Решение диф. уравнения in time-domain Опции

[ustus_alex]

Итак, мое задание звучит следующим образом:
Дано диф. уравнение вида:

y[n+2] - y[n+1] - y[n] = 0 y[1]=y[2]=1

1. Необходимо вычислить y[3], y[4], y[5],y[6], y[7]

мое решение:

y[n+1]= y[n]+y[n-1]=1
y[n+2]= y[n+1]+y[n]=1
Отсюда можно сделать вывод, что y[n]=0
y[n+3]= y[n+2]+y[n+1]=1+1=2
y[n+4]= y[n+2]+y[n+3]=1+2=3
y[n+5]= y[n+3]+y[n+4]=2+3=5
y[n+6]= y[n+4]+y[n+5]=3+5=8
y[n+7]= y[n+5]+y[n+6]=5+8=13

Сделан ли этот пункт правильно?

2. Compute the general solution to the difference equation and find the first cypher of y[12]

мое решение:

y[n]= c*z^n

c*z^(n+2) - c*z^(n+1)-c*z^n=0

c*z^n*(z^2-z-1)=0

z1= (1+sqrt(5))/2 z2=(1-sqrt(5))/2

y[n]= c1*((1+sqrt(5))/2)^n + c2*((1-sqrt(5))/2)^n

теперь нам нужно найти коэффициенты с1 и с2, для этого смотрим на наше общее решение и его значения от n

y[1]= c1*((1+sqrt(5))/2) + c2*((1-sqrt(5))/2) =1

y[2] = c1*((1+sqrt(5))/2)^2 + c2*((1-sqrt(5))/2)^2 =1

Если внимательно присмотреться к этой системе, то напрашивается вывод, что с2= - с1

тогда можно упростить общее решение...
y[n]= c * ((1+sqrt(5))/2)^n - ((1-sqrt(5))/2)^n)

Да, и можно легко найти эту константу...

с= y[n] / ((1+sqrt(5))/2)^n - ((1-sqrt(5))/2)^n) = 1 / ((1+sqrt(5))/2) - ((1-sqrt(5))/2)) = 1/ sqrt (5)

Следовательно общее решение примет теперь вот такой вид:

y[n]= (1/ sqrt (5)) * ((1+sqrt(5))/2)^n - ((1-sqrt(5))/2)^n)

На этом месте правильно?

3. Вычислить последние цифры (после запятой) y[12], как бы это сделать?? задание осложнено тем, что калькулятором пользоваться нельзя....

Есть идеи?

[paskal]

Следовательно общее решение примет теперь вот такой вид:

y[n]= (1/ sqrt (5)) * ((1+sqrt(5))/2)^n - ((1-sqrt(5))/2)^n)

На этом месте правильно?

На этом месте - правильно.
Вы фактически вывели формулу Бине, которая выражает произвольное число Фибоначчи.

3. Вычислить последние цифры (после запятой) y[12], как бы это сделать?? задание осложнено тем, что калькулятором пользоваться нельзя....

Поскольку все числа целые, то цифры после запятой и без калькулятора понятны.