Полиномы Чебышева, Почему не ортогональны? Опции

[Xenia]

Полиномы Чебышева. Почему не ортогональны?

Среди ортогональных многочленов очень часто упоминаются полиномы Чебышева (первого рода). Везде пишут примерно следующее:

Свойства многочленов Чебышева.
1. Система {Tn(x)}_n=0,1,... ортогональна на отрезке [-1,1] с весом h(x)=1/sqrt(1-x²)

Готовых функций, которые генеруют эти полиномы, всюду завались, и по сути все они делают одно и тоже. Короче говоря, сгенерила я эти полиномы от n=0 до n=5 включительно, представляя отрезок [-1,1] в виде массива дискретных элементов, достаточно длинного, чтобы эффект дескретизации сказывался слабо. Например, массив из gap=101 элемента (нечетное количество элементов выбирала для того, чтобы иметь среднюю точку). Номер элемента (i) пересчитывается в значение x из отрезка [-1,1] по формуле:
x = (double)(2*i)/(gap-1) - 1.0;
где: gap - длина массива.
Т.е. 0-й элемент массива соответствует (x=-1.0), а последний 100-й соответствует (x=+1.0). Серединка (50-й элемент) соответствует x=0.

Получилась матрица F, размером gap x 6. Если построить графики по столбцам той матрицы, то получим картинку, индентичную той, что нарисована а Википедии:
(форум не хочет эту картинку показывать)
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%...0%B0_%D0%A2.gif

Вроде бы теперь мне только жить, да радоваться . Только дернуло меня проверить эти вектора на ортогональность - вычислив продукт F*F' (размерность 6 x 6):

Код

    1.0000   -0.0000   -0.3200    0.0000   -0.0556   -0.0000
   -0.0000    0.3400   -0.0000   -0.1878    0.0000   -0.0364
   -0.3200   -0.0000    0.4722   -0.0000   -0.1686   -0.0000
    0.0000   -0.1878   -0.0000    0.4914   -0.0000   -0.1619
   -0.0556    0.0000   -0.1686   -0.0000    0.4981   -0.0000
   -0.0000   -0.0364   -0.0000   -0.1619   -0.0000    0.5016

Тут я этот продукт еще на число gap поделила, чтобы длина вектора не сказывалась.

И что вижу? Фигня какая-то... Ортогональны между собой лишь полиномы четных степеней с нечетными, а в остальных случах внедиагональные элементы слишком велики, чтобы их можно было списать на погрешность дискретизации. Впрочем, погрешность дискретизации можно еще понизить, увеличив длину вектора - тогда дискрета станет меньше. Проверила. При длине вектора gap=1001 имею:

Код

    1.0000    0.0000   -0.3320    0.0000   -0.0656   -0.0000
    0.0000    0.3340   -0.0000   -0.1988   -0.0000   -0.0466
   -0.3320   -0.0000    0.4672   -0.0000   -0.1798    0.0000
    0.0000   -0.1988   -0.0000    0.4862    0.0000   -0.1734
   -0.0656   -0.0000   -0.1798    0.0000    0.4926   -0.0000
   -0.0000   -0.0466    0.0000   -0.1734   -0.0000    0.4955

А при gap=10001:

Код

    1.0000   -0.0000   -0.3332    0.0000   -0.0666   -0.0000
   -0.0000    0.3334    0.0000   -0.1999    0.0000   -0.0475
   -0.3332    0.0000    0.4667   -0.0000   -0.1808   -0.0000
    0.0000   -0.1999   -0.0000    0.4858    0.0000   -0.1745
   -0.0666    0.0000   -0.1808    0.0000    0.4921    0.0000
   -0.0000   -0.0475   -0.0000   -0.1745    0.0000    0.4950

Куда еще дальше? Если отрезок [-1,1] представлен вектором, длиной в 10 тыс. элементов, то дискретизация становится исчезающе малой. А у меня корреляции от длины вектора практически не зависят. А корреляция между T0 и Т2 вообще ни в какие ворота не лезет -0.3332. Тем более что, если взять вместо полиномов Чебышева ряды Фурье, то даже на коротеньких массивах в 15-25 элементов ортогональность векторов очень хорошая.

Значит, это не погрешность дискретизации. Тогда что?
Где эта хваленая ортогональность, если я ее не вижу?
Не исключаю, что я здесь что-то важное недопонимаю, а потому и обращаюсь за консультацией. Что происходит? Должны ли полиномы Чебышева (первого рода) так себя вести, или мне надо продолжать искать ошибку у себя?

[Alexey Lukin]

Ксения, ортогональность этих полиномов надо понимать не в обычном смысле, а после домножения на корректирующую функцию:

В дискретном же случае они ортогональны на специальной "кривой" сетке, но не на равномерной сетке.