|
Задача получения собственных векторов к уже имеющимся собственным значениям возникает довольно часто. Особенно, когда нужны не все собвектора, а только для малого числа выбранных собзначений (обычно либо самых больших, либо самых маленьких). Опять же хочется сэкомить вычисления, рассчитывая на то, что определить избранные собвектора будет быстрее, чем их полный набор.
К сожалению, эти надежды оправдываются далеко не всегда. В большинстве случае бавает гораздо проще вычислить полный набор того и другого, используя алгортмы, вычисляющие собзначения вместе с их собвекторами, нежели прилаживать вектора к уже имеющимся собственным значениям.
Не знаю, как сейчас, но традиционно для последней цели использовались обратные итерации с последующей реортогонализацией полученного набора собвекторов. Процедура гадкая по части объема вычислений, т.к. матрицу векторов приходится очень много раз вращать. А в случае комплексных чисел и вовсе ужасная по числу операций.
Из собственного опыта (правда он у меня касается только действительных матриц) могу посоветовать повторить QR-алгоритм в варианте с собственными векторами. Однако ускорив его тем, что "подсказывать" этой процедуре готовые величины собзначений (в точности в том же порядке, в котором они были найдены и никаком другом!), а не находить их методом итераций. Тогда, несмотря на итерационную реализацию алгоритма, он сходится за один проход на каждое собственное значение. Об этом еще Парлетт писал в своей книжке "Симметричная проблема собственных значений". И, кажется, именно он это свойство впервые обнаружил.
Но это я пишу лишь с очень слабой надеждой, что реализация алгоритма вам интересна. Но если нужен просто чужой готовый код, чтоб свои мозги не утруждать, то тогда я пас.
|
Вычисление собственных векторов
Aug 1 2013, 03:49
