нулю. А почему бы и нет?

Блин. Ну дык кто-нить может ответить на 1 частный вопрос:

Почему cos(Fd/2) можно представить рядом котельникова и восстановить его по к-там ряда, а все что отличается от cos(Fd/2) по фазе - нет?

Не удовлетворяет этот cos условиям теоремы, если Fd - частота дискретизации.

Есть конечно. Без указания исключения всегда считается "включительно". То есть здесь автор неявно (то бишь без букав), но указал, что от 0 до f1 включительно.

В доказательстве Шеннона есть и в явном виде.

[thermit]

729:
Не удовлетворяет этот cos условиям теоремы, если Fd - частота дискретизации.

Какому именно условию теоремы не удовлетворяет cos(Fd/2) или sin(Fd/2)?

Повторюсь, что "неудовлетворительный cos(Fd/2)" легко представляется рядом котельникова, равно как и легко восстанавливается по его к-там.Чего нельзя сказать про sin(Fd/2)

[729]

Поэтому чистые гармоники очевидно не попадают под условия теоремы Котельникова, а в противном случае нет никакой разницы, строгое там неравенство или нет, потому что для образа ПФ если за пределами отрезка должен быть строгий ноль - то и на границе отрезка будет ноль ввиду непрерывности ПФ "хороших" сигналов.

Интересно, а вот exp^(-x) в бесконечных пределах "хороший" сигнал или не очень?

И еще давно хотел Вас спросить - Вы выше в этой ветке как-то упоминули, что спектр - это последовательность коэффициентов разложения функций по базису (очевидно, имелось в виде сепарабельное пространство). А что представляет собой спектр в несепарабельном и пусть для определенности гильбертовом пространстве с, очевидно, несчетным базисом?

[Oldring]

Дельта имеет точечный носитель, согласно определению носителя обобщенной функции. Согласно этому определению носителем является и точка 0 для функции х^2.
Но "носитель дельта-функции есть множество из одной точки" неверно. Из этого утверждения вытекает, что дельта =0 везде кроме точки x=0.
Если под фразой "носитель дельта-функции есть множество из одной точки" Вы понимаете что-то другое, то поясните.

Нет, неверно. Для x^2 носителем является R, если мы работаем в R, или же C, если в С.

Согласно определению во Владимирове, носителем обобщенной функции является дополнение нулевого множества обобщенной функции. А нулевое множество - это максимальное открытое множество, на всех пробных функциях которого обобщенная функция (которая есть линейный непрерывный функционал на пробных функциях) обращается в нуль.

Докажем, что носитель обобщенной функции (пусть мы её рассматриваем на Q, включающем x=0) есть {0}. По определению дельты, дельта - это функционал, значение которого равно знечению пробной функции при x=0. Очевидно, что Q не есть нулевое множество дельты, так как дельта не нулевая функция и несложно построить тестовые функции на Q, значение которых при x=0 отлично от нуля. Рассмотрим множество Z=Q-{0}. Это множество открытое. Рассмотрим произвольную тестовую функцию на Q с носителем внутри Z. У этой тестовой функции значение в нуле равно нулю, так как x=0 не принадлежит её носителю. Поэтому значение дельтры на этой тестовой функции равно нулю. А так как дельта равна нулю на любой такой тестовой функции - следовательно, Z является подмножеством нулевого множества дельты.

Предположим, теперь, что Z отлично от нулевого множества дельты. Так как оно должно быть нулевым подмножеством дельты - должна существовать хотя бы одна точка y, входящая в нулевое подмножество дельты, но не входящая в Z. Но нулевое множество дельты есть подмножество Q, поэтому y должно принадлежать Q-Z={0}. Но это - конечное множество мощности 1, и мы знаем, что 0 не принадлежит нулевому множеству дельты. Поэтому такого y не существует, и Z есть нулевое множество дельты, а, повторюсь, по определению, носитель дельты есть Q-Z={0}.

Я достаточно подробно и формально изложил доказательство?

[729]

Какому именно условию теоремы не удовлетворяет cos(Fd/2) или sin(Fd/2)?

Повторюсь, что "неудовлетворительный cos(Fd/2)" легко представляется рядом котельникова, равно как и легко восстанавливается по его к-там.Чего нельзя сказать про sin(Fd/2)

Условию равенства нулю спектра за пределами интервала [-Fd,Fd].

Нет, неверно. Для x^2 носителем является R, если мы работаем в R, или же C, если в С.

То есть, точка 0 во множество, именуемое носителем, для функции x^2 не входит?

Редактирование - "именуемое носителем" заменяю на "именуемое носителем по определению носителя обобщенной функции, данное Владимировым". Прошу прощения за неточность формулировки.

Я достаточно подробно и формально изложил доказательство?

Я только не понял зачем Вы мне его привели. Я же согласился с Вами, что дельта имеет точечный носитель по определению носителя обобщенной функции, данным Владимировым.

Сообщение отредактировал 729 - Oct 5 2010, 10:44

[thermit]

729:
Условию равенства нулю спектра за пределами интервала [-Fd,Fd].

Т е для косинуса и синуса это условие не выполняется? Если так, почему для косинуса с половиной частоты дискретизации теорема работает, а для синуса - нет?

