Окна для приближения производных sinc, подскажите, как их получать? Опции

[_Ivana]

При некоторых методах интерполяции для получения значения производят сложение близлежащих точек с определенными весовыми коэффициентами, задаваемыми таблицей оконной функции (если положение точки внутри отрезка строго определено, например 1/2 и т.п.). В качестве этих коэффициентов можно брать:

1) Значения базисных полиномов Лагранжа, рассчитанных по тому же количеству точек что содержатся в окне - тогда мы имеем "чистую" полиномиальную Лагранжевскую интерполяцию, которая становится точнее с ростом частоты дискретизации но дает большие ошибки вблизи частоты Найквиста
2) Значения функции sinc (конечное их число). Точность определяется размером окна и по моему имху равна 1/N, где N-размер окна. Но зато хорошо себя ведет вблизи частоты Найквиста.
3) Другие хитрые окна, которые наверное можно представить как произведение sinc на квазипрямоугольное окно с хитрыми загибами по краям, что имхо должно приводить к некоему компромиссу характеристик 1) и 2)

Далее: мне хочется рассчитывать производные любых порядков в любы точках (хотя для начала в самих точках дискретизации) для равномерно дискретизированной функции. Появляются возможные аналогии описанному выше:

1) Окно из производных базисных полиномов Лагранжа
2) Окно из конечного набора усеченных производных sinc (cos(x)/x - sin(x)/x^2 и т.п.)
3) Некие компромиссные окна из 1) и 2)

1) и 2) я рассчитаю самостоятельно, собственно, вопрос:
как я могу получить оптимальное окно типа 3) для производных? Может есть какое-то известное квазипрямоугольное окно, наложив которое на 2) я получу желаемое? Или если такое окно есть и оно хорошо работает для самой функции, то не факт что будет хорошо работать для производных?

Сорри за многабукаф и заранее спасибо за ответы. Если вдруг что непонятно в моем изложении - готов уточнить.

[_Ivana]

С последним постом параметр конкретика/лирика в этом топике скачком возрос от нуля до своего максимального значения, производная соответственно максимальна
iiv, спасибо, попробую ваши коэффициенты на 9 точках. Но один вопрос - если взять 11, 13,.... 101 и т.д. точек - то коэффициенты будут рассчитываться по аналогии как

Код

an=+-(2-sqrt(3))^n

или не все так просто и выражение в скобках тоже будет другое? Спрашиваю потому что пока не догадываюсь как Вы получили эти коэффициенты.

Покрутил ещё Лагранжа. Обнаружил, что его коэффициенты представляют собой (для первой производной) значения производной синка в точках натурального ряда (они равны 1/n) умноженные на некие факториальные коэффициенты, которые вначале получаются около 1-цы но к концу нашего конечного окна = степени полинома резко спадают до 0, причем настолько резко, что даже логарифм их значения улетает в минус бесконечность почти вертикально. Поэтому и получается, что если мы будем брать предельный случай - только производные синка, то длина окна получается бесконечна и эти факториальные коэффициенты не ограничат чистые производные синка = 1/n и ряд не будет сходящимся.
В качестве эксперимента взял окно в 50 точек (по полиному Лагранжа 100 степени, да ). После ~30 значений точности моего 1С-симулятора (15 знаков после запятой в десятичном формате) не хватает для этих коэффициентов - они получаются нулевые, хотя теоретически они есть все вплоть до 50-го. Если рассчитать окно по 80 точкам, то как раз 50 ненулевых коэффициентов и получится при моей точности их определения. А если рассчитать окно по 200 коэффициентам (полиному 400-й степени ) и взять из них первые 50, то точность аппроксимации производной ограничится, после определенного порядка не будет увеличиваться при увеличении частоты дискретизации (за счет отбрасывания коэффициентов после определенного порядка), но увеличится точность вблизи частоты Найквиста.
Таким образом, имея определенную длину окна (наши 50 коэффициентов) я могу в неких пределах варьировать соотношение между абсолютной точностью аппроксимации при больших и малых частотах дискретизации, получать некие компромиссы. Но я манипулирую лишь порядком полинома и количеством оставляемых из него значений для окна. Единственно что ещё - последнее значение окна я могу рассчитать не как значение по полиному, а по правилу схождения ряда к 1-це на прямой. При этом абсолютная точность при больших частотах дискретизации несколько повышается. Но у меня есть предположения что можно обрезать ряд коэффициентов с изменением значений не одного а многих последних элементов, так чтобы погрешность была ещё меньше а окно оптимальнее. Пока не могу придумать как это сделать, буду признателен если кто подскажет.

[iiv]

С последним постом параметр конкретика/лирика в этом топике скачком возрос от нуля до своего максимального значения, производная соответственно максимальна
iiv, спасибо, попробую ваши коэффициенты на 9 точках. Но один вопрос - если взять 11, 13,.... 101 и т.д. точек - то коэффициенты будут рассчитываться по аналогии как

Код

an=+-(2-sqrt(3))^n

или не все так просто и выражение в скобках тоже будет другое? Спрашиваю потому что пока не догадываюсь как Вы получили эти коэффициенты.

да, именно так. Это обычный Б-сплайн 3-ей степени. Для пятой я на раз форулы из головы написать не смогу, старый стал. А ведь было время, на экзаменах студентам такое давал, а они выводили, и приходилось на лету проверять.

Еще есть возможность нарисовать тот же Б-сплайн, но на сетке в несколько раз большей, чем снятые Ваши эксперименты. Попробуйте, пожалуйста, сами, если сложно будет, пишите, я формулы для оного перевыведу и здесь запостю.... Я когда-то постил, кажется, для des00, но уже забыл, ссылку не могу найти, и наизусть не помню, а перевыводить лениво.

С Лагранжем и синком, можно Вам один глупый совет дать, и то, и другое хорошо осциллирует. Не правильно это при обычной нашей природе. Или сплайны, или Чебышев, но не Лагранж и синком.