О представлении выборок случайных процессов рядом по собственным векторам корреляционной функции, теория и практика Опции

[AMih]

Есть ансамбль выборок
Выборка Х1=х1, x2 … xn сделана в n моментов времени. Аналогично получен еще ряд выборок.
Весь ансамбль представим как матрицу Х =
х11, x12 … x1n
х21, x22 … x2n
……………………….
хm1, xm2 … xmn
Рассчитаем корреляционную матрицу К как коэффициенты корреляции i и j столбцов. Вычислим собственные вектора Vi матрицы К.
Перейти к выборкам с некоррелированными отсчетами Y можно как Y = ХV (в матричном виде). Корреляционная матрица для Y должна быть диагональной. Это теория.
На практике: матрица К не диагональная, значения коэффициентов корреляции вне главной диагонали лежат в интервале 0.6.-.0.9. Корреляционная матрица собственных векторов Vi диагональная (специально проверял), значения вне главной диагонали не превышают заданной точности (т.е. не более 1Е-35). А корреляционная матрица для Y диагональной не получается, значения коэффициентов корреляции вне главной диагонали близки к 1. То есть: вместо искомой декорреляции ансамбля исходных выборок Х получаю совершенно противоположный эффект - усиление корреляции.
Ошибка где-то в самом принципе. Сам ошибку не вижу. Подскажите – где наврал?

[iiv]

Как-то у Вас все запутанно, давайте вместе по шагам проверим:
Исходня матрица Х, для нее сингулярное разложение Х = UZW^T, U, W - унитарные, Z - квадратная диагональная
Корреляционная матрица К = X^T X = WZU^T U ZW^T = WZ ZW^T, то есть Ваши собственные векторы - это есть правые сингулярные векторы W от исходной матрицы Х.
Если же вычислить Вашу Y = ХV , то она получается в виде: Y = UZW^T W = UZ . Для нее корреляционная матрица ZU^TUZ = Z^2 - диагональна, и должна совпадать с собственными значениями исходной K матрицы.

Если W в Вашем случае подставить не транспонированную, скорее всего получите то, что Вы получили.

Считайте все через сингулярное разложение, будет и понятнее, и быстрее, и точнее - так как при плохой обусловленности корреляционные матрицы возводят в квадрат обусловленность исходной задачи.

[AMih]

Как-то у Вас все запутанно, давайте вместе по шагам проверим:
Исходня матрица Х, для нее сингулярное разложение Х = UZW^T, U, W - унитарные, Z - квадратная диагональная
Корреляционная матрица К = X^T X = WZU^T U ZW^T = WZ ZW^T, то есть Ваши собственные векторы - это есть правые сингулярные векторы W от исходной матрицы Х.
Если же вычислить Вашу Y = ХV , то она получается в виде: Y = UZW^T W = UZ . Для нее корреляционная матрица ZU^TUZ = Z^2 - диагональна, и должна совпадать с собственными значениями исходной матрицы.

Если W в Вашем случае подставить не транспонированную, скорее всего получите то, что Вы получили.

Считайте все через сингулярное разложение, будет и понятнее, и быстрее, и точнее - так как при плохой обусловленности корреляционные матрицы возводят в квадрат обусловленность исходной задачи.

Будьте добры, поясните: ZU^TUZ = Z^2 здесь Z^2 есть квадрат Z? Во всех остальных случаях ^ это транспонирование?

[iiv]

Будьте добры, поясните: ZU^TUZ = Z^2 здесь Z^2 есть квадрат Z? Во всех остальных случаях ^ это транспонирование?

да, именно, я использовал принятые в ЛаТеХе и Википедии обозначения.

Попробую SVD.
Кстати, наудачу, может кто-нибудь подкинет ссылку на работающую процедуру SVD (хочется для Delphi). Самому писать лениво.

Есть такая библиотека ACML, распространяется с сайта АМДшника бесплатно. В Дельфи сто процентов можно ее подцепить, я видел, как однажды это делали, но сам не подскажу, так как с Дельфи не имею дела. В этой библиотеке есть функции dgesvd и dgesdd, которые и вычисляют сингулярные разложения: dgesvd - чуть по-проще, но помедленнее, dgesdd - чуть по-сложнее, но побыстрее. Если нужна одинарная точность или комплексные числа, заменяйте первую букву этих подпрограмм на c, z или s. Документацию к параметрам функций можно найти гуглом на ее название + слово LAPACK. Не пугайтесь фортрановских ссылок, в ACML она из С вызывается и в Дельфи подключается.

[AMih]

да, именно, я использовал принятые в ЛаТеХе и Википедии обозначения.


Есть такая библиотека ACML, распространяется с сайта АМДшника бесплатно. В Дельфи сто процентов можно ее подцепить, я видел, как однажды это делали, но сам не подскажу, так как с Дельфи не имею дела. В этой библиотеке есть функции dgesvd и dgesdd, которые и вычисляют сингулярные разложения: dgesvd - чуть по-проще, но помедленнее, dgesdd - чуть по-сложнее, но побыстрее. Если нужна одинарная точность или комплексные числа, заменяйте первую букву этих подпрограмм на c, z или s. Документацию к параметрам функций можно найти гуглом на ее название + слово LAPACK. Не пугайтесь фортрановских ссылок, в ACML она из С вызывается и в Дельфи подключается.

Понял, спасибо. C ACML не работал еще.