Полином для вычисления обратной CRC, Из CRC получить исходный код Опции

[ViKo]

Имею идею шифровать код прошивки с помощью CRC. Конкретно, декодировать его с помощью встроенной в STM32F2xx CRC-32 с полиномом:
X32 + X26 + X23 + X22 + X16 + X12 + X11 + X10 +X8 + X7 + X5 + X4 + X2+ X +1
То есть, каждое исходное слово заменяется CRC, вычисленной с его участием, следующее слово заменяется следующей CRC.
Вопрос, как закодировать, чтобы после декодирования получить исходный код? Каким полиномом? Думаю, перекрутить 32 в 1, и т. п.
Пока читаю пару статей о CRC, может, кто-то уже знает точный ответ?

[ViKo]

Давайте возьмем примитивнейший пример. CRC-8 равна сумме того числа-байта, что занесено в блок вычисления и входного байта. И ограничена, естественно, 8 битами. Кодируем ту же последовательность, каждое число не более 8 битов:
22 -> 22
33 -> 55
44 -> 99
66 -> 165
166 -> 330 = 74
255 -> 329 = 73
и т.д. Очевидно, однозначность будет всегда.

И что дало такое априорное знание, что код был равен 91 перед тем, как стал 37? Это как-то может помочь в принятии решения, как декодировать число 37 - в 11, или в 66?

Это говорит о том, что предложенный вариант вычислений как CRC использовать нельзя.
Когда вы умножаете предыдущий результат на 256, вы сильно вылетаете за разрядность числа 311. Видимо, здесь ошибка.

[SM]

Очевидно,

Это не доказательство. Вот для арифметического деления, доказательство четкое (математически), что однозначности нет. По причине того, что число G, выступающее в роли делителя, больше, чем 2^(N-1), где N - разрядность числа. И, поэтому, остатки от деления DATA mod G, большие, либо равные, чем 2^(N-1), зацикливаются внутри байта из-за отбрасывания старшего бита. Было бы логично распространить это и на полиномы. Потому, что там аналогия полная - полином на 1 разряд больше, чем CRC, поэтому результат от деления полиномов должен бы также зацикливаться внутри этого числа разрядностью на 1 меньше, чем полином, приводя к дублям.

"Очевидно" - нет такого термина. Мне вот, очевидно, что для CRC4 будет для входных данных "0001 0010" , что соответствует полиному x^4+x - остаток от деления на x^4+x^1+1 будет равен x^4+x, что соответствует числу 2, если оставить 4 бита. Проверяем - 0*(x^4+x^1+1) + (x^4+x) = x^4+x - проверка показала, в делении не ошиблись, остаток именно такой. И, одновременно, для данного "0000 0010", что соответствует полиному x^1, остаток от деления на x^4+x^1+1 равен x^1, что также соответствует четырехбитному числу 2. Проверяем - 0*(x^4+x^1+1) + x^1 = x^1. Проверка опять показала, что поделено правильно, и остаток именно такой.

Насколько я понял, раскодирование заключается в вычислении CRC. Это однозначное преобразование.

Вопрос - как при помощи некой функции закодировать данные так, чтобы они раскодировались методом подсчета CRC. Я не уверен в том, что существует такая функция в принципе (то есть, математически, является функцией, сопоставляя каждому аргументу из ее области определения единственное значение результата). То, что можно подобрать такой поток данных, чтобы на выходе получить требуемую последовательность - да с этим никто не спорит ни разу!