Полиномы Чебышева, Почему не ортогональны? Опции

[Xenia]

Полиномы Чебышева. Почему не ортогональны?

Среди ортогональных многочленов очень часто упоминаются полиномы Чебышева (первого рода). Везде пишут примерно следующее:

Свойства многочленов Чебышева.
1. Система {Tn(x)}_n=0,1,... ортогональна на отрезке [-1,1] с весом h(x)=1/sqrt(1-x²)

Готовых функций, которые генеруют эти полиномы, всюду завались, и по сути все они делают одно и тоже. Короче говоря, сгенерила я эти полиномы от n=0 до n=5 включительно, представляя отрезок [-1,1] в виде массива дискретных элементов, достаточно длинного, чтобы эффект дескретизации сказывался слабо. Например, массив из gap=101 элемента (нечетное количество элементов выбирала для того, чтобы иметь среднюю точку). Номер элемента (i) пересчитывается в значение x из отрезка [-1,1] по формуле:
x = (double)(2*i)/(gap-1) - 1.0;
где: gap - длина массива.
Т.е. 0-й элемент массива соответствует (x=-1.0), а последний 100-й соответствует (x=+1.0). Серединка (50-й элемент) соответствует x=0.

Получилась матрица F, размером gap x 6. Если построить графики по столбцам той матрицы, то получим картинку, индентичную той, что нарисована а Википедии:
(форум не хочет эту картинку показывать)
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%...0%B0_%D0%A2.gif

Вроде бы теперь мне только жить, да радоваться . Только дернуло меня проверить эти вектора на ортогональность - вычислив продукт F*F' (размерность 6 x 6):

Код

    1.0000   -0.0000   -0.3200    0.0000   -0.0556   -0.0000
   -0.0000    0.3400   -0.0000   -0.1878    0.0000   -0.0364
   -0.3200   -0.0000    0.4722   -0.0000   -0.1686   -0.0000
    0.0000   -0.1878   -0.0000    0.4914   -0.0000   -0.1619
   -0.0556    0.0000   -0.1686   -0.0000    0.4981   -0.0000
   -0.0000   -0.0364   -0.0000   -0.1619   -0.0000    0.5016

Тут я этот продукт еще на число gap поделила, чтобы длина вектора не сказывалась.

И что вижу? Фигня какая-то... Ортогональны между собой лишь полиномы четных степеней с нечетными, а в остальных случах внедиагональные элементы слишком велики, чтобы их можно было списать на погрешность дискретизации. Впрочем, погрешность дискретизации можно еще понизить, увеличив длину вектора - тогда дискрета станет меньше. Проверила. При длине вектора gap=1001 имею:

Код

    1.0000    0.0000   -0.3320    0.0000   -0.0656   -0.0000
    0.0000    0.3340   -0.0000   -0.1988   -0.0000   -0.0466
   -0.3320   -0.0000    0.4672   -0.0000   -0.1798    0.0000
    0.0000   -0.1988   -0.0000    0.4862    0.0000   -0.1734
   -0.0656   -0.0000   -0.1798    0.0000    0.4926   -0.0000
   -0.0000   -0.0466    0.0000   -0.1734   -0.0000    0.4955

А при gap=10001:

Код

    1.0000   -0.0000   -0.3332    0.0000   -0.0666   -0.0000
   -0.0000    0.3334    0.0000   -0.1999    0.0000   -0.0475
   -0.3332    0.0000    0.4667   -0.0000   -0.1808   -0.0000
    0.0000   -0.1999   -0.0000    0.4858    0.0000   -0.1745
   -0.0666    0.0000   -0.1808    0.0000    0.4921    0.0000
   -0.0000   -0.0475   -0.0000   -0.1745    0.0000    0.4950

Куда еще дальше? Если отрезок [-1,1] представлен вектором, длиной в 10 тыс. элементов, то дискретизация становится исчезающе малой. А у меня корреляции от длины вектора практически не зависят. А корреляция между T0 и Т2 вообще ни в какие ворота не лезет -0.3332. Тем более что, если взять вместо полиномов Чебышева ряды Фурье, то даже на коротеньких массивах в 15-25 элементов ортогональность векторов очень хорошая.

Значит, это не погрешность дискретизации. Тогда что?
Где эта хваленая ортогональность, если я ее не вижу?
Не исключаю, что я здесь что-то важное недопонимаю, а потому и обращаюсь за консультацией. Что происходит? Должны ли полиномы Чебышева (первого рода) так себя вести, или мне надо продолжать искать ошибку у себя?

[_Ivana]

Во-первых, обычные полиномы Лежандра (как и полиномы Чебышева) определены на отрезке [-1, +1], тогда как DLOP - исключительно на положительных значениях натурального аргумента, т.е. определены дискретно на векторе/массиве ровно этой длины, для которой они строятся. Это очень удобно тем, что избавляет от необходимости постоянно пересчитывать номера элементов в X-координату на отрезок [-1, +1] и обратно.

