Децимирующий КИХ фильтр, Завал АЧХ после децимации Опции

[ilynxy]

Доброго всем.

Уважаемые! Поясните пожалуйста, почему после децимирующего FIR "классический" анализ ответа фильтра на ступеньку (единичная функция) выдаёт неправильные результаты. А анализ ответа на ГКЧ (или просто на набор синусоид) -- правильные.

Вот код MATLAB, где я моделирую подобное измерение:

Код

% классическая ступенька
x = [zeros(1, 1024*m) ones(1, 1024*m)];

% Фильтр на ~1/4 исходной полосы, с подавлением 100 dB
Fp  = 0.20;
Fst = 0.25;
Ap  = 0.0001;
Ast = 100;

hf = design(fdesign.lowpass('Fp,Fst,Ap,Ast', Fp, Fst, Ap, Ast));

% Фильтруем сигнал
y = filter(hf, x);

% Децимируем в 4 раза (имеем право, теорема Котла не нарушена, отрезали
% всё что выше с помощью FIR фильтра)
k = 4;
y_decim = downsample(y, k);

% классика жанра: FFT от дифференциала ответа на ступеньку
PRy = 20*log10(abs(fft(diff(y))));
% и для децимированного сигнала
PRy_decim = 20*log10(abs(fft(diff(y_decim))));

% Рисуем спектр
Fx = [0:length(PRy)-1] / length(PRy) * 2;
Fx_decim = [0:length(PRy_decim)-1] / length(PRy_decim) / k * 2;
plot(Fx, PRy, Fx_decim, PRy_decim);

И получается, что после децимации дифференциал ответа на ступеньку даёт завал АЧХ в конце где-то на 3 dB. Если поэкспериментировать с децимацией (например, сделать в два раза), то завал уменьшится.


Собственно вопрос: почему так происходит?
И попутный вопрос: как исследовать характеристики фильтра "в живой природе"? Получается, что если фильтр децимирующий, то исследовать его характеристики методом подачи "единичной функции" нельзя? В более общем случае: если я не знаю характеристики системы и мне нужно построить её АЧХ, то я не имею права исследовать воздействуя на неё единичной функцией и получая спектр дифференциала ответа?

Сообщение отредактировал ilynxy - Oct 18 2014, 11:48

Эскизы прикрепленных изображений

 

[des00]

1. Кто вас научил исследовать фильтры с помощью функции Хевисайда вместо дельта-функции?
2. Как модератор предлагаю вам самостоятельно убрать нарушения правила форума 2.1в, до того как этим займется модератор раздела.

[ilynxy]

1. Кто вас научил исследовать фильтры с помощью функции Хевисайда вместо дельта-функции?

Возможно я что-то плохо понимаю. Вот как я это представляю:
а) у меня есть чёрный ящик с передаточной функцией y = H(x);
б) мне необходимо получить АЧХ и ФЧХ этого чёрного ящика;
в) в идеальном моделировании на вход подаётся дельта-функция и по ответу делаются выводы
в1) в неидеальном мире дельта-функцию имитировать сложно, более того, я знаю, что чёрный ящик содержит АЦП и КИХ-фильтр, поэтому я принимаю решение подать на вход функцию Хэвисайда. Исходя из того что дельта-функция d(x) есть производная от функции Хевисайда Hevi'(x), я делаю предположение что, y = H(d(x)) = H'(Hevi(x)). Иными словами, ответ передаточной функции на дельта импульс равен дифференциалу ответа передаточной функции на функцию Хэвисайда. Очевидно, что это неверно в общем случае. Однако во множестве источников предлагается такой метод, наряду с использованием генератора качающейся частоты (теста синусоидами на разных частотах).

Характер полученной АЧХ я могу объяснить и понимаю, почему он получается "заваленым". После децимации дифференциал от функции Хевисайда получается усреднённым по степени децимации (то есть усреднение по двум отсчётам в случае децимации в два раза или по четырём в случае децимации в четыре раза). И выходная характеристика получается произведением АЧХ КИХ фильтра и АЧХ "усреднятеля по двум/четырем/n-отсчётам" (это sinc функция). Собственно завал на графике и есть спад sinc функции.

Отсюда возникает вопрос: а как всё-таки правильно исследовать АЧХ/ФЧХ чёрного ящика имея генератор сигналов и осциллограф/рекордер? Если исследовать дельта-функцией, то какой длительности она должна быть? Если исследовать функцией Хэвисайда, то по очевидным причинам дифференциал ответа на функцию Хэвисайда в общем случае не равен ответу на дельта-функцию. Если исследовать с помощью ГКЧ упираемся в неидеальность генератора (всё-таки сгенерировать ступеньку с условно бесконечным спектром несколько проще чем синусоиды на разных частотах).

2. Как модератор предлагаю вам самостоятельно убрать нарушения правила форума 2.1в, до того как этим займется модератор раздела.

Если честно, я не понял, что именно нарушено? Грамматика, содержание?

[andyp]

Возможно я что-то плохо понимаю. Вот как я это представляю:
а) у меня есть чёрный ящик с передаточной функцией y = H(x);
б) мне необходимо получить АЧХ и ФЧХ этого чёрного ящика;
в) в идеальном моделировании на вход подаётся дельта-функция и по ответу делаются выводы
в1) в неидеальном мире дельта-функцию имитировать сложно, более того, я знаю, что чёрный ящик содержит АЦП и КИХ-фильтр, поэтому я принимаю решение подать на вход функцию Хэвисайда. Исходя из того что дельта-функция d(x) есть производная от функции Хевисайда Hevi'(x), я делаю предположение что, y = H(d(x)) = H'(Hevi(x)). Иными словами, ответ передаточной функции на дельта импульс равен дифференциалу ответа передаточной функции на функцию Хэвисайда. Очевидно, что это неверно в общем случае. Однако во множестве источников предлагается такой метод, наряду с использованием генератора качающейся частоты (теста синусоидами на разных частотах).

Характер полученной АЧХ я могу объяснить и понимаю, почему он получается "заваленым". После децимации дифференциал от функции Хевисайда получается усреднённым по степени децимации (то есть усреднение по двум отсчётам в случае децимации в два раза или по четырём в случае децимации в четыре раза). И выходная характеристика получается произведением АЧХ КИХ фильтра и АЧХ "усреднятеля по двум/четырем/n-отсчётам" (это sinc функция). Собственно завал на графике и есть спад sinc функции.

Отсюда возникает вопрос: а как всё-таки правильно исследовать АЧХ/ФЧХ чёрного ящика имея генератор сигналов и осциллограф/рекордер? Если исследовать дельта-функцией, то какой длительности она должна быть? Если исследовать функцией Хэвисайда, то по очевидным причинам дифференциал ответа на функцию Хэвисайда в общем случае не равен ответу на дельта-функцию. Если исследовать с помощью ГКЧ упираемся в неидеальность генератора (всё-таки сгенерировать ступеньку с условно бесконечным спектром несколько проще чем синусоиды на разных частотах).

Во-первых внутри downsample тоже используется ФНЧ (скорее всего c ИХ вида sinc, умноженный на окно), полоса которого уже чем 0.25 Fs. Отсюда завал на 6 dB. Во-вторых дециматор не является LTI системой (linear time invariant, не знаю как по-русски). В спектре выходного сигнала после него появляются составляющие, которых до него там не было. Зачем тогда говорить про АЧХ-ФЧХ...