Объясните на пальцах преобразование Фурье. Опции

[Игорек]

Поискав в интернете информацию по преобразованиям Фурье понял его смысл: любой сигнал (функцию) можно разложить на бесконечное множество базисных сигналов (функций), из которых можно в конечном итоге получить обратно исходный сигнал. Но не понял, как делать эти преобразования.
1. Здесь http://www.analog.com/static/imported-file...p_book_Ch31.pdf написано, что есть 4 вида преобразования Фурье: Discrete Fourier Transform, Discrete Time Fourier Transform, Fourier Series, Fourier Transform. В чем разница между ними, и как они называются по русски?
2. В этом видео на 7.14 http://www.youtube.com/watch?v=8JKb9UN6W4c мнимая единица, которая находится в степени e в результате применения формулы Эйлера исчезает. Но в этом примере x(t) равно единице. У меня вопрос: при других значениях x(t) эта мнимая единица в степени e тоже будет исчезать? Пробовал взять в качестве функции x(t) просто x - у меня получается какая-то хренотень...

[Xenia]

1. Здесь http://www.analog.com/static/imported-file...p_book_Ch31.pdf написано, что есть 4 вида преобразования Фурье: Discrete Fourier Transform, Discrete Time Fourier Transform, Fourier Series, Fourier Transform. В чем разница между ними, и как они называются по русски?

Некогда не понимала тонкостей этих различий. Знаю только FFT, которое дискретное и циклическое.

2. В этом видео на 7.14 http://www.youtube.com/watch?v=8JKb9UN6W4c мнимая единица, которая находится в степени e в результате применения формулы Эйлера исчезает. Но в этом примере x(t) равно единице. У меня вопрос: при других значениях x(t) эта мнимая единица в степени e тоже будет исчезать? Пробовал взять в качестве функции x(t) просто x - у меня получается какая-то хренотень...

А нужны ли все эти математические доказательства там, где ответ очевиден? Исходная функция в видеоролике - четная, т.е. симметричная относительно оси ординат (0-y), следовательно, ее Фурье-аппроксимация будет состоять тоже из четных функций - косинусоид, тогда как синусоид в ее составе не будет совсем. Это означает, что в экспоненциальном представлении мнимой части в показателе не будет.

[Игорек]

А нужны ли все эти математические доказательства там, где ответ очевиден? Исходная функция в видеоролике - четная, т.е. симметричная относительно оси ординат (0-y), следовательно, ее Фурье-аппроксимация будет состоять тоже из четных функций - косинусоид, тогда как синусоид в ее составе не будет совсем. Это означает, что в экспоненциальном представлении мнимой части в показателе не будет.

Ну вобщем мне совсем не понятно как мне сделать преобразование Фурье Непонятно также, почему Фурье аппроксимация будет состоять из косинусоид, почему не будет синусоид. В примере на видео ведь как раз и получается синус. (2a*sin(wa)/wa) ну и все в том роде...

[V_G]

Непонятно также, почему Фурье аппроксимация будет состоять из косинусоид, почему не будет синусоид.

Косинус - функция четная (осесимметричная относительно нуля), синус - нечетная (центральносимметричная). Соответственно если исходная функция будет четной, в ее Фурье-представлении будут только косинусоиды, если нечетной - только синусоиды. Во всех остальных случаях - и то и другое.

[MrAlex]

Удивительное дело искать на ютубе решение от 1822 года.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%F0%E5%EE%...%D4%F3%F0%FC%E5

[Игорек]

Ну предположим я беру в качестве исходной функции f(t)=t^2. Я построил ее график и для простоты понимания хочу построить график Фурье преобразования этой функции по точкам (t=0, t=1, t=2,t=3) тоесть каждой точке исходной функции у меня будет соответствовать точка ее Фурье изображения. При t=0 изображение функции будет равно нулю, а при t=1? Хотя бы примерно...

Эскизы прикрепленных изображений

 

[SSerge]

тоесть каждой точке исходной функции у меня будет соответствовать точка ее Фурье изображения.

Это не так. Нет соответствия точка - точка.
Преобразование Фурье это преобразование одной функции (от времени) в другую функцию (от частоты).

[Игорек]

Мы можем примерно (но очень наглядно) найти по графику любой функции ее интеграл как сумму прямоугольников, мы можем по графику любой функции также примерно определить как будет проходить график производной этой функции (через отношение малых приращений изменения функции и приращений изменения аргумента), неужели нельзя по графику любой функции как-нибудь наглядно определить как будет выглядеть ее Фурье-форма? Например, как я пытался выше, наглядно преобразовать f(t) = t^2 в ее Фурье представление?

[SSerge]

мы можем по графику любой функции также примерно определить как будет проходить график производной этой функции

Ну да, по одному графику представить как выглядит другой график, я об этом и говорил.
А функцию для начала лучше взять попроще, из класса абсолютно интегрируемых.
Прямоугольный импульс, например ( равен 1 при -x₀ < t < x₀ и 0 вне этого интервала). Или exp(-x²).
Я, по правде сказать, не уверен что для t² интеграл Фурье вообще существует.

