Метод наименьших квадратов для аппроксимации эллипсом в геометрическом смысле., Ищутся сам алгоритм и его реализация. Опции

[Pechka]

Возникла необходимость аппроксимировать полученые данные эллипсом с минизацией квадратов геометрических (не алгебраических!) рсстояний от полученых точек до эллипса. Нашёл много быстрых реализаций для алгебраических расстояний, но нужно именно геометрические минимизировать (поскольку вектора X и Y имеют равную погрешность). В качестве затравки к алгоритму можно использовать результат минимизации алгебраических расстояний так что использование метода Ньютона-Гауса (или других, чувствительных к начальному приближению) вполне пригодно. Может кто-либо встречался с какой-нибудь статьёй на эту тему? или есть готовые библиотеки для таких манипуляций?

[Pechka]

К чему такие споры? И так всем ясно, что раз уж эллипс имеет 5 параметров - значит необходимым условием является наличие как минимум 5 точек, чтобы решение было единственным, иначе по определению система уравнений будет иметь бесконечное множество решений. Что касается глобального минимума - нужно проверять, в численных методах обычно ищется как раз локальный минимум, а дальше, используется дополнительная информация чтобы доказать глобальность этого минмума.

В моей задаче имеются точки на плоскости. часть из них хорошо описываются эллипсом, а другая часть (их может быть достаточно много, но меньше 30% от полезных) - шумовая, которые могут в свою очередь образовывать контуры, а могут быть хаотично рассыпаны.

Если по теме, то нашёл 2 метода:
1. пересчитывать точки в канонический базис текущего эллипса и в нём всё решать
http://www.geometrictools.com/Documentatio...aresFitting.pdf
2. Проводить из точки кратчайшее расстояние до эллипса и минимизировать квадрат этих расстояний.
http://ieeexplore.ieee.org/xpl/login.jsp?t...number%3D813057

К сожалениею, не имею полного доступа к материалам ссылки 2. Если у кого-нибудь есть - поделитесь плз. полным pdf.

Задача для случая когда оси симметрии эллипса параллельны осям или расположены произвольно?
Аналитически решаются оба случая.

Оси произвольно расположены.
Можно ссылочку на статью или книгу с аналитическим решением такого случая?

[MrAlex]

Статью наврятли смогу привести, но суть в следующем:

Код

% Генератор исходных данных
a = .8
b = 1.4
for i = 1:6
    t = (i-1)/6*2*pi;
    x(i) = a*cos(t) + 2;
    y(i) = b*sin(t) + 1;
end

XX = x.*x;
YY = -y.*y;
XY = -x.*y;
DATA = [ x' y' YY' XY' ones(1,length(x))'];
%LSQ X = (H'*H)^-1 * H * W
H = DATA' * DATA;
H = inv(H);
H = H * DATA';
X = H * XX';

AA = X(4)/2/X(3);

x0 = (X(1) - X(2)*AA)/(2-X(4)*AA)
y0 =  (-X(4)*x0 + X(2))/2/X(3)

A = X(5) + x0*x0 + X(3)*y0*y0 + X(4)*x0*y0
B = A/X(3)
C = A/X(4)

a0 = sqrt(A)
b0 = sqrt(B)

%(x - x0)^2 / a^2 + (y - y0)^2 / b^2 + (x - x0)(y - y0)/c^2 = R^2