Кто в моментах высших порядков шарит, подскажите.., А также в нелинейной корреляции и всё в таком духе.... Опции

[Dr.Alex]

Есть две независимые случайные последовательности X и Y с примерно равной дисперсией.

Сляпаем из них две другие последовательности, линейно комбинируя исходные::

X' = aX + bY
Y' = bX — aY

Очевидно, что X' и Y' являются зависимыми, но корреляции они не дадут.

А какой же метод применить, чтобы надёжно обнаружить очевидную связь этих последовательностей?

(Коррелировать квадраты X' и Y' не предлагать - слишком банально..)

[amaora]

Мне как-то не очевидно, что это возможно. Смотрю с геометрической стороны, две случайных величины задают точку на плоскости, в исходной системе координат величины независимы. Делаем поворот системы координат, вопрос, почему они должны быть зависимы в новой системе координат? Не должны, то есть существуют такие линейные преобразования отличающиеся от единичного котрые не приводят к зависимости величин. Можно предположить, что это ортогональные преобразования т.к. в этом примере был поворот.

Теперь алгебра. Линеное преобразование действует на матрицу ковариации известным образом, Pn = A P A'. То есть если начальная ковариация единичная, то в результате получается P = AA'. Обратно получить А из этого произведения можно разложением Холесского. Но ортогональная часть будет потеряна, это ясно из приведенной формулы и определения ортогональной матрицы AA'=I.

Итоговый ответ, исходное линейное преобразование идентифицировать невозможно. Можно только неортогональную часть с помощью разложения Холесского матрицы ковариации.

Забыл спросить: А исходные независимые X,Y известны? если да то это совсем другая задача, не то, что я подумал.

Сообщение отредактировал amaora - Oct 12 2013, 20:30

[Dr.Alex]

X и Y конечно неизвестны.

Уверен, что зависимость должна обнаруживаться при ненулевых а и б просто потому, что она видна при корреляции X'² и Y'², но по разным причинам мне такое решение не нравится.. :-/