А до сего момента Вы разве не так получали вектора разной длины из отрезка полиномов Чебышева и Лежандра на отрезке [-1, 1]? Странно что вы отмечаете этот момент отдельно.

Во-вторых, центр симметрии у обычных полиномов Лежандра (как и у полиномов Чебышева) находится точно в начале координат (в середине отрезка [-1,1]), тогда как у DLOP тоже в середине, но уже в середине вектора! Например, если вектор у нас длиной в 15 элементов, но центр симметрии будет приходиться на 7-ой элемент массива.

Опять же, имхо это естественное следствие дискретизации непрерывной функции. Если бы дискретизировали четным количество точек, то центр был бы между точками. Снова не понимаю, почему вы придаете значение таким имхо очевидным вещам. Или вы все ваши предыдущие вектора строили из аналитического выражения на интервале [0, 1]? Тогда у вас не могла получиться ортогональность например полинома 1 или 3 степени с полиномом 0 степени....

В-третьих, обычные полиномы Лежандра (как и полиномы Чебышева) всегда пересекаются в точке (1,1), т.е. в правом верхнем углу графика. А DLOP пересекаются всегда в 1-ом элементе вектора (в языке C у него нулевой номер). Из-за этого некоторые полиномы нечетной степени (которые раньше упирались в точку(-1,-1)) оказались перевернутыми вверх ногами.

Здесь у вас получилась аналогия с аналитическим базисом от (-х) - который тоже базис и тоже ортогонален и нормирован. Ибо четные полиномы не поменялись а нечетные остались нечетными. И все они пересекаются в точке [-1, 1].

А вот бОльшая амплитуда размаха DLOP по сравнению с обычными аналитическими полиномами Лежандра (вплоть до вылетов за границы +-1) врядли является следствием просто отсутствия нормировки (кстати, ваша картинка внизу - из нормированных DLOP или нет?). Ссылки приведенные к сожалению платные и навскидку не получилось с ними ознакомиться.

[Xenia]

А вот бОльшая амплитуда размаха DLOP по сравнению с обычными аналитическими полиномами Лежандра (вплоть до вылетов за границы +-1) врядли является следствием просто отсутствия нормировки (кстати, ваша картинка внизу - из нормированных DLOP или нет?).

Моя картинка не нормированная, хотя практически я пользуюсь номированной. Не хотела вводить нормировку в картинку, чтобы ярче были видны отличия от классических полиномов Лежандра. И, похоже, я достигла своей цели, если вы без подсказки заметили, что значения некоторых из высших полиномов ВНУТРИ интервала определения зашкаливают за единицу. Очевидно, что это не является следствием нормировки, т.к. в этом случае исчезло бы касание +1 или -1 на краях. Ведь нормируются полиномы, как кривая вдоль оси Х, а не поперек. Поэтому, если бы я путем масштабирования вызвала тот зашкал, то и на краях кривая промахнулась бы мимо единицы. А этого нет!

То, что вы заметили, является одним из важнейших достоинств DLOP над обычными полиномами Лежандра, т.к. именно этим способом первые обеспечивают себе ортогональность всегда! Тут либо ортогональность, либо удержание себя в рамках приличия. И очень отрадно, что DLOP пренебрегли приличием ради ортогональности. Ведь если подумать, то главное достоинство базиса в его отогональности и ортонормированности, а вовсе не в ограничении амплитуды единицей. Ограниченостью единичной амплитудой нас Фурье заразил. Дурной пример заразителен, и теперь каждому начинает казаться, без всяких на то оснований, что ограниченность амплитуды единицей является необходимостью. Тогда как на самом деле единицей должна быть ограничена норма, а вовсе не амплитуда.

Ссылки приведенные к сожалению платные и навскидку не получилось с ними ознакомиться.

Написали бы вы, _Ivana, заявку в "Свои", тем паче, что по всем критериям вы давно того достойны. Я на здешнем ftp такую потрясную библиотку книг по ЦОС собрала (разделы DSP и Image_processing)! И эти платные статьи тоже туда положила (вместе с другими по DLOP, которых в своих сообщениях не упоминала). ЦОС - вообще великая наука, от одного только соприкосновения с которой весь мир начинает восприниматься по-другому.

P.S. Вот здесь http://www.mathworks.com/matlabcentral/fil...expansions.html в разделе "Drawing orthogonal polynomials" только что нашла графики пронормированных полиномов Лежандра (обычные, не DLOP):



Как-то странно они их пронормировали, что сохранилось T0=1 всюду, но остальные полиномы настолько "выпучились", что перестали касаться единицы на концах. Ну, а за пределы единичного корридора вылезли кажется все, кроме нулевого.

Кстати, там я уже вижу еще новых претендентов на гладкие ортогональные полиномы. Это


полиномы Якобы (Jacobi polynomials)
и

полиномы Эрмита (Hermite polynomials)
Интересно, существуют ли их дискретные аналоги?