Перетекание тока между кондёрами - система дифур для детей., Познавательная разминка для ума Опции

[javalenok]

Два кондёра. В начальный момент один заряженный (U1) другой - нет (U2=0). Их разделяет ключ и катушка (L). На качественном уровне рассуждений, при замыкании ключа, ток из C1 потечёт в C2. Потом он остановиться и потечёт в обратную сторону. Ограничимся одним периодом, поставив идеальный диод в направлении тока.

Поставим кондёры одной ногой на землю. Можно записать следущие уравнения:

Код

(1) di/dt = (U1-U2)/L
(2) dU1/dt = -i/C1   => (дифф по t) => -U1'' = i'/C1 => -C1U1'' = i'
(3) dU2/dt = i/C2   => (дифф по t) => U2'' = i'/C2 => C2U2'' = i'

откуда

(4) (U1-U2)/L = -C1U1'' = C2U2''

Не умею решить систему (4). Может кондёры можно в 1 эквивалентный свести и получить обычный гармонический осциллятор?

К чему я вобще за неё взялся, в чём соль задачи? Недавно познакомился со схемой удвоителя напряжения на конденцаторах. По отзывам рекомендателей - идеальная схема для повышения постоянных напряжений умеренной мощности. При использовании ШИМ позволяет получить любые коэффициенты. Главное достоинство - отсутствие каких-либо шумов. Однако, собственное расследование, с обращеним в всемирному разуму приоткрыло глаза. Оказалось, что она работает более-менее эффективно только благодаря паразитным индуктивностям. Известен курьёзный случай с одним американским оборонным проектом, когда для повышения КПД избавились от индуктивности... и схема перестала работать.

Парадокс в том, что когда у вас есть два, для простоты одинаковых, конденцатора один из которых заряжен до U и следовательно обладает энергией E0 = C*U^2/2, а второй - пустой, то при их соеденении половина заряда перетекает на второй и общая энергия становиться E1 = C*(U/2)^2/2 * 2 = C*U^2/4 = E0/2, т.е. уменьшается вдвое. Другими словами, столб воды высотой 2h вчетверо более энергетичен другого высотой h. По-видимому, при соеденении сосудов нельзя забывать про переходный (колебательный) процесс. Все заряды сперва полностью перетикают в одну ёмкость, затем возвращаются в первую. Инерция - та физическая сущность, что доставляет потенциал из одного места в другое. Процесс останавливается из-за резистивных потерь на трение. Мой интерес узнать сколько энергии теряется за один полупериод колебаний. Ирает ли роль отношение паразитных сопротивления и индуктивности на КПД, в смысле нужно ли ставить дополнительную катушку, для повышения КПД?

Чуть по-позжее, в уравнения нужно будет добавить резистор.

[javalenok]

Итак, вот что у меня получилось.

-- Система уравнений --

Ur = iR;
i' = (u1 - u2 - Ur)/L;
u1' = -i/c1;
c1u1 + c2u2 = c1u10.


Преобразуем:

u2 = c1/c2 u10 - c1/c2 u1;
i = -c1u1';
i' = u1/L (1+c1/c2) - u10/L c1/c2 - iR/L.


-- Уравнение --

u1' = -i/c1 => u1'' = -i'/c1 = - u1/Lc1 (1+c1/c2) + u10/Lc2 + iR/Lc1 = - u1/Lc1 (1+c1/c2) + u10/Lc2 - u1'R/L =
= -u1/Lc + u10/Lc2 - u1'R/L,

где с = с1с2/(с1+с2). Перенося в правую часть все переменные слагаемые:

: u1'' + R/L u1' + 1/Lc u1 = u10/Lc2

или, произведя замены R/L = 2y, 1/Lc = w0², F0 = u10/Lc2 и x = u1:

: x'' + 2y x' + w0² x = F0.


-- Решение --

Общее решение великодушно представлено андрейкой. Интеграл в нём равен:

S = exp(y(t'-t))/w0² * (γsin w(t-t') + wcos w(t-t')),
S|0..t1 = w/w0² * (1-exp(-yt)(y/wsin wt - cos wt) ).


Решение, опуская для краткости арг. (wt) в тригофункциях:

x(t) = exp(-yt) (x0 cos + x0y/w sin) + F0/w0^2 * (1 - exp(-yt) (y/w sin + cos)) = exp(-yt) [x0(cos + y/w sin) - F0/w0² * (y/w sin + cos)] + F0/w0² = exp(-yt) (cos + y/w sin) (x0 - F0/w0²) + F0/w0² =
= (x0w0²- F0)/w0² * exp(-yt) (cos + y/w sin) + F0/w0² = x(t).


x' = (x0w0² - F0)/w0² * exp(-yt) (-y(cos + y/w sin) -w sin + ycos) = (x0w0² - F0)/w0² * exp(-yt) (-sin) (y² +w²)/w = [w0 сокр.] =
= (x0w0² - F0) * exp(-yt) (-1/w * sin) = x'.

x'' = (x0w0² - F0) * exp(-yt) (y/w sin - cos).

Проверка: при подстановке в уравение (x'' + 2y x' + w0² x) сходится к F0:
x'' + 2y x' + w0² x = (x0w0^2 - F0) * exp(-yt) (y/w sin - cos - 2 y/w sin + cos + y/w sin) + F0 = F0.


Переходя назад к электрическим напряжениям:
u1(t) = u10/(c1+c2) * (c2 exp(-yt) (cos + y/w sin) + c1), что при отсутствии трения (y=0) вырождается в u10/(c1+c2) * (с1/c2 cos +1).
u2(t) = u10 c1/(c1+c2) (1 - exp(-yt) (cos - y/w sin)).
i(t) = u10/wL exp(-yt) sin.


В решении x(t) удачно совпадают два затухающих отклика. Ведь первую часть формулы, где x0 фигурирует, можно наверное рассматиривать как отклик на начальное смещение x0, а интегральное слагаемое - отклик на F0? Хотя любопытно, почему система уравнений разделяет начальное смещение U10 на x0 = U10 и постоянную силу F0 = U10/C2L? Думается, что в системе должна быть точка, задав начальное напряжение которой, F0 получится равным 0. Если бы нам удалось отыскать эту точку, то сила бы обнулилась и решение линейного диффуро стало бы тривиальным делом (дифференцирование комплексной экспоненты сводится к домножению на показатель степени). Фактически, постоянная сила F0 - смещение, вокруг которого происходят колебания, оно пропорционально начальному заряду. Когда они полностью затихнут, кондёры остануться заряженными. На обоих будет напряжение lim(u1, t -> ∞) = lim(u2, t -> ∞) = c1u10/(c1+c2). Значит, надо определить ту точку равновесия, где колебания происходять относительно нуля.

Подозрительны две вещи. Во-первых, у Фейнмана что чисто затухающий маятник, что под действием косинусоидальной силы, что предоставленный самому себе оставался косинусом. От трения изменялась только частота. У нас же в ряду появилась ещё одна гармоника y/w sin. Во-вторых, когда γ становилась больше w0, колебания исчезали и наблюдалось чисто экспоненциальное затухания. Это запомнилось очень отчётливо, поскольку тут лишний раз обращалось внимение на тесную математическую связь гармонических колебаний с экспонентой, которая физически себя часто проявляет именно таким переходом. Что-то я не вижу, как экспозатухания тут получить. Но положив γ > w0, с частотой действительно проблемы возникнут - обратится в комплесную. Фейнман-то хитрил, сразу в комплексном виде решать начал, действительная часть комплексных величин была реальным решением, отрицательное значение под знаком корня сокращало комлексную степень вовсе. А что делать, когда мы только с действительными числами работаем и вдруг в теоретических рассчётах всплывает комплексность (частота W в нашем случае)?

w = √(w0²-y²) = 2R/L √(4L/CR² - 1). Частота равняется нулю w=0, колебания прекращаются, когда 4L/R = CR, тогда exp(-y*(pi/0)) = exp(-∞) = 0 и напряжение u2(pi/w) = c1/(c1+c2)u10, то есть сразу примет предельное значение. Но что станется с частотой, когда 4L/R < CR, что такое комплексная частота?



-- Перезаряд без трения --

При R=0 имеем y=0 и
: w = w0 = 1/LC;
: u1 = u10/(c1+c2) * (c1/c2 cos+1);
: u2 = u10c1/(c1+c2) * (1 - cos);
: i = u10/wL sin = √(C/L) u10 sin.


Важны значения напряжений в момент, когда заряд перетечёт из 1-го конденсатора во второй и ток остановится. Ток мы вычислили ток i(t), он захочет потечь назад через полупериод t = pi/w. В этот момент cos(wt) = -1 и на конденсаторах будет напр.:

: u1(pi/w) = (c1-c2)/(c1+c2) u10;
: u2(pi/w) = 2 c1/(c1+c2) u10.


Как эти напряжения зависят от отношения ёмкостей конденсаторов?

Код

|           u2  |   u1
----------------+------
c1 >> c2 | 2u10 |  u10
c1 =  c2 |  u10 |    0
c1 << c2 |    0 | -u10

Оказывается, удвоить напряжение можно за один полупериод взяв второй кондёр много меньше первого! Более того, источник постоянного напряжения можно представить себе как бесконечно большой конденсатор. Значит, заряжая его через диод от источника постоянного напряжения, получим двойное напряжение! Если же конд. соеденять к источнику без диода, то должны налюдаться колебания. Их отсутствие означает потерю половины энергии. По-моему архиважный результат.

Значит все эти схемы конденцаторных удвоителей предполагают равные конденцаторы. И то верно что трудно удовлетворить условию Cn >> C(n+1) в многоуровневом каскаде конденсаторных умножителей.

В проведённом мною эксперименте с конденсаторами c1=1000μF -> c2=20μF без катушки индуктивности, двукратного перехлёста напряжения замечено не было. Напряжение u2 повторило сообщённое u1. Видать, затухание происходит очень быстро. Попробую с дросселем.


-- Перезаряд с трением --

Мы уже вычислили зависимость напряжений от времени. Осталось узнать его уровни в момент t=pi/w. Cos (pi) = -1, sin(pi) = 0 и

: u1(t=pi/w) = U10/(c1+c2) (c1 - с2 exp(-yt) ),
: u2(t=pi/w) = с1/(c1+c2) U10 (1 + exp(-yt)),
: -yt = -y/w*pi = pi/√(4L/CR²-1) = pi/√(4Q/T-1),

где добротность Q = L/R, постоянная времени T = CR. Как и ожидалось, u2 зависит от отношения L/R. Амплитуда напряжения экспоненциально затухает обратно пропорционально корню квадратному из добротности (энергия обратно добротности).

Дополнив паразитную индуктивность введением катушки, мы можем гарантировать индуктивность >> паразитного сопротивления проводов, тем самым 4L/R >> CR, 4L/CR² ≈ ∞, exp(-1/∞) = exp(0) = 1 и u2(pi/w) = 2 с1/(c1+c2) U10. То есть перезаряд будет происходить как будто трения не существует. Таким образом теория подтверждает интуитивную догадку о том, что эффективность перезарядки зависит от отношения индуктивности к трению и КПД можно считать близким к 100% когда L >> R.

Однако, увеличение L увеличивает так же период колебания, поэтому инд. нельзя увеличивать до бесконечности. Более того, использование слишком большого конденсатора, означает большую постоянную его заряда RC, которая обесценивает увеличение индуктивности, также увеличивая период pi/w. Получается, что большие конденсаторы способствуют затуханию. Вспомним, что неравенство CR>4L/R определяет условие чисто экспоненциального затухания. Может быть поэтому мой эксперимент не показал перехлёста напряжения, c2=20μF - слишком большая ёмкость? Каков порядок паразитного сопротивления R?


-- Энергия --

Посмотрим, как сильно уменьшится энергия E0 = ½ c1 u10² к моменту первой перезарядки t = pi/w. В этот момент тока нет, стало быть вся энергия, что есть сконцентрирована в кондёрах. Найдём энергию, воспользовавшись формулами для моментального напряжения в момент t=pi/w:
: E(pi/w) = E1(pi/w) + E2(pi/w) = ½c1u1² + ½c2u2² = ½u10²c1/(c1+c2)² [(c1-c2exp(-pi*y/w))² + с1с2(1+exp(-pi*y/w))²] = ½u10²c1/(c1+c2)² [c1² - 2c1c2exp(-pi*y/w) + c2²exp(-2pi*y/w) + c1c2 + 2c1c2exp(-pi*y/w) + c1c2exp(-2pi*y/w)] = ½u10²c1/(c1+c2)² (c2exp(-2pi*y/w)(c1+c2) + c1(c1+c2)) = ½u10²c1/(c1+c2)² (c2exp(-2pi*y/w) + c1)(c1+c2) = ½u10²c1/(c1+c2) (c2exp(-2pi*y/w) + c1) = ½ C u10² (exp(-2pi*y/w) + c1/c2) = E(pi/w).

КПД перезарядки:
: η = E(pi/w)/E0 = C(exp(-2pi*y/w) + c1/c2)/c1 = c2/(c1+c2) * (exp(-2pi*y/w) + c1/c2).

Потери. На сколько же уменьшилась энергия за первый полупериод?
: ∆E(0..pi/w) = E0 - E(pi/w) = ½c1u10²(1 - (c2exp(-2pi*y/w) + c1)/(c1+c2) ) = ½ c1/(c1+c2) u10² (c2 - c2exp(-2pi*y/w)) = [вынос c2] = ½ C u10² (1 - exp(-2pi*y/w)) = ∆E.


Выпишем так же рассеиваемую мощность, для порядка. Рассеяние в каждый момент времени если и просиходит, то только на ресзисторе. Зная ток легко вычислить:
: P(t) = i(t)Ur = i²R = (u10/wL exp(-yt) sin)² * R.
Найдём энергию, которая теряется в промежутке времени t=[a..b]. Для этого радо вычислить интеграл мощности:
: dEr(t) = P(t)dt,
: Er(t1..t2) = SP(t)dt|t1..t2 = (u10/wL)² * R * Sexp(-yt)sin²(wt)dt
Интеграл произведения эксоненты на синус можно просто вычислить взяв вспомнив формулу Эйлера exp(ibt) = cos(bt) + isin(bt), ((exp(ibt) + exp(-ibt))/2)² = cos²(bt), sin²(bt) = 1-cos²(bt) = 1 - ¼(exp(ibt) + exp(-ibt))² = 1 - ¼(exp(2ibt) + 2 + exp(-2ibt)).

Итак интеграл:
Sexp(-at)sin²(bt)dt = Sexp(-at)(1-cos²)(bt)dt = -exp(-at)/a - ¼Sexp(-at)[exp(i2bt) + 2 + exp(-i2bt)]dt =
-exp(-at)/a - ¼(exp((i2b-a)t)/(i2b-a) - 2exp(-at)/a - exp(-(i2b+a)t)/(i2b+a))dt =
= -¼(2exp(-at)/a + exp((i2b-a)t)/(i2b-a) - exp(-(i2b+a)t)/(i2b+a)).

Продолжим вычисление Er
Er(t1..t2) = (u10/wL)² * R * Sexp(-yt)sin²(wt)dt |t1..t2 = [a=2y, b=w] = (u10/wL)² * R (-¼)(2exp(-2yt)/2y + exp((i2w-2y)t)/2(iw-y) - exp(-2(iw+w)t)/2(iw+y)) |t1..t2 = [w²+y² = w0²] =
= -1/8R (u10/wL)² exp(-2yt) (2/y - [(iw-y)exp(iw2t) - (iw+y)exp(-i2wt)]/w0²) |t1..t2.

Как и положено энергия убывает в два раза быстрее напряжения. Желающи могут избавиться от комплексных экспонент:
Er(t1..t2)= -1/8R (u10/wL)² exp(-2yt) (2/y - ((iw(exp(iw2t) - exp(-i2wt)) -y(exp(iw2t) - exp(-i2wt))/w0²) |t1..t2 = -1/8R (u10/wL)² exp(-2yt) (2/y -(iw2sin(2wt) - y2cos(2wt))/w0²) |t1..t2 =
= -¼R (u10/wL)² exp(-2yt) (/y -(iwsin(2wt) - ycos(2wt))/w0²) |t1..t2 = Er(t1..t2).

Плоностью избавиться от джина комплексности, которого мы выпустили для решения интеграла, не удалось. Чтоб значит "за период t1..t2 выделилась такая-то комплексная энергия"? В правильности полученной формулы можно убедится, подсчитав потери за первый полупериод:

Er(0..pi/w) = -¼R (u10/wL)² {exp(-2pi*y/w)[1/y - (iw sin(2pi) - y cos(2pi))/w0²] - exp(0)[iw*0 - y*1)/w0²]} = [cos(2pi)=1, sin(2pi)=0] = -¼R (u10/wL)² {exp(-2pi*y/w)[1/y - (-y)/w0²] - [1/y - (-y)/w0²]} = -¼R (u10/wL)² (1/y + y/w0²)(exp(-2pi*y/w) - 1) = [1/y + y/w0² = (w0²-y²)/(yw0²) = w²/(yw0²), y=R/2L, w0²=1/LC] = ¼Ru10²2LLC/(RL²)(1-exp(-2pi*y/w)) = ½u10²C(1-exp(-2pi*y/w)) = ∆E(0..pi/w).

Ладушки, потери энергии действительно сошлись.


На этом, пожалуй, с теорией можно закончить.