[Oldring]

Интересно, а вот exp^(-x) в бесконечных пределах "хороший" сигнал или не очень?

Отвратительный. Экспонента - она даже не медленного роста.

И еще давно хотел Вас спросить - Вы выше в этой ветке как-то упоминули, что спектр - это последовательность коэффициентов разложения функций по базису (очевидно, имелось в виде сепарабельное пространство). А что представляет собой спектр в несепарабельном и пусть для определенности гильбертовом пространстве с, очевидно, несчетным базисом?

Вообще-то это не я "упомянул" про разложение по базису.

[729]

Отвратительный. Экспонента - она даже не медленного роста.

Виноват, проглядел, что Вы про ПФ обощенных функций писали. Вопрос снимается.

Вообще-то это не я "упомянул" про разложение по базису.

Имелись в виду вот эти Ваши слова: "Кстати, коэффициенты разложения по базису - это последовательность, а не функция в обычном смысле." в сообщении №43.

[Oldring]

То есть, точка 0 во множество, именуемое носителем, для функции x^2 не входит?

Входит. Так как нулевое множество обобщенной функции - это открытое множество, оно не может содержать изолированную точку. Поэтому нулевое множество x^2 пусто, и, по определению носителя обобщенных функций, носитель x^2 есть Q. Кстати, упомянутое во Владимирове же определение носителя обычных функций как замыкание множества, на котором значение функции не равно нулю, согласовано с этим определением носителя обобщенных функций.

Я только не понял зачем Вы мне его привели. Я же согласился с Вами, что дельта имеет точечный носитель по определению носителя обобщенной функции, данным Владимировым.

Но "носитель дельта-функции есть множество из одной точки" неверно.

- ваши слова.

Виноват, проглядел, что Вы про ПФ обощенных функций писали. Вопрос снимается.

А вы хотите искать ПФ экспоненты с бесконечными пределами как обычной функции? Думаете, у вас там хоть один интеграл сойдется?

Т е для косинуса и синуса это условие не выполняется? Если так, почему для косинуса с половиной частоты дискретизации теорема работает, а для синуса - нет?

Потому что вы зафиксировали фазу, введя в процесс "восстановления" дополнительное знание.

[729]

Т е для косинуса и синуса это условие не выполняется? Если так, почему для косинуса с половиной частоты дискретизации теорема работает, а для синуса - нет?

Оно не выполняется в общем виде для бесконечного гармонического сигнала частоты Fd/2. То, что выполняется только для косинуса - считайте просто повезло, ибо информация хоть ир "искажается", но восстанавливается.

[Oldring]

Имелись в виду вот эти Ваши слова: "Кстати, коэффициенты разложения по базису - это последовательность, а не функция в обычном смысле." в сообщении №43.

В своём замечании про существование несепарабельных пространств с несчетным базисом, вы, безусловно, правы.

[thermit]

Oldring:
Потому что вы зафиксировали фазу, введя в процесс "восстановления" дополнительное знание.

Ну и что? Для синуса я тоже зафиксировал типа фазу, ввел дополнительные знания, а однако - фиг...

729:
Оно не выполняется в общем виде для бесконечного гармонического сигнала частоты Fd/2. То, что выполняется только для косинуса - считайте просто повезло, ибо информация хоть ир "искажается", но восстанавливается.

Ну а в случае синуса это мне совсем не повезло. Понятно.

ps

Между тем, в этом наблюдении кроется ответ на вопрос "почему спектральные компоненты частот +-Fd/2 в празднике не участвуют". В формулировке у котельникова однозначности нет, но в доказательстве - все есть.

[Oldring]

Ну и что? Для синуса я тоже зафиксировал типа фазу, ввел дополнительные знания, а однако - фиг...

В случае синуса вы нарвались на полное отсутствие информации даже про амплитуду. Сдвиньтесь сколь угодно мало по фазе - и это вырождение пропадет.

Добавлю, что чтобы восстановить гармонику известной частоты и фазы, "последовательность отсчетов" совершенно избыточна. Достаточно одного отсчета.

[GetSmart]

Добавлю, что чтобы восстановить гармонику известной частоты и фазы, "последовательность отсчетов" совершенно избыточна. Достаточно одного отсчета.

???

[bahurin]

В случае синуса вы нарвались на полное отсутствие информации даже про амплитуду. Сдвиньтесь сколь угодно мало по фазе - и это вырождение пропадет.

Добавлю, что чтобы восстановить гармонику известной частоты и фазы, "последовательность отсчетов" совершенно избыточна. Достаточно одного отсчета.

Ну это уже слишком!

Сообщение отредактировал bahurin - Oct 5 2010, 18:23

[rezident]

Ну это уже слишком!

Пурква да не па? Частота, фаза, величина амплитуды (связанная с фазой) и закон изменения сигнала (синус) - этого вполне достаточно для восстановления данного сигнала

[bahurin]

Пурква да не па? Частота, фаза, величина амплитуды (связанная с фазой) и закон изменения сигнала (синус) - этого вполне достаточно для восстановления данного сигнала

да действительно достаточно. пардон.