1. Непонятно, для чего два полевика встречно (VT1, VT2), на одном (VT2) работает также, паразитный диод не мешает.
Для полной изоляции от входа. Так как может быть ситуация когда проключеный аккумулятор будет разряжаться через диод в VT1 и далее через входные цепи.
Или входным цепям поплохеет от АКБ.
2. Так и не удалось избавиться от сквозных токов в момент переключения. Они короткие, но все факт есть. И непонятно, как скажется на li-on прикладывание к нему 4.4В, хот и на короткое время.
А еще и вопрос зарядки не решен.

Вобщем вместо упрощенной схемы D1 - U1 ставим зарядное с гистерезисным выходом PоwerOK или формируем этот сигнал сами учитывая нужные задержки.
То есть просто разводим процесс переключения во времени таким образом чтобы переключение происходило без сквозных токов, но и не получалось снижения питания.
3. Не поплохеет ли ST1S10 от прикладывания к ее выходу 4.2В от li-on на короткое время переключения?
Не должно, если судить по ее структуре. А вообще я бы ее поставил вместо VT1-VT2 и использовал ее вывод отключения.
Не можна втрачати надію. Не можна здаватися до останньої миті. Можливо саме вона, остання мить, принесе весну, яка стане початком нового життя.