[N-S]

Я, по правде сказать, не уверен что для t² интеграл Фурье вообще существует.

Если $ f(t)=t² $ задана на (-inf, inf) то "классическом смысле" конечно нет ибо не из

класса абсолютно интегрируемых

, но есть же ещё и обобщённые функции

Сообщение отредактировал N-S - Feb 1 2012, 11:42

[Игорек]

А если для f(t)=t^2 не на бесконечности а на промежутке скажем [0;5] сделать преобразование Фурье? Такое возможно? И как, желательно пошагово...
http://academicearth.org/courses/the-fouri...ts-applications здесь курс из 30 лекций по преобразованиям Фурье, посмотрел пару лекций, вроде что-то понятно, но не совсем. (Преподаватель конечно супер, ни в школе ни в училище у нас таких не было, рассказывает очень живо и интересно) Плохо только что все на английском
Меня еще очень смущает в интеграле Фурье е^i . Не знаю как возвести е в i и вобще что с этим i делать. Здесь http://all-fizika.com/article/index.php?id_article=157 объясняется как возводить числа в комплексную степень, вот сижу разбираюсь...

Сообщение отредактировал Игорек - Feb 1 2012, 13:16

[N-S]

Меня еще очень смущает в интеграле Фурье е^i

В интеграле Фурье есть множитель e^iwt=cos(wt)+i*sin(wt) -- комплексная экспонента. Её и гуглите.

А если для f(t)=t^2 не на бесконечности а на промежутке скажем [0;5] сделать преобразование Фурье? Такое возможно? И как, желательно пошагово...

Если f(t)=t² определена на [0;5], то преобразование Фурье сделать можно, т.к она является абсолютно интегрируемой т.е интеграл от её модуля в бесконечных пределах сходится, а эта абсолютная интегрируемость и является условием существования Фурье-преобразования. Соответственно интеграл Фурье существует.
Чтобы осуществить преобразование, нужно вашу функцию просто подставить в формулу преобразования Фурье.
Попробуйте глянуть это http://bukalections.rpod.ru/196272.html

Сообщение отредактировал N-S - Feb 1 2012, 13:42

[Alexey Lukin]

Меня еще очень смущает в интеграле Фурье е^i . Не знаю как возвести е в i и вобще что с этим i делать.

Вот вам объяснение "на пальцах". Преобразование Фурье "прикладывает" к сигналу синусоиды и косинусоиды различных частот и вычисляет похожесть сигнала на эти прикладываемые синусоиды. Под "прикладыванием" понимается скалярное произведение сигнала и синусоиды. Если сигнал на неё похож, то скалярное произведение будет большим, если не похож — то маленьким.
Если приглядеться к формуле преобразования Фурье, то интеграл от произведения сигнала на e^i — это как раз и есть скалярное произведение, а e^i — это синусоиды и косинусоиды. Если раскрыть e^i по формуле Эйлера, то получится косинус + i*синус. То есть, интеграл можно считать по-отдельности с синусом и косинусом.
Итак, ещё раз: преобразование Фурье — это скалярное произведение (т.е. мера похожести) сигнала с синусоидами и косинусоидами всевозможных частот. Можете послушать первую лекцию на эту тему (по-русски).

[Игорек]

В интеграле Фурье есть множитель e^iwt=cos(wt)+i*sin(wt)

Что в левой что в правой части Вашего выражения есть i, мне непонятно куда его девать потом. В начале у нас зависимость амплитуды от времени, после преобразования у нас зависимость амплитуды от частоты. Ни до преобразования ни после преобразования у нас нет i , так куда же эта i девается???
PS: я знаю как складывать, находить разность, умножать, делить комплексные числа, знаю алгебраическое, тригонометрическое, показательное представление комплексных числел и как перейти от одного представления к другому. Но когда доходит дело до преобразований Фурье или Лапласа, тут я пас...

[ViKo]

Вот эта книжка спасет топикстартера.
http://www.kodges.ru/25027-cifrovaja-obrabotka-signalov.html

[GetSmart]

Преобразование Фурье "прикладывает" к сигналу синусоиды и косинусоиды различных частот и вычисляет похожесть сигнала на эти прикладываемые синусоиды.

На этот раз чертовски верно
А вот в книжках так же ясно объясняют?

[N-S]

Что в левой что в правой части Вашего выражения есть i, мне непонятно куда его девать потом

Вот объясните, зачем её (мнимую единицу) куда-то "потом девать", чем она Вам так не нравится?

после преобразования у нас нет i

Это неверно. Преобразование Фурье-комплексная функция.
Попробуйте посмотреть на e^iwt как на "комплексный аналог" синуса и косинуса (cos(wt)=Re[e^iwt], sin(wt)=Im[e^iwt]).

Сообщение отредактировал N-S - Feb 2 2012, 12:00

[Alexey Lukin]

Что в левой что в правой части Вашего выражения есть i, мне непонятно куда его девать потом.

