Полиномы Чебышева, Почему не ортогональны? Опции

[Xenia]

Полиномы Чебышева. Почему не ортогональны?

Среди ортогональных многочленов очень часто упоминаются полиномы Чебышева (первого рода). Везде пишут примерно следующее:

Свойства многочленов Чебышева.
1. Система {Tn(x)}_n=0,1,... ортогональна на отрезке [-1,1] с весом h(x)=1/sqrt(1-x²)

Готовых функций, которые генеруют эти полиномы, всюду завались, и по сути все они делают одно и тоже. Короче говоря, сгенерила я эти полиномы от n=0 до n=5 включительно, представляя отрезок [-1,1] в виде массива дискретных элементов, достаточно длинного, чтобы эффект дескретизации сказывался слабо. Например, массив из gap=101 элемента (нечетное количество элементов выбирала для того, чтобы иметь среднюю точку). Номер элемента (i) пересчитывается в значение x из отрезка [-1,1] по формуле:
x = (double)(2*i)/(gap-1) - 1.0;
где: gap - длина массива.
Т.е. 0-й элемент массива соответствует (x=-1.0), а последний 100-й соответствует (x=+1.0). Серединка (50-й элемент) соответствует x=0.

Получилась матрица F, размером gap x 6. Если построить графики по столбцам той матрицы, то получим картинку, индентичную той, что нарисована а Википедии:
(форум не хочет эту картинку показывать)
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%...0%B0_%D0%A2.gif

Вроде бы теперь мне только жить, да радоваться . Только дернуло меня проверить эти вектора на ортогональность - вычислив продукт F*F' (размерность 6 x 6):

Код

    1.0000   -0.0000   -0.3200    0.0000   -0.0556   -0.0000
   -0.0000    0.3400   -0.0000   -0.1878    0.0000   -0.0364
   -0.3200   -0.0000    0.4722   -0.0000   -0.1686   -0.0000
    0.0000   -0.1878   -0.0000    0.4914   -0.0000   -0.1619
   -0.0556    0.0000   -0.1686   -0.0000    0.4981   -0.0000
   -0.0000   -0.0364   -0.0000   -0.1619   -0.0000    0.5016

Тут я этот продукт еще на число gap поделила, чтобы длина вектора не сказывалась.

И что вижу? Фигня какая-то... Ортогональны между собой лишь полиномы четных степеней с нечетными, а в остальных случах внедиагональные элементы слишком велики, чтобы их можно было списать на погрешность дискретизации. Впрочем, погрешность дискретизации можно еще понизить, увеличив длину вектора - тогда дискрета станет меньше. Проверила. При длине вектора gap=1001 имею:

Код

    1.0000    0.0000   -0.3320    0.0000   -0.0656   -0.0000
    0.0000    0.3340   -0.0000   -0.1988   -0.0000   -0.0466
   -0.3320   -0.0000    0.4672   -0.0000   -0.1798    0.0000
    0.0000   -0.1988   -0.0000    0.4862    0.0000   -0.1734
   -0.0656   -0.0000   -0.1798    0.0000    0.4926   -0.0000
   -0.0000   -0.0466    0.0000   -0.1734   -0.0000    0.4955

А при gap=10001:

Код

    1.0000   -0.0000   -0.3332    0.0000   -0.0666   -0.0000
   -0.0000    0.3334    0.0000   -0.1999    0.0000   -0.0475
   -0.3332    0.0000    0.4667   -0.0000   -0.1808   -0.0000
    0.0000   -0.1999   -0.0000    0.4858    0.0000   -0.1745
   -0.0666    0.0000   -0.1808    0.0000    0.4921    0.0000
   -0.0000   -0.0475   -0.0000   -0.1745    0.0000    0.4950

Куда еще дальше? Если отрезок [-1,1] представлен вектором, длиной в 10 тыс. элементов, то дискретизация становится исчезающе малой. А у меня корреляции от длины вектора практически не зависят. А корреляция между T0 и Т2 вообще ни в какие ворота не лезет -0.3332. Тем более что, если взять вместо полиномов Чебышева ряды Фурье, то даже на коротеньких массивах в 15-25 элементов ортогональность векторов очень хорошая.

Значит, это не погрешность дискретизации. Тогда что?
Где эта хваленая ортогональность, если я ее не вижу?
Не исключаю, что я здесь что-то важное недопонимаю, а потому и обращаюсь за консультацией. Что происходит? Должны ли полиномы Чебышева (первого рода) так себя вести, или мне надо продолжать искать ошибку у себя?

[_Ivana]

Во-первых, обычные полиномы Лежандра (как и полиномы Чебышева) определены на отрезке [-1, +1], тогда как DLOP - исключительно на положительных значениях натурального аргумента, т.е. определены дискретно на векторе/массиве ровно этой длины, для которой они строятся. Это очень удобно тем, что избавляет от необходимости постоянно пересчитывать номера элементов в X-координату на отрезок [-1, +1] и обратно.

А до сего момента Вы разве не так получали вектора разной длины из отрезка полиномов Чебышева и Лежандра на отрезке [-1, 1]? Странно что вы отмечаете этот момент отдельно.

Во-вторых, центр симметрии у обычных полиномов Лежандра (как и у полиномов Чебышева) находится точно в начале координат (в середине отрезка [-1,1]), тогда как у DLOP тоже в середине, но уже в середине вектора! Например, если вектор у нас длиной в 15 элементов, но центр симметрии будет приходиться на 7-ой элемент массива.

Опять же, имхо это естественное следствие дискретизации непрерывной функции. Если бы дискретизировали четным количество точек, то центр был бы между точками. Снова не понимаю, почему вы придаете значение таким имхо очевидным вещам. Или вы все ваши предыдущие вектора строили из аналитического выражения на интервале [0, 1]? Тогда у вас не могла получиться ортогональность например полинома 1 или 3 степени с полиномом 0 степени....

В-третьих, обычные полиномы Лежандра (как и полиномы Чебышева) всегда пересекаются в точке (1,1), т.е. в правом верхнем углу графика. А DLOP пересекаются всегда в 1-ом элементе вектора (в языке C у него нулевой номер). Из-за этого некоторые полиномы нечетной степени (которые раньше упирались в точку(-1,-1)) оказались перевернутыми вверх ногами.

Здесь у вас получилась аналогия с аналитическим базисом от (-х) - который тоже базис и тоже ортогонален и нормирован. Ибо четные полиномы не поменялись а нечетные остались нечетными. И все они пересекаются в точке [-1, 1].

А вот бОльшая амплитуда размаха DLOP по сравнению с обычными аналитическими полиномами Лежандра (вплоть до вылетов за границы +-1) врядли является следствием просто отсутствия нормировки (кстати, ваша картинка внизу - из нормированных DLOP или нет?). Ссылки приведенные к сожалению платные и навскидку не получилось с ними ознакомиться.