Эрмитовые Матрицы, выразыть в параметрах собственный вектор соответствующий... Опции

[reginil_y]

Привет уважаемые форумчане,

У меня есть такой вопрос: Есть некая комплексная матрица V размером (Nx3). Я создаю Эрмитовую матрицу G=V^H*V (размер NxN). H обозначает conjugate transpose. Мне нужно выразить собственный вектор матрицы G соответствующий максимальному собственному значению. Может кто знает книгу где выведено уже готовое выражение для соответствующей задачи или может это есть в какой нибудь статье на IEE.

с уважением

[Xenia]

У меня есть такой вопрос: Есть некая комплексная матрица V размером (Nx3). Я создаю Эрмитовую матрицу G=V^H*V (размер NxN). H обозначает conjugate transpose. Мне нужно выразить собственный вектор матрицы G соответствующий максимальному собственному значению. Может кто знает книгу где выведено уже готовое выражение для соответствующей задачи или может это есть в какой нибудь статье на IEEE.

А что вам мешает решать задачу в лоб? Вычислите G, а потом найдите у нее главный собственный вектор. Благо алгоримы для нахождения собственных векторов и значений эрмитовых матриц можно найти в любом справочнике по матричным вычислениям.

Хотя, если бы я решала эту задачу, то скорее всего получила другую эрмитову матрицу, F=V*V^H размером 3x3, нашла у нее главный собственный вектор, а потом умножила его на исходную матрицу V, получив в результате то, что вам надо . Этот путь вычислительно эффективен, благодаря малой размерности F. А из короткого собственного вектора всегда можно получить длинный, умножением на саму матрицу.

[reginil_y]

Хотя, если бы я решала эту задачу, то скорее всего получила другую эрмитову матрицу, F=V*V^H размером 3x3, нашла у нее главный собственный вектор, а потом умножила его на исходную матрицу V, получив в результате то, что вам надо . Этот путь вычислительно эффективен, благодаря малой размерности F. А из короткого собственного вектора всегда можно получить длинный, умножением на саму матрицу.

100 балов!!!
Дело в том, что в лоб решать было бы не то что бы сложно... просто невозможно. Так как все в параметрах и для каждого собственного значения пришлось бы искать детерминанту матрицы размером NxN. Да еще и в добавок нужно подставить этот вектор в выражение, которое совсем не маленькое а потом еще и делать производную по параметрам которые будут присутствовать в данном векторе .А вот сделать как вы сказали это намного элегантней. Большое спасибо!

P.S. Для того чтоб воспользоваться вашим решением необходимо знать что собственные значения отличные от нуля матриц V*V^(H) и V^(H)*V одинаковы. Это к счастью я знал. А вот как потом удлиннить вектор, догадаться не смог

Сообщение отредактировал reginil_y - Apr 3 2012, 12:05

[Xenia]

Дело в том, что в лоб решать было бы не то что бы сложно... просто невозможно. Так как все в параметрах и для каждого собственного значения пришлось бы искать детерминанту матрицы размером NxN.

По нынешним временам никто через детеминанты эту задачу не решает - QL метод рулит.

А вот как потом удлиннить вектор, догадаться не смог.

Уточнение. Умножением короткого СВ на исходную матрицу получается не совсем длинный СВ, а его произведение на соответствующее ему собственное значение. Формально это не мешает ему называться собственным вектором, но все-таки желательно нормировать его на единицу, тем самым, избавляясь от сомножителя.

[reginil_y]

По нынешним временам никто через детеминанты эту задачу не решает - QL метод рулит.


Уточнение. Умножением короткого СВ на исходную матрицу получается не совсем длинный СВ, а его произведение на соответствующее ему собственное значение. Формально это не мешает ему называться собственным вектором, но все-таки желательно нормировать его на единицу, тем самым, избавляясь от сомножителя.

Может я действительно что то пропустил,но...
Допустим F=V^H*V - матрица 3на3
Тогда должно выполнаться: (V^H*V)*h=lam*h, где h СВ, а lam СЗ матрицы F соответственно
Обозначим y=V*h
отсюда V^H*y=lam*h
Умножим обе части на V: (V*V^H)*y=lam*(V*h)
Отсюда получаем: G*y=lam*y.
Тоесть y и есть искомый СВ. Хотя интуиция подсказывает что нормировать было бы не лишним.

А что такое QL? Потому что даже для матрицы 3на3 мне расчеты показываются слишком длинными.

[Xenia]

А что такое QL? Потому что даже для матрицы 3на3 мне расчеты показываются слишком длинными.

А они и не могут быть короткими .

QL - это итерационный метод, основанный на разложении тридиагональной матрицы на произведение ортогональной Q и нижней трегольной L. На самом же деле эти сомножители не вычисляются, а имеет место хитрая последовательность однообразных процедур, когда с тридиагональной матрицы "сдирают кожу" , при этом ее поддиагональ с верхнего края "обтёсывается" после каждого прохода преобразований по цепочке сверху вниз. Итерации сходятся замечательно - в среднем требуется не более 2-х итераций на каждое собственное значение. Но сам процесс вычислений муторный и малопонятный .

Да, еще позабыла сказать, что первой стадией является приведение матрицы к тридиагональному виду, а дальше алгоритм работает лишь с парой диагоналей - главной диагональю и ее соседкой (поддиагональю). Соседка с другой стороны в вычислениях не участвует, т.к. триагональная матрица, получаемая из эрмитовой всегда симметрична, а QL-алгоритм тем и хорош, что своими итерациями эту симметричность не нарушает.

Например, посмотрите здесь: http://num-anal.srcc.msu.ru/lib_na/cat/ae/aeh1c.htm

[reginil_y]

Например, посмотрите здесь: http://num-anal.srcc.msu.ru/lib_na/cat/ae/aeh1c.htm

Спасибо за ресурс,
Дело все в том что у меня есть два варианта. Или прийти к конкретному математическому выражению или же использовать программу и прийти к численному результату. Для численного я обычно использую Матлаб.