Это для более короткой записи интеграла с синусом и интеграла с косинусом с помощью единой формулы. Интеграл с eⁱ — это интеграл с косинусом + i * интеграл с синусом. Т.е. каждый комплексный коэффициент преобразования Фурье хранит 2 интеграла: с косинусом (в действительной части) и с синусом (в мнимой части).

[Игорек]

Это для более короткой записи интеграла с синусом и интеграла с косинусом с помощью единой формулы.

А какова будет более длинная запись?

[Alexey Lukin]

Re F(w) = интеграл от произведения сигнала на косинус частоты w,
Im F(w) = интеграл от произведения сигнала на синус частоты w.

(здесь F(w) — преобразование Фурье)

Сообщение отредактировал Alexey Lukin - Feb 2 2012, 20:25

[blackfin]

Im F(w) = интеграл от произведения сигнала на синус частоты w.

Im F(w) = интеграл от произведения сигнала на синус частоты минус w.

[Alexey Lukin]

...который равен минус синусу частоты w.

[blackfin]

...который равен минус синусу частоты w.

Ну, да.. ну, да..

[Игорек]

Вот эта книжка спасет топикстартера.
http://www.kodges.ru/25027-cifrovaja-obrabotka-signalov.html

Спасибо, мельком пролистал - довольно интересно. Щас поизучаем!!!

[zöner]

man свертка
Фурье - интегралы свертки для разных частот, кратных фундаментальной частоте (как правило, частоте выборки)

Сообщение отредактировал zöner - Jun 2 2013, 10:36

[x893]

Сделать таблицу на четверть синусоиды и потом прямо в целочисленной арифметике (int32) все можно посчитать - скорость ~ 1 ms на 1024 точки. Использую для рисования он-лайн спектра - 6 kHz полоса, 12 kHz квантование. + рисование на дисплее. в общем real-time полный.Даже сделал 3D на 8 seconds. Использовал ультразвуковой датчик с гидроизоляцией и под водой смотрел где рыба находится. При движении видно прямо на экране куда крючок кидать.

[Alex11]

Что в левой что в правой части Вашего выражения есть i, мне непонятно куда его девать потом

Девать ее можно только в ситуации, когда Вам нужен спектр. Тогда берете модуль функции Фурье (корень из суммы квадратов действительной и мнимой частей).

[Tarbal]

Преобразование Фурье. Объяснение на пальцах.

В прямоугольных координатах можно разложить вектор на проекции. Фурье придумал как подобное сделать для периодических функций и изложил свою мысль в теореме Фурье.

Попробую изложить это своими словами.
Оказывается что скалярное произведение векторов (а именно с его помощью получают проекцию вектора на ось координат) для функции будет выглядеть как корелляция.
В воображаемом многомерном функциональном просранстве некореллирующие между собой функции образуют оси координат. Функциональных координат.
Если посчитать корелляции синусов и косинусов между собой на интервале периода частоты f, причем частоты участвующих синусов и косинусов являются произведением частоты f на целое число, то все они будут равну нулю, а значит все эти синусы и косинусы образуют систему координат. Причем периодическую функцию частоты f можно представить как сумму всех синусов и косинусов индивидуально умноженных на проекции на ось. Таком образом можно представить периодичаскую функцию в виде суммы или ряда Фурье.
Каждая индивидуальная амплитуда рассчитывается как корелляция разлагаемой функции с соответствующей "осью" -- функцией синуса или косинуса.

Подсчет корелляций и есть разложение в ряд Фурье. В пределе из ряда получают интеграл. Интергал для подсчета корелляций и есть преобразование Фурье.
Кстати дискретное преобразование Фурье это разложение в ряд Фурье.
Получение разложенного функционального "вектора" из проекций называется обратным преобразованием Фурье.

Теперь о мнимой составляющей.
Преобразование Фурье совершается над двумерным вектором. Двумерный вектор определяется двумя числами. Это либо проекции (сейчас в привычном смысле) на оси X и Y, либо в полярных координатах угол и длина вектора.
Прекрасно разработанный аппарат комплексных чисел позволяет записать преобразование Фурье в комплексном виде, но мнимая часть это просто дань аппарату. Она реальная вторая координата и ее представляют либо в видекомплексного числа(вектора, представленного в декартовых координатах, либо через экспоненту с мнимым показателем, что соответствует представлению в полярных координатах)

Математически полное и исчерпывающее освещение этого вопроса приведено здесь:

http://d.theupload.info/down/herm6xxiq7wz9...naliza__v_.djvu

Когда я был студентом и прочитал его, то пришел в восторг от изящности изложения.


Сообщение отредактировал Tarbal - Aug 23 2013, 14:32

[mov]

Ссылка не работает.

[Tarbal]

Ссылка не работает.

Что-то сломалось при копировании ссылки.
Ильин Поздняк Матанализ том 2. Глава 10 Ряды и интеграл Фурье.

Может так прокатит. У меня открывается начало второго тома, но если листать, то смотрелка падает. Я нашел способ:
1. Открыть книгу
2. Ввести страницу 5 и попадешь на оглавление. Так можно не напороться на проблему с третьей страницей.
http://www.newlibrary.ru/author/ilin_v_a__...njak_ye_g_.html