Окна для приближения производных sinc, подскажите, как их получать? Опции

[_Ivana]

При некоторых методах интерполяции для получения значения производят сложение близлежащих точек с определенными весовыми коэффициентами, задаваемыми таблицей оконной функции (если положение точки внутри отрезка строго определено, например 1/2 и т.п.). В качестве этих коэффициентов можно брать:

1) Значения базисных полиномов Лагранжа, рассчитанных по тому же количеству точек что содержатся в окне - тогда мы имеем "чистую" полиномиальную Лагранжевскую интерполяцию, которая становится точнее с ростом частоты дискретизации но дает большие ошибки вблизи частоты Найквиста
2) Значения функции sinc (конечное их число). Точность определяется размером окна и по моему имху равна 1/N, где N-размер окна. Но зато хорошо себя ведет вблизи частоты Найквиста.
3) Другие хитрые окна, которые наверное можно представить как произведение sinc на квазипрямоугольное окно с хитрыми загибами по краям, что имхо должно приводить к некоему компромиссу характеристик 1) и 2)

Далее: мне хочется рассчитывать производные любых порядков в любы точках (хотя для начала в самих точках дискретизации) для равномерно дискретизированной функции. Появляются возможные аналогии описанному выше:

1) Окно из производных базисных полиномов Лагранжа
2) Окно из конечного набора усеченных производных sinc (cos(x)/x - sin(x)/x^2 и т.п.)
3) Некие компромиссные окна из 1) и 2)

1) и 2) я рассчитаю самостоятельно, собственно, вопрос:
как я могу получить оптимальное окно типа 3) для производных? Может есть какое-то известное квазипрямоугольное окно, наложив которое на 2) я получу желаемое? Или если такое окно есть и оно хорошо работает для самой функции, то не факт что будет хорошо работать для производных?

Сорри за многабукаф и заранее спасибо за ответы. Если вдруг что непонятно в моем изложении - готов уточнить.

[_Ivana]

Скачал книжку, читаю, но пока не нашел ответа на свой вопрос. Приведу конкретный пример: есть ряд значений y(i), надо аппроксимировать первую производную в точке 0. Если ограничиваться аппроксимацией по 9 точкам, получаем формулу:

y'(0) = a1*(y(1)-y(-1)) + a2*(y(2)-y(-2)) + a3*(y(3)-y(-3)) + a4*(y(4)-y(-4))

1) по Лагранжу:
a1 = 4/5
a2 = -1/5
a3 = 4/105
a4 = -1/280

2) по обрезанной производной синка (если ничего не напутал, смущает знак):
a1 = -sinc'(1)
a2 = -sinc'(2)
a3 = -sinc'(3)
a4 = -sinc'(4)

Причем, очевидно, что проверку прямой линией: 2*a1 + 4*a2 + 6*a3 + 8*a4 = 1 выдерживает только Лагранж, а синк будет сильно врать. С увеличением количества точек синк будет врать все меньше (~1/N).

Вопрос - какие значения a1~a4 вы предложите? И почему такие? Или (что то же самое) - какое квазипрямоугольное окно для этих коэффициентов лучше всего наложить на значения по синку, и по каким критериям выбирать это окно?

[AndrewN]

С вычислительной точки зрения совершенно все равно какую модель дифференцировать - например, если функция аппроксимирована кубическим сплайном, то её производная - полином второй степени и считается аналитически.

Если функция задана таблицей, то считаются конечные разности, с фильтрацией высокочастотного шума, который вносит наибольший вклад в ошибку. Т.о. необходим копромисс - поскольку производная это локальное свойство, то чем меньше точек, тем лучше (но меньше чем двумя всё равно не обойтись), а для подавления шума точек желательно взять больше.

В обоих случаях считается не сама производная, а её аппроксимация и она можеть быть близка или далека от истинной производной.

Не зная вида функции, не зная характера шума, невозможно дать работающий совет. Задайте функцию с известной производной, добавьте шум, посчитайте численную производную и сравнивайте для разных методов и коэффициентов, пока не попадёте в заданную точность. Или выяснится, что меньше определённого порога точность невозможно улучшить для заданного шума.

компромисс между порядком приближения и расширением спектра

Для дифференцирования спектр нужно сузить. Но не перестараться. Если (как предел фильтра нижних частот) взять среднее арифметическое, то получим много раз гладкую функцию с производными равными нулю и очень узким